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所属成套资源：2024太原高三上学期期末学业诊断试题及答案(九科)
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2024太原高三上学期期末学业诊断试题数学含答案
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这是一份2024太原高三上学期期末学业诊断试题数学含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：上午8:00—10:00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
3.圆的圆心坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A.18B.24C.32D.36
5.已知，，且，，则（ ）
A.B.C.D.
6.如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ）
A.B.C.D.
8.若实数，，满足，，，则（ ）
A.B.C.D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知数列中，，，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A.是等比数列B.
C.D.
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.的图象关于点对称
C.在区间上单调递增
D.将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称
11.已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
12.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，点和分别满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A.当时，三棱锥的体积为定值
B.当时，四棱锥的外接球的表面积是
C.当时，不存在使得
D.的最小值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.双曲线的渐近线方程为______.
14.的展开式中常数项为______.
15.已知非零向量，夹角为，则的最小值为______.
16.已知实数，分别满足，，其中是自然对数的底数，则______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题12分）
在中，，，分别为内角，，的对边，点在线段上，，，的面积为.
（1）当，且时，求；
（2）当，且时，求的周长.
19.（本小题12分）
“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，，，.
（1）证明：四棱锥是一个“阳马”；
（2）已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值.
20.（本小题12分）
为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，.
21.（本小题12分）
已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线焦点的直线与相交于，两点，面积的最小值为4.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的动直线交于，两点，试问抛物线上是否存在定点，使得对任意的直线，都有.若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由.
22.（本小题12分）
已知函数，.
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数取得的最大整数值.
2023-2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷
参考答案及评分标准
一.单项选择题：CBABCCAA
二.多项选择题：9.BD10.AC11.ACD12.ABD
三.填空题：13.14.2515.16.
四.解答题：
17.解：（1）设的公差为，由题意得
；
当时，则，，
当时，则，，，
是以1为首项，3为公比的等比数列，；
（2）由（1）得，
，①
，②
①－②得，
.
18.解：（1）由题意得，
，，，
，，
，，；
（2）由题意得，，
，
，，
，，
，，，
，，
，的周长为.
19.（1）证明：四边形是正方形，，
，，平面，，
同理可证，，平面，
四棱锥是一个“阳马”；
（2）由（1）得平面，，
，，，
以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，
，，
设是平面的一个法向量，则
令，则，，
设是平面的一个法向量，则
令，则，，
，，
，，
平面，直线与底面所成角的正切值为.
20.解：（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”，
根据题意，，号，，
由全概率公式，得
；
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得，
即，，
，是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）可得，
当为大于1的奇数时，；
当为正偶数时，.
21.解：（1）由题意得，，
设直线的方程为，，，
由得，
，，
，
面积，
当时，取最小值，，
抛物线的方程为；
（2）由（1）得抛物线，假设存在定点，
设直线的方程为，，，则，，
由得，
，，
，，
，
，，
当时，即时，恒成立，存在定点.
22.解：（1）当时，，，则，
令，则；令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值；
（2）①当时，则，显然成立；
②当时，原不等式等价于，
令，，则，
令，，则，在上单调递增，
，，
，，即，，
当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
在处取得最小值为，
，且，
综上，实数的最大整数值为3.
（考试时间：上午8:00—10:00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
3.圆的圆心坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A.18B.24C.32D.36
5.已知，，且，，则（ ）
A.B.C.D.
6.如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ）
A.B.C.D.
8.若实数，，满足，，，则（ ）
A.B.C.D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知数列中，，，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A.是等比数列B.
C.D.
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.的图象关于点对称
C.在区间上单调递增
D.将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称
11.已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
12.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，点和分别满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A.当时，三棱锥的体积为定值
B.当时，四棱锥的外接球的表面积是
C.当时，不存在使得
D.的最小值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.双曲线的渐近线方程为______.
14.的展开式中常数项为______.
15.已知非零向量，夹角为，则的最小值为______.
16.已知实数，分别满足，，其中是自然对数的底数，则______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题12分）
在中，，，分别为内角，，的对边，点在线段上，，，的面积为.
（1）当，且时，求；
（2）当，且时，求的周长.
19.（本小题12分）
“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，，，.
（1）证明：四棱锥是一个“阳马”；
（2）已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值.
20.（本小题12分）
为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，.
21.（本小题12分）
已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线焦点的直线与相交于，两点，面积的最小值为4.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的动直线交于，两点，试问抛物线上是否存在定点，使得对任意的直线，都有.若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由.
22.（本小题12分）
已知函数，.
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数取得的最大整数值.
2023-2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷
参考答案及评分标准
一.单项选择题：CBABCCAA
二.多项选择题：9.BD10.AC11.ACD12.ABD
三.填空题：13.14.2515.16.
四.解答题：
17.解：（1）设的公差为，由题意得
；
当时，则，，
当时，则，，，
是以1为首项，3为公比的等比数列，；
（2）由（1）得，
，①
，②
①－②得，
.
18.解：（1）由题意得，
，，，
，，
，，；
（2）由题意得，，
，
，，
，，
，，，
，，
，的周长为.
19.（1）证明：四边形是正方形，，
，，平面，，
同理可证，，平面，
四棱锥是一个“阳马”；
（2）由（1）得平面，，
，，，
以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，
，，
设是平面的一个法向量，则
令，则，，
设是平面的一个法向量，则
令，则，，
，，
，，
平面，直线与底面所成角的正切值为.
20.解：（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”，
根据题意，，号，，
由全概率公式，得
；
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得，
即，，
，是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）可得，
当为大于1的奇数时，；
当为正偶数时，.
21.解：（1）由题意得，，
设直线的方程为，，，
由得，
，，
，
面积，
当时，取最小值，，
抛物线的方程为；
（2）由（1）得抛物线，假设存在定点，
设直线的方程为，，，则，，
由得，
，，
，，
，
，，
当时，即时，恒成立，存在定点.
22.解：（1）当时，，，则，
令，则；令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值；
（2）①当时，则，显然成立；
②当时，原不等式等价于，
令，，则，
令，，则，在上单调递增，
，，
，，即，，
当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
在处取得最小值为，
，且，
综上，实数的最大整数值为3.
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