北师大版八年级数学下册同步精品讲义 专题6.4 多边形的内角和与外角和（学生版+教师版）

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专题6.4 多边形的内角和与外角和1.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，并应用他们解决基本的几何问题；知识点01 多边形的内角和与外角和【知识点】1）多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2）相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角. 多边形的外角和：多边形的外角和为360°．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为．【知识拓展1】多边形的内角和例1．（2023春·北京昌平·八年级校联考期中）下列多边形中，内角和为的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据n边形的内角和公式为，进行求解即可．【详解】解：∵n边形的内角和公式为，∴当°，则．∴四边形的内角和等于．故选：C．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．【即学即练】1．（2023春·湖南怀化·八年级统考期中）十边形的内角和是（    ）A．1440° B．1260° C．1080°             D．900°【答案】A【分析】n边形的内角和是，代入公式即可求出十边形的内角和．【详解】解：十边形的内角和： ；故选：A．【点睛】本题考查多边形内角和问题，熟记多边形内角和公式是解题关键．【知识拓展2】多边形的外角和例2．（2023·江苏苏州·七年级统考期中）若一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数是（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根据多边形的外角和为求解即可．【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都是，∴这个多边形的边数为，故选：D．【点睛】本题考查多边形的外角和，熟知多边形的外角和为是解答的关键．【即学即练】1．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据多边形的外角和等于解答即可．【详解】解：由多边形的外角和等于可知，，故选：B．【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．2．（2023·北京通州·统考一模）正七边形的外角和是（    ）A．900° B．700° C．360° D．180°【答案】C【分析】由多边形外角和为可得答案．【详解】解：∵多边形的外角和为：，∴正七边形的外角和是，故选C．【点睛】本题考查的是正多边形的外角和问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键．【知识拓展3】多边形的内（外）角和综合例3．（2023春·江苏·七年级期末）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】解：∵正多边形的内角和是，∴多边形的边数为，∵多边形的外角和都是，∴该正多边形的每个外角为．故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，解题的关键是记住内角和的公式与外角和的特征．【即学即练】1．（2023·云南昆明·统考一模）一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是（    ）A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形【答案】A【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得，，解得：，∴这个多边形为六边形．故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为，那么它的一个内角等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，求出，根据多边形是正多边形，求出多边形的一个外角的度数，即可求出多边形一个内角的度数．【详解】设这个多边形是n边形，∵多边形的内角和为，∴，解得：，∵这个多边形的每一个外角都相等，∴这个多边形是正多边形，∴多边形的外角为：，∴多边形的一个内角为：．故选：C【点睛】本题考查正多边形的内角和与多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式．【知识拓展4】多边形的截角问题例4．（2023春·江苏·七年级校考周测）将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为，则原来多边形的边数为___________．（用阿拉伯数字表示）【答案】21或22或23【分析】先根据多边形的内角和公式求出新多边形的边数，再根据截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1三种情况解答．【详解】解：设新多边形的边数为n，则，解得，多边形截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，所以，，或，所以原来多边形的边数为21或22或23．故答案为：21或22或23．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是理解截去一个角后的方法，要分三种情况讨论．【即学即练】1．（2023春·上海·八年级专题练习）在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________．【答案】/度【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数．【详解】解：∵，∴少加的内角是：．故答案为：．【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）解决多边形问题：(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？【答案】(1)八边形(2)八边形【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于建立方程，解方程即可得；（2）设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则，再根据多边形的内角和公式建立等式，结合建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】（1）解：设这个多边形是边形，由题意得：，解得，答：这个多边形是八边形．