备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破3利用导数证明不等式命题点1将不等式转化为函数的最值问题

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例1 [2023新高考卷Ⅱ节选]证明：当0＜x＜1时，x－x2＜sin x＜x.
解析 令h（x）＝x－x2－sin x，
则h'（x）＝1－2x－cs x，
令p（x）＝1－2x－cs x，则p'（x）＝－2＋sin x＜0，
所以p（x）即h'（x）单调递减，又h'（0）＝0，
所以当0＜x＜1时，h'（x）＜h'（0）＝0，h（x）单调递减，
所以当0＜x＜1时，h（x）＜h（0）＝0，即x－x2＜sin x.
令g（x）＝sin x－x，则g'（x）＝cs x－1＜0，x∈（0，1），
所以g（x）单调递减，又g（0）＝0，
所以当0＜x＜1时，g（x）＜g（0）＝0，即sin x＜x.
综上，当0＜x＜1时，x－x2＜sin x＜x.
方法技巧
（1）利用函数的单调性和最值直接证明.
（2）证明不等式f（x）＞g（x）转化为证明f（x）－g（x）＞0，进而构造辅助函数
h（x）＝f（x）－g（x），通过研究函数h（x）的单调性，证明h（x）min＞0.
训练1 [2024浙江宁波模拟]已知函数f（x）＝ae2x＋（a－4）ex－2x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞1时，f（x）＞7ln a－a－4.
解析 （1）f'（x）＝2ae2x＋（a－4）ex－2＝（aex－2）（2ex＋1），（i）当a≤0时，
f'（x）＜0，f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减；
（ii）当a＞0时，x∈（－∞，ln 2a）时，f'（x）＜0，x∈（ln 2a，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（－∞，ln 2a）上单调递减，在（ln2a，＋∞）上单调递增.
（2）由（1）知，当a＞1时，f（x）min＝f（ln 2a）＝2－4a－2ln 2＋2ln a.
要证f（x）＞7ln a－a－4，只需证2－4a－2ln 2＋2ln a＞7ln a－a－4，即证6＋a－4a－5ln a－2ln 2＞0.
设g（a）＝6＋a－4a－5ln a－2ln 2，a＞1，则g'（a）＝1＋4a2－5a＝（a－1)(a－4）a2，当1＜a＜4时，g'（a）＜0，当a＞4时，g'（a）＞0，
所以g（a）在（1，4）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增，所以g（a）≥g（4）＝9－12ln 2＝3（3－ln 16），
又e3＞2.73＞16，故g（a）＞0，证毕.