备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破1构造法在解决函数导数问题中的应用命题点1利用导数运算构造函数

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角度1 利用f（x）与x构造
例1 [全国卷Ⅱ]设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ A ）
A.（－∞，－1）∪（0，1）B.（－1，0）∪（1，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（－1，0）D.（0，1）∪（1，＋∞）
解析 令F（x）＝f（x）x，（根据条件xf'（x）－f（x）＜0构造函数F（x）＝f（x）x）
因为f（x）为奇函数，所以F（x）为偶函数，
由于F'（x）＝xf '(x）－f（x）x2，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，
所以F（x）＝f（x）x在（0，＋∞）上单调递减，
根据图象的对称性，得F（x）＝f（x）x在（－∞，0）上单调递增.
由f（－1）＝0，f（1）＝0，知F（－1）＝0，F（1）＝0.
由f（x）＞0，得x<0，F（x）<0或x>0，F（x）>0，解得x＜－1或0＜x＜1，即使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0，1）.
方法技巧
角度2 利用f（x）与ex构造
例2 已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x）＋f'（x）＞0，且有f（12）＝1e，则f（x）＞1e2x的解集为（ B ）
A.（0，12）B.（12，＋∞）
C.（0，2）D.（0，＋∞）
解析 由题意，构造函数F（x）＝f（x）·e2x，则F'（x）＝f'（x）·e2x＋2f（x）e2x＝
e2x[f'（x）＋2f（x）]＞0，∴F（x）在R上单调递增.f（x）＞1e2x⇔e2xf（x）＞1⇔F（x）＞1，∵F（12）＝f（12）·e＝1，∴F（x）＞1⇔F（x）＞F（12）⇔x＞12，即f（x）＞1e2x的解集为（12，＋∞），故选B.
方法技巧
角度3 利用f（x）与sin x，cs x构造
例3 [2023湖南省长沙麓山国际实验学校期中]若定义在[0，π2）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（0）＝0，f'（x）cs x＋f（x）sin x＜0，则下列不等关系中正确的是（ C ）
A.f（π6）＜62f（π4）B.f（lnπ3）＞0
C.f（π6）＞3f（π3）D.f（π4）＜2f（π3）
解析 令g（x）＝f（x）csx，x∈[0，π2），则g'（x）＝f '(x）csx＋f（x）sinxcs2x，因为f'（x）cs x＋f（x）sin x＜0，所以g'（x）＜0在[0，π2）上恒成立，因此函数g（x）＝f（x）csx在[0，π2）上单调递减，故g（π6）＞g（π4），即f（π6）csπ6＞f（π4）csπ4，即f（π6）＞62f（π4），故A错；又
f（0）＝0，所以g（0）＝f（0）cs0＝0，所以g（x）＝f（x）csx≤0在[0，π2）上恒成立，因为0＝ln 1＜lnπ3＜ln e＝1＜π2，所以f（lnπ3）＜0，故B错；又g（π6）＞g（π3），所以f（π6）csπ6＞f（π3）csπ3，即f（π6）＞3f（π3），故C正确；又g（π4）＞g（π3），所以f（π4）csπ4＞f（π3）csπ3，
即f（π4）＞2f（π3），故D错误.故选C.
方法技巧
由f（x）与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式：（1）F（x）＝f（x）sin x，则F'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cs x；（2）F（x）＝f（x）sinx，则F'（x）＝f '(x）sinx－f（x）csxsin2x；
（3）F（x）＝f（x）cs x，则F'（x）＝f'（x）cs x－f（x）sin x；（4）F（x）＝f（x）csx，则F'（x）＝f '(x）csx＋f（x）sinxcs2x.
训练1 （1）[2023安徽合肥第六中学5月月考]已知函数f（x）满足f（x）＋f（－x）＝0，且当x∈（－∞，0）时，f（x）＋xf'（x）＜0成立.若a＝20.6·f（20.6），b＝ln 2·
f（ln 2），c＝lg218·f（lg218），则a，b，c的大小关系是（ D ）
A.a＞b＞cB.c＞b＞a
C.a＞c＞bD.c＞a＞b
解析 因为函数f（x）满足f（x）＋f（－x）＝0，所以f（x）是奇函数.不妨令g（x）＝x·f（x），则g（－x）＝－x·f（－x）＝x·f（x）＝g（x），所以g（x）是偶函数.
g'（x）＝f（x）＋xf'（x），因为当x∈（－∞，0）时，f（x）＋xf'（x）＜0成立，所以
g（x）在（－∞，0）上单调递减，又g（x）是偶函数，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增.a＝g（20.6），b＝g（ln 2 ），c＝g（lg218）＝g（－lg218），
因为2＞20.6＞1，0＜ln 2＜1，－lg218＝－（－3）＝3＞2，
所以ln 2＜20.6＜－lg218，所以c＞a＞b.故选D.
（2）[2024广西柳州模拟]设函数y＝f（x），x∈R的导函数为f'（x），且f（x）为偶函数，f'（x）＞f（x），则不等式成立的是（ B ）
A.f（0）＜e－1f（1）＜e2f（2）
B.e3f（3）＜f（0）＜e－1f（1）
C.e－1f（1）＜f（0）＜e2f（2）
D.e2f（2）＜e3f（3）＜f（0）
解析 设g（x）＝f（x）ex，则g'（x）＝f '(x）－f（x）ex＞0，所以g（x）在R上递增，又
f（x）为偶函数，则g（1）＝f（1）e＝e－1f（1），g（0）＝f（0）e0＝f（0），g（－2）＝f（－2）e－2＝e2f（2），g（－3）＝f（－3）e－3＝e3f（3），由－3＜－2＜0＜1，可得g（－3）＜
g（－2）＜g（0）＜g（1），即e3f（3）＜e2f（2）＜f（0）＜e－1f（1）.故选B.
（3）[2023山东潍坊4月二模]已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f'（x）.若f'（x）sin x－f（x）cs x＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（π6）sin x的解集为 （0，π6） .
解析 令F（x）＝f（x）sinx，则F'（x）＝f '(x）sinx－f（x）csxsin2x＞0，所以F（x）在定义域内单调递增.关于x的不等式f（x）＜2f（π6）sin x可化为f（x）sinx＜f（π6）sinπ6，即F（x）＜F（π6）.因为0＜x＜π，所以0＜x＜π6，所以不等式f（x）＜2f（π6）sin x的解集为（0，π6）.形式
构造函数
xf'（x）＋nf（x）
g（x）＝xnf（x）
xf'（x）－nf（x）
g（x）＝f（x）xn
形式
构造函数
f'（x）＋nf（x）
g（x）＝enx·f（x）
f'（x）－nf（x）
g（x）＝f（x）enx