专题02 常见的非匀变速直线运动模型-2024年新课标高中物理模型与方法

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19972" 【模型一】 小球弹簧（蹦极、蹦床）模型 PAGEREF _Tc19972 \h 1
\l "_Tc24556" 1.力与运动-----下落的“三段四点”： PAGEREF _Tc24556 \h 1
\l "_Tc13628" 2.四个图像 PAGEREF _Tc13628 \h 2
\l "_Tc12005" 3.等效模型一:恒力推弹簧连接的两物体问题 PAGEREF _Tc12005 \h 2
\l "_Tc17673" 4.等效模型二:蹦极运动问题 PAGEREF _Tc17673 \h 2
\l "_Tc14120" 5.功能变化及图像 PAGEREF _Tc14120 \h 2
\l "_Tc3811" 【模型二】“f=kv”运动模型 PAGEREF _Tc3811 \h 6
\l "_Tc12296" 1.运动特点分析-------“另类匀变速运动”： PAGEREF _Tc12296 \h 6
\l "_Tc21192" 2.“另类匀变速运动”的动量特征 PAGEREF _Tc21192 \h 6
\l "_Tc6766" 3.流体的变加速运动问题 PAGEREF _Tc6766 \h 7
\l "_Tc11384" 【模型三】 机车启动模型 PAGEREF _Tc11384 \h 10
\l "_Tc4436" 1.以恒定功率启动 PAGEREF _Tc4436 \h 10
\l "_Tc20483" 2.以恒定加速度启动 PAGEREF _Tc20483 \h 10
\l "_Tc20894" 3.三个重要关系式 PAGEREF _Tc20894 \h 10
\l "_Tc17285" 4.倾斜、竖直机车启动问题 PAGEREF _Tc17285 \h 11
【模型一】 小球弹簧（蹦极、蹦床）模型
【模型构建】如图所示，地面上竖立着一轻质弹簧，小球从其正上方某一高度处自由下落到弹簧上．从小球刚接触弹簧到弹簧被压缩至最短的过程中（在弹簧的弹性限度内），的运动问题、能量转换问题、动量变化问题。
【模型要点】
1.力与运动-----下落的“三段四点”：

2.四个图像
3.等效模型一:恒力推弹簧连接的两物体问题
P
Q
F
0
t
v
加速度相等，速度差最大
速度相等，
压缩量最大
恢复原长
P
Q
P
Q
4.等效模型二:蹦极运动问题
如图所示是蹦极运动的简化示意图，弹性绳一端固定在O点，另一端系住运动员，运动员从O点自由下落，A点处弹性绳自然伸直．B点是运动员受到的重力与弹性绳对运动员拉力相等的点，C点是蹦极运动员到达的最低点，运动员从O点到C点的运动过程中忽略空气阻力。
5.功能变化及图像
【模型演练1】(2020·湖北十堰市上学期期末)如图所示，处于自然状态下的轻弹簧一端固定在水平地面上，质量为m的小球从弹簧的另一端所在位置由静止释放，设小球和弹簧一直处于竖直方向，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g.在小球将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法不正确的是( )
A．小球的速度先增大后减小
B．小球的加速度先减小后增大
C．小球速度最大时弹簧的形变量为eq \f(mg,k)
D．弹簧的最大形变量为eq \f(mg,k)
【模型演练2】(2020·山西运城一模)蹦极就是跳跃者把一端固定的长弹性绳绑在踝关节等处，从几十米高处跳下的一种极限运动。某人做蹦极运动，绳子拉力F的大小随时间t的变化规律如图所示。假设人由静止开始下落，且运动只发生在竖直方向，重力加速度g取10 m/s2，图中t0＝10 s。下列说法正确的是( )
A．绳子的长度约为30 m
B．0.2t0时刻，人的速度最大
C．人下落过程机械能守恒
D．人下落过程，先失重后超重