（2）解：设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则，由题意得：，解得，则，即，解得，为正整数，，答：这个多边形是八边形．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键．【知识拓展5】多边形的对角线例5．（2023春·广东·九年级专题练习）已知一个正多边形的每个外角的度数都是，则该多边形的对角线条数为（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正多边形的外角和定理，解求出多边形的边数，根据多边形顶点引对角线的公式由此即可求解．【详解】解：∵正多边形的每个外角都等于，∴，∴这个正多边形是正边形，如图所示，∴（条），∴这个正多边形的对角线是条．故选：．【点睛】本题主要考查正多边形的性质，对角线的条数的计算方法，掌握正多边形的外角和定理，顶点引对角线的公式是解题的关键．【即学即练】1．（2022秋·河南·八年级校考阶段练习）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的边数？并求出该多边形共可以引出几条对角线？【答案】边数是11，对角线为44条【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和是，外角和是，列出方程，求出的值，再根据对角线的计算公式即可得出答案．【详解】解：根据题意，得设这个多边形为n边形，则，解得：．对角线总条数：则这个多边形的边数是11，对角线为44条．【点睛】本题考查了对多边形内角和定理和外角和的应用，及对角线的计算公式．注意：边数是的多边形的内角和是，外角和是．2．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形一共有条对角线，正边形的内角和与外角和相等，求代数式的值．【答案】500【分析】由多边形的对角线条数，内角和、外角和定理可以得到方程，解出数值代入代数式求值即可．【详解】解：由题可知：，，，解得：，或（舍去），则【点睛】考查多边形的性质，掌握多边形的对角线条数公式和内角和、外角和公式是解题的关键．题组A 基础过关练1．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，若干个一模一样的正六边形（各边相等，各角也相等）排成环状．图中所示的是前3个六边形，要完成这一圆环，还需这样的六边形的数量为（   ）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】D【分析】如图，延长正六边形的两边交于点，利用的度数，求出需要正六边形的总个数，即可得解．【详解】解：如图，延长正六边形的两边交于点，∵正六边形的每个外角均为：，∴，∴组成一个圆环共需：个正六边形，∴还需要正六边形的个数为：，故选D．【点睛】本题考查正多边形的外角和的应用．熟练掌握正六边形的外角和是，是解题的关键．2．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，在正六边形中，以为边向内作正方形，则下列结论错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：∵在正六边形和正方形中，∴，，∴，故A选项正确，不符合题意；∵在正六边形和正方形中，∴，，∴，故B选项正确，不符合题意；∵多边形是正六边形，∴该多边形内角和为：，∴，∵多边形是正方形，∴该多边形内角和为：，∴，∴，故C选项正确，不符合题意；∵，∴，故D选项不正确，符合题意故选：D．【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．3．（2023·贵州黔南·统考一模）如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则的度数为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正多边形的内角和公式，可得正五边形的内角、正六边形的内角，根据角的和差，可得答案．【详解】解：正五边形的内角，正六边形的内角，故．故选：B．【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用正多边形的内角公式得出相应正多边形的内角是解题关键．4．（2023春·北京丰台·九年级校考阶段练习）如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据内角和定理，计算正五边形，正三角形的内角，再求两个内角的差即可．【详解】∵边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，∴正五边形的每个内角为，正三角形的内角为，∴，故选C．【点睛】本题考查了正五边形，正三角形的内角计算，外角计算，熟练掌握内角和定理，外角和定理是解题的关键．5．（2023·四川成都·模拟预测）永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用外角和求得外角的度数，然后根据互补求得每个内角的度数即可．【详解】解：∵多边形外角和为，八边形是正多边形，∴正八边形每个外角为，∴正八边形每个内角的度数为．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角的知识，正多边形的每个内角相等，每个外角相等．解题的关键是了解多边形的内角和、外角和以及正多边形的性质．6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）正十边形的外角和是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正多边形的内角和，正十边形的内角与外角的总和，即可得到正确选项【详解】解：∵正十边形的内角和是，正十边形的内角与外角的总和为，∴正十边形的外角和是，故选：．【点睛】本题考查了正多边形的外角和，正多边形的内角和，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．7．（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（   ）A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形【答案】B【分析】根据正多边形的性质和多边形的外角和即可得．【详解】解：任意一个多边形的外角和均为，由正多边形的性质可知，其每一个外角都相等，设这个正多边形为正n边形，则，解得，即这个正多边形为正八边形，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形的性质和多边形的外角和，熟记正多边形性质是解题关键．8．（2023年河北省石家庄市中考一模数学试卷）如图1，将两条重合的线段绕一个公共端点沿逆时针和顺时针方向分别旋转，旋转角为，所得的两条新线段夹角为，以为内角，以图中线段为边作两个正多边形，正多边形边数为n．如图2，当时，得到两个正六边形．（1）用含的代数式表示，__________；（2）边数n，旋转角，夹角的部分对应值如表格所示，其中__________；（3）若，则n的最小值是__________．【答案】 144 72【分析】（1）由周角的含义建立方程即可；（2）把代入（1）中的结论可得答案；（3）由，可得，解得：，利用多边形的内角和公式可得，而且为整数，从而可得答案．【详解】解：（1）由题意可得：，∴，故答案为：．（2）由题意可得：当时，∴，故答案为：；（3）当，∴，解得：，∴，而且为整数，∴，解得：，∴的最小值为：．故答案为：．【点睛】本题考查的是旋转的性质，正多边形的性质，利用正多边形的性质建立方程或不等式求解是解本题的关键．9．（2023春·江苏·七年级期末）一个多边形的内角和与它的外角和之比为，则这个多边形的边数是_______．【答案】8【分析】根据多边形的内角和公式，外角和等于，列式求解即可．【详解】解：设多边形的边数是n，则，整理得，解得．故答案为：8．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理并列出比例式是解题的关键．10．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如果一个多边形的内角都相等，且内角是外角的3倍，则这个多边形的边数为________．【答案】8/八【分析】多边形的一个内角与相邻外角的和为，内角是外角的3倍，从中建立方程求出一个外角的度数，再利用多边形的外角和为求边数即可．【详解】解：设多边形的一个外角的度数是，列方程，得，解得：，多边形的边数为：．故答案为：8．【点睛】本题考查了多边形的外角和，抓住内外角的关系列方程求出一个外角的度数是解题的关键．11．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____．【答案】11【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可．【详解】解：设这个多边形边数为n，，∴，∵n是整数，∴，故答案为11．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组．12．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）若n边形的内角和是，求n的值；（2）若n边形的外角都相等，且内角与相邻外角的度数之比为，求n的值【答案】（1）11（2）8【分析】（1）直接利用多边形内角和公式求解即可．（2）先求出每个外角的度数，再利用外角和求出边数即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴n的值为11．（2）∵n边形的外角都相等，∴n边形的内角都相等，设n边形的内角和外角的度数分别为和，∴，∴，∵多边形外角和为，∴，∴．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是牢记多边形的内角和公式，即n边形的内角和为．13．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）某同学采用把多边形内角逐个相加的方法计算多边形的内角和，求得一个多边形的内角和为，当他发现错了以后，重新检查，发现少加了一个内角．请问：漏加的这个内角是多少度？他求的这个多边形的边数是多少？【答案】，【分析】本题考查多边形的内角和定理，设多边形的边数为n，列出不等式组求出整数解，然后求出漏加的内角．【详解】解：设多边形的边数为n，则解得：，∵n为整数，∴∴漏加的这个内角是：，答：漏加的这个内角是，他求的这个多边形的边数是．【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟记多边形的内角和定理是解题的关键．题组B 能力提升练1．（2023·江西·模拟预测）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形的内角和，则可求得．【详解】解：、、、的外角的角度和为220°，，，五边形内角和，．故选：C．【点睛】此题考查了多边形的内角和，解题的关键是利用内角和外角的关系求得、、、的和．2．（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考阶段练习）我们知道：五边形具有不稳定性，小文将正五边形沿箭头方向向右推，使点B在线段AC上，若，则（    ）A．减小了 B．增加了 C．减少了 D．增加了【答案】B【分析】延长，交于点F，说明是的中位线，得到条件证明为等边三角形，从而计算变形前后的度数，即可求解．【详解】解：如图，延长，交于点F，则，∵，∴是的中位线，∴，∴为等边三角形，∴，∴．图（1）中，，∴增加了，故选B．【点睛】本题考查了中位线定理，等边三角形的判定和性质，正多边形的性质，解题的关键是判断出为等边三角形．3．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）如图，五边形中， ，、、是外角，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质可得，再利用多边形的内角和即可求解．【详解】解：，，，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角和和平行线的性质，熟记多边形的内角公式为是解题的关键．4．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）如图，将矩形沿着裁剪得到一个四边形和一个三角形，设四边形的外角和与的外角和分别为，则（    ）A． B． C． D．无法比较与【答案】C【分析】利用多边形的外角和都等于，即可得出结论．【详解】解：任意多边形的外角和为，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，正确利用任意多边形的外角和等于是解题关键．5．（2023春·上海·八年级期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是__．【答案】17，18或19【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可．【详解】解：设新多边形的边数为，则，解得：，若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19，若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18，则多边形的边数是17，18或19，故答案为：17，18或19．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解．