【模型演练3】(多选)(2021·山东淄博市3月模拟)如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上．一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处自由下落，接触弹簧后继续向下运动．小球从开始下落到小球第一次运动到最低点的过程中，下列关于小球的速度v、加速度a随时间t变化的图象中符合实际情况的是( )
INCLUDEPICTURE"391.TIF"
【模型演练4】(2021·北京丰台区期末)图甲是某人站在接有传感器的力板上做下蹲、起跳和回落动作的示意图，图中的小黑点表示人的重心。图乙是力板所受压力随时间变化的图象，取重力加速度g＝10 m/s2。根据图象分析可知( )
甲 乙
A．人的重力可由b点读出，约为300 N
B．b到c的过程中，人先处于超重状态再处于失重状态
C．人在双脚离开力板的过程中，处于完全失重状态
D．人在b点对应时刻的加速度大于在c点对应时刻的加速度
【模型演练5】在儿童乐园的蹦床项目中，小孩在两根弹性绳和蹦床的协助下实现上下弹跳。如图所示，某次蹦床活动中小孩静止时处于O点，当其弹跳到最高点A后下落可将蹦床压到最低点B，小孩可看成质点，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．从A运动到O，小孩重力势能减少量大于动能增加量
B．从O运动到B，小孩动能减少量等于蹦床弹性势能增加量
C．从A运动到B，小孩机械能减少量小于蹦床弹性势能增加量
D．若从B返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床弹性势能减少量
【模型演练6】(多选)(2019·江苏高考)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中( )
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为eq \r(2μgs)
【模型演练7】(多选)(2018·江苏高考)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点。在从A到B的过程中，物块( )
A．加速度先减小后增大 B．经过O点时的速度最大
C．所受弹簧弹力始终做正功 D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
【模型演练8】．“蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳下，将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动，从绳恰好伸直，到人第一次下降至最低点的过程中，下列分析正确的是( )
A．绳对人的冲量始终向上，人的动量先增大后减小
B．绳对人的拉力始终做负功，人的动能一直减小
C．绳恰好伸直时，绳的弹性势能为零，人的动能最大
D．人在最低点时，绳对人的拉力等于人所受的重力
【模型演练9】．从同样高度落下的玻璃杯，掉在水泥地上容易打碎，而掉在草地上不容易打碎，下列说法正确的是( )
A．掉在水泥地上的玻璃杯动量小，而掉在草地上的玻璃杯动量大
B．掉在水泥地上的玻璃杯动量改变小，掉在草地上的玻璃杯动量改变大
C．掉在水泥地上的玻璃杯动量改变大，掉在草地上的玻璃杯动量改变小
D．掉在水泥地上的玻璃杯动量改变量与掉在草地上的玻璃杯动量改变量相等
【模型演练10】(2020·湖南常德模拟)如图所示，质量为m的小球从距离地面高H的A点由静止开始释放，落到地面上后又陷入泥潭中，由于受到阻力作用，到达距地面深度为h的B点时速度减为零．不计空气阻力，重力加速度为g，关于小球下落的整个过程，下列说法正确的有( )
A．小球的机械能减小了mg(H＋h)
B．小球克服阻力做的功为mgh
C．小球所受阻力的冲量大于meq \r(2gH)
D．小球动量的改变量等于所受阻力的冲量
【模型二】“f=kv”运动模型
【概述】高中物理中有这样一类问题：物体受到一个与物体的运动速度v成正比变化的外力而做复杂的变速运动我们不妨称之为“f= kv”问题。。
【模型要点】
1.运动特点分析-------“另类匀变速运动”：