6．（2023·江苏扬州·统考一模）若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章和正六边形模具按如图所示的位置摆放，连接并延长至点，则______．【答案】【分析】根据正边形内角和，则正边形一个内角的度数，即可求得正五边形与正六边形每个内角的度数，由周角是可得的度数，再根据是等腰三角形可求出，最后根据平角是即可求解．【详解】解：五边形是正五边形，，六边形是正六边形，，,正五边形与正六边形的边长相等，，是等腰三角形，，．故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形内角和公式，以及求正多边形每个内角的度数，理解并熟练记忆公式，灵活根据题意运用等腰三角形两底角相等、以及平角、周角相结合求角度是解题的关键．7．（2023·北京海淀·统考一模）如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．【答案】（答案不唯一）【分析】先求得，在根据点的不同位置，求得的取值范围，从而得解．【详解】解：∵六边形是正六边形，∴，，当点在点处时，∵，，∴，当点在点处时，延长交的延长线于点，∵，，∴，∴，∴是正三角形，∴，∵，，∴即，∴是正三角形，∴，∴，故答案为（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键．8．（2023春·江苏·七年级期中）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．根据以上信息，解答下列问题：(1)n的值为____________．(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．【答案】(1)15(2)45(3)【分析】（1）根据多边形的外角和等于，即可求解；（2）用多边形的边数乘以的长，即可求解；（3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：．故答案为：15（2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形，∴这n边形的周长为（米）；故答案为：45（3）解：根据题意，得，解得，               ∴这个正m边形的每一个内角的度数为．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键．9．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）看图回答问题：(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？【答案】(1)理由见详解(2)【分析】（1）根据多边形的内角和定理即可求解；（2）根据题意设多边形的边数为，根据多边形的内角和定理即可求解．【详解】（1）解：∵设多边形的边数为，则边形的内角和是，∴内角和一定是度的倍数，∵，∴内角和为不可能．（2）解：设多边形的边数为，∴，解得，，∴多边形的边数是，∴小华求的是十三边形的内角和．【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．10．（2023春·江苏·七年级期中）一个多边形如果内角都相等，并且满足其一个内角的度数是其相对应外角度数的整数倍，就称这个多边形为“整数多边形”，已知一个“整数多边形”一个内角的度数是其相对应外角度数的5倍，求这个“整数多边形”的边数．【答案】【分析】根据一个外角和对应的内角和为180度，列方程求解即可．【详解】解：设这个“整数多边形”的一个外角度数为，则它的一个内角的度数为，由题意，得．解得．∴这个“整数多边形”的边数为．【点睛】此题考查了求多边形的边数，解题的关键是根据题意找出一个外角和内角和为180度列方程求解．题组C 培优拔尖练1．（2023秋·八年级课时练习）如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用四边形的内角和等于，可求的度数，再利用角平分线的性质及三角形的外角性质可求的度数．【详解】解：如图，连接并延长，，，，、相邻的两外角平分线交于点，，，，即．故选：．【点睛】本题运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质，解题关键是准确计算．2．（2023春·上海·八年级专题练习）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形．【详解】解：∵当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，∴这张纸原来的形状可能是四边形或五边形或三角形，不可能是六边形；即原多边形纸片的边数为:．故选．【点睛】本题考查了多边形剪去一个角的的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．3．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案．【详解】解：连接，如图，∵，，∴，故选C．【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．4．（2023春·江苏泰州·九年级统考阶段练习）一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则该正多边形的边数为______．【答案】12/十二【分析】一个多边形的每个内角度数都是其外角度数的5倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角和的度数，依据多边形的外角和公式即可求解．【详解】设多边形的每个外角为，则其内角为：，解得：，即这个多边形是：．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．5．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若，则______°．【答案】【分析】根据多边形的外角和为，求出另外三个外角的和，再根据补角的定义，进行求解即可．【详解】解：如图：∵多边形的外角和为，∴，∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查多边形的外角和的应用．熟练掌握多边形的外角和为，是解题的关键．6．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______．【答案】/度【分析】过点作，得，得，；根据，是，的角平分线，；；根据四边形内角和为，，即可求出的角度．【详解】如图：过点作，∵，∴，∴；，∵，是，的角平分线，∴；，∴；，∴在四边形中，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，四边形内角和，角平分线；设角等于，；角的等量代换是解题的关键．7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，正十边形与正方形共边，延长正方形的一边与正十边形的一边交于点，则_______.【答案】/度【分析】延长交于，根据正多边形的外角为，结合三角形的外角性质可求得，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可．【详解】解：如图，延长交于，则，，，，即，故答案为：．【点睛】本题考查正多边形的外角和定理、三角形的外角性质、直角三角形两锐角互余，熟知正多边形的外角计算公式是解答的关键．8．（2022·全国·八年级专题练习）阅读材料：解决问题：（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系．小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．证明：连接AD并延长AD到点E．联系拓广：（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°；②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°．【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°．【分析】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可；（2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解；②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可．【详解】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E．则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角，∴∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC．（2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D，∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，∵∠BFE+∠B+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.故答案为：180°②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E，∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.故答案为：360°【点睛】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键.9．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践•体悟】(1)计算：，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．(2)如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．(3)【创造•突破】如图③，，，，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角，则优角______．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1），将原式变形为，先计算多项式乘多项式，再合并同类项；（2）延长交于点F，由三角形外角的性质可得，等量代换可得，根据同位角相等、两直线平行，可证；（3）根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，则两个五边形的内角和．【详解】（1）解：令，原式．（2）证明：延长交于点F，如图所示：∵是的外角，∴，又∵，∴，∴；（3）解：连接、，分成两个五边形，如图所示：五边形的内角和为，两个五边形的内角和为，，，，两个五边形的内角和．【点睛】本题考查整式的混合运算、三角形外角的性质、平行线的判定、多边形内角和定理等，解题的关键是读懂材料，能够通过引入“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”解决问题．10．（2023春·上海·七年级专题练习）(1)如图1，设，则　　；(2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为.①如图2，，与的数量关系是 　　；②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由.(3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　.【答案】(1)(2)①，②，理由见详解(3)【分析】（1）表示出，，用三角形内角和定理即可求解；（2）①由折叠可求得，，用三角形内角和定理即可求解；②由①可求和，即可求解；（3）由（2）得：，可同理求出，，即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，，．故答案：．（2）解：①如图2，由折叠得：，，，，，，．故答案：．②如图3，，理由如下：设与交于，由①得：，，，，，，，，，．（3）解：由（2）得：，同理可得：，，．故答案：．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角与内角关系，四边形的内角和，掌握相关的性质及定理，正确进行整体代换是解题的关键．11．（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．(1)将下面的表格补充完整：(2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；；；18；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据多边形内角和公式求出多边形的内角和，再根据三角形内角和定理可得正边形中的；（2）根据表中的结果得出规律，根据正边形中的得出方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：填表如下：故答案为：，，，，18；（2）解：不存在，理由如下：假设存在正 边形使得，得，解得：，又是正整数，所以不存在正边形使得．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握多边形的内角和．边数n456…旋转角90°108°120°…夹角180°m120°…正多边形的边数3456… ∠α的度数    …正多边形的边数345618的度数