若物体所受合力为f= kv，则产生的加速度为等式两边同乘以并求和得到等式，可得，也就是说物体在任意相等的位移内速度的变化量是相等的。这与匀变直线运动的定义：物体在任意相等时间内速度速度的变化量都相等极为相似。唯一的区别就是一个对空间均匀变化。一个对时间均匀变化。我们把满足的运动定义为“另类匀变速运动”定义为“另类匀变速运动”的“另类加速度”二者的区别展示如下：
正常加速度 另类加速度
二者关系： 即a=A·v
(1).当A>0且恒定时，a随v增大而变大；
(2).当A<0且恒定时，a随v减小而变小；
(3)图像
2.“另类匀变速运动”的动量特征
物体在变力作用下做复杂的变速运动，可以把物体的运动分割成若干小段，在每一小段内，可认为力f不变，这样，在△t1时间内，力f的冲量：
同理，时间内，力f的冲量
，……
所以整个过程力f的冲量为：
即变力的冲量大小与物体的位移大小成正比。
这个结论的几何解释如图所示（仅仅是示意性地画出，并不真正表示物体就做图示形式的运动）。对于v—t图象，图象与t轴所围的面积表示物体的位移x。由于f=kv，力f随时间t变化的f—t图象与v—t图象相似（纵轴相差k倍）。对f—t图象来说，图象与t轴所围的面积就是力f的冲量I，显然I= kx 。此结论在解答“f=kv”问题中有很重要的作用。
3.流体的变加速运动问题
(1)注意阻力的三种可能情况：①阻力不计；②阻力大小恒定；③阻力跟速度（或速度的二次方）大小成正比即f=kv或f=kv2。
(2)上升加速度a=g+f/m=g+kv/m随速度减小而减小 ；
下降加速度a=g-f/m =g-kv/m随速度增大而减小 。
f
mg
f
mg
0
t
v
v0
-vm
v=0，a=g
mg=kvm 或mg=kvm2
【模型演练1】(2021·郑州质量预测)甲、乙两球质量分别为m1、m2，从同一地点(足够高)同时由静止释放。两球下落过程所受空气阻力大小f仅与球的速率v成正比，与球的质量无关，即f＝kv(k为正的常量)。两球的v－t图象如图2所示。落地前，经时间t0两球的速度都已达到各自的稳定值v1、v2。则下列判断正确的是( )
A．释放瞬间甲球加速度较大 B.eq \f(m1,m2)＝eq \f(v2,v1)
C．甲球质量大于乙球质量 D．t0时间内两球下落的高度相等
【模型演练2】．(多选)(2020·泰安一模)雨滴在空气中下落时会受到空气阻力的作用。假设阻力大小只与雨滴的速率成正比，所有雨滴均从相同高处由静止开始下落，到达地面前均达到最大速率。下列判断正确的是( )
A．达到最大速率前，所有雨滴均做匀加速运动
B．所有雨滴的最大速率均相等
C．较大的雨滴最大速率也较大
D．较小的雨滴在空中运动的时间较长
【模型演练3】．将一质量为m的物体以初速竖直向上抛出，已知物体在运动过程中所受空气阻力的大小与其运动速度成正比，比例系数为k，若物体能够上升的最大高度为H，则其上升过程所用的时间应为（ ）
A. B. C. D.
【模型演练4】如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场，分布在宽度为L的区域内，现有一边长为l（lA. 1：1B. 2：1 C. 3：1D. 4：1
【模型演练5】(多选)(2020·福建省三明市上学期期末)如图所示为一个质量为m、带电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中．现给圆环向右初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的v－t图象可能是下图中的( )
【模型演练6】如图甲所示，左侧接有定值电阻R＝3 Ω的光滑水平导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B＝2 T，导轨间距为L＝1 m．一质量m＝2 kg、接入电路的阻值r＝1 Ω的金属棒在拉力F作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动，金属棒与导轨垂直且接触良好，金属棒的v ­x图象如图乙所示，取g＝10 m/s2.在金属棒从起点运动到x＝1 m处的过程中，求：
(1)回路中通过电阻R的电荷量q；
(2)金属棒运动到x＝1 m处时所受安培力大小；
(3)定值电阻R中产生的焦耳热QR.
【模型演练7】(2020·陕西咸阳二模)19世纪末美国物理学家密立根进行了多次试验，比较准确地测定了电子的电量．如图所示，用喷雾器将油滴喷入电容器的两块水平的平行电极板之间时，油滴经喷射后，一般都是带电的．设油滴可视为球体，密度为ρ，空气阻力与油滴半径平方、与油滴运动速率成正比．实验中观察到，在不加电场的情况下，半径为r的小油滴1以速度v匀速降落；当上下极板间间距为d、加恒定电压U时，该油滴以速度0.5v匀速上升．已知重力加速度为g，试求：
(1)此油滴带什么电？带电量多大？
(2)当保持极板间电压不变而把极板间距增大到4d，发现此油滴以另一速度v1匀速下落，求v1与v的比值；
(3)维持极板间距离为d，维持电压U不变，观察到另外一个油滴2，半径仍为r，正以速度0.5v匀速下降，求油滴2与油滴1带电量之比．
【模型三】 机车启动模型
1.以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
2.以恒定加速度启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
3.三个重要关系式
(1)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率达到最大，但速度没有达到最大，即v＝eq \f(P,F)(3)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝eq \f(P,Fmin)＝eq \f(P,F阻)(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
4． 倾斜、竖直机车启动问题
【模型演练1】质量为m的汽车沿平直的公路行驶，在时间t内，以恒定功率P由静止开始经过距离s达到最大速度vm。已知汽车所受的阻力Ff恒定不变，则在这段时间内发动机所做的功W可用下列哪些式子计算( )
A．W＝Ffs B．W＝eq \f(1,2)Ffvmt C．W＝Ffvmt D．W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
【模型演练2】(2021·芜湖模拟)一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后重物以最大速度v2匀速上升，不计钢绳重力。则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为eq \f(P,v2)
B．重物匀加速过程的时间为eq \f(mv\\al(2,1),P－mgv1)
C．重物匀加速过程的加速度为eq \f(P,mv1)
D．速度由v1增大至v2的过程中，重物的平均速度eq \x\t(v)【模型演练3】.(2020·吉林五地六校合作体联考)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v­t图象如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则以下说法正确的是( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为5×102 N
B．汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2
C．汽车的额定功率为100 kW
D．汽车的最大速度为80 m/s
【模型演练4】(多选)(2020·天津市普通高中学业水平等级考试，8)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内( )
A．做匀加速直线运动 B．加速度逐渐减小
C．牵引力的功率P＝Fvm D．牵引力做功W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
【模型演练5】如图甲所示，用起重机将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，其v－t图象如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．在0～t1时间内，起重机拉力逐渐变大
B．在t1～t2时间内，起重机拉力的功率保持不变
C．在t1～t2时间内，货物的机械能保持不变
D．在t2～t3时间内，起重机拉力对货物做负功
【模型演练6】(2020·全国押题卷)如图甲所示，某高架桥的引桥可视为一个倾角θ＝30°、长l＝500 m的斜面．一辆质量m＝2 000 kg的电动汽车从引桥底端由静止开始加速，其加速度a随速度可变化的关系图像如图乙所示，电动汽车的速度达到1 m/s后，牵引力的功率保持恒定．已知行驶过程中电动汽车受到的阻力Ff(摩擦和空气阻力)不变，重力加速度g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．电动汽车所受阻力Ff＝12 000 N
B．电动汽车的速度达到1 m/s后，牵引力的功率P0＝12 kW
C．第1 s内电动汽车牵引力的功率P与时间t满足P＝12 000t
D．第1 s内电动汽车机械能的增加量等于牵引力与阻力做功的代数和，大小为6 000 J
【模型演练7】．如图所示，质量为m的汽车在某下坡的公路上，从速度v0开始加速运动，经时间t速度达到最大值vm.设在此过程中汽车发动机的功率恒为P，汽车所受的摩擦阻力为恒力．对于该过程，以下说法正确的是( )
A．该过程中汽车一直做匀加速直线运动
B．该过程中汽车所受阻力f＝eq \f(P,vm)
C．该过程中汽车所受阻力做功的大小为Pt＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
D．该过程中汽车做加速度不断减小的加速运动
v-t图
a-t图
F-t图
a-x图
竖直小球砸弹簧
倾斜小球砸弹簧
水平弹簧推小球
-
-
-
-
x
O
E
EP重
EK
C
A
B
EP弹
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-
-
x
O
E
EP重
EK
Q
C
A
B
EP弹
-
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x
O
E
EK
Q
C
A
B
EP弹
θ(
mgsinθ
P/v
f
θ(
mgsinθ
P/v
f
mg
P/v
上坡最大速度vm=P/(f+mgsinθ)
下坡最大速度vm=P/(f-mgsinθ)
竖直提升最大速度vm=P/mg[来源:Z*xx*k.Cm]