苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第12讲 三角形的中位线（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点 三角形的中位线
（一）三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
【微点拨】
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系。
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的。
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线。
（二）顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。
【微点拨】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成：
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形；
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形；
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形。
【即学即练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；
（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．
【答案】（1）见解析；（2）8
【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出∠BAD=∠CAD，再结合平行线的性质推出∠BAD=∠ADE，从而得到∠ADE=∠EAD，即可根据“等角对等边”证明；
（2）根据题意结合中位线定理可先推出AC=2DE，然后在Rt△ADC中利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）证：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD⊥BC于点D，
∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB交AC于点E，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠CAD=∠ADE，
即：∠ADE=∠EAD，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：由“三线合一”知：BD=CD，
∵BC=12，
∴DC=6，
∵E为AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∴AC=AB=2DE=10，
在Rt△ADC中，，
∴AD=8．
【即学即练2】已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD．E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG=OH．
【答案】见解析
【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF=∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH=∠OHG，根据等角对等边即可证得．
【解析】证明：取BC边的中点M，连接EM，FM
∵M、F分别是BC、CD的中点
∴MF∥BD，MF=BD
同理：ME∥AC，ME=AC
∵AC=BD
∴ME=MF
∴∠MEF=∠MFE
∵MF∥BD
∴∠MFE=∠OGH
同理，∠MEF=∠OHG
∴∠OGH=∠OHG
∴OG=OH
能力拓展
考法 三角形的中位线
【典例1】已知：如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当______时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）．
【答案】（1）见详解；（2）四边形MENF是菱形，理由见详解；（3）2：1
【分析】（1）根据题意可以证明△AMB≌△DMC，从而可以证明结论成立；
（2）根据题意和菱形的判定方法可以解答本题；
（3）根据题意和（2）中的结论可以解答本题．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，
∵，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM，
∴为等腰三角形；
（2）四边形MENF是菱形，理由：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，
∵MF＝CM，
∴NE＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
（3）当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．
理由：∵M为AD中点，
∴AD＝2AM，
∵AD：AB＝2：1，
∴AM＝AB，
∵∠A＝90
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°−45°−45°＝90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形，
即当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．
故答案是：2：1．
【典例2】如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据三角形中位线定理可得，同理可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）连接，先根据三角形中位线定理可得，根据同底等高可得，同理可得，从而可得，再根据等底同高可得，从而可得，然后利用同样的方法即可求出四边形的面积．
【解析】证明：（1）分别是的中点，
，
同理可得：，
，
四边形是平行四边形；
（2）如图，连接，
分别是的中点，
，
（同底等高），
同理可得：，
，
又是的中点，
，
（等底同高），
，
同理可得：，
即四边形的面积为4．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若BC=8cm，则DE=（ ）
A．16cmB．8cmC．4cmD．无法确定
【答案】C
【分析】根据中位线的性质得到DE=BC即可求解．
【解析】∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=BC=4
故选C．
2．如图，平行四边形中，对角线，交于点O，点E是的中点．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分AC，则OE是三角形ABC的中位线，则AB＝2OE，继而求出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，
∵点E是CB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴AB＝2OE，
∵OE＝6cm ，
∴AB＝12cm．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，，，，、分别是、的中点，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理可先求出BC，然后结合中位线定理得出结论．
【解析】由勾股定理得：，
∵、分别是、的中点，
∴是△ABC的中位线，
则，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，，，，D、E分别是、的中点，则的长为（ ）
A．3B．2.5C．4D．3．5
【答案】B
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等于的一半．
【解析】解：点、分别是边、的中点，
∴是△ABC的中位线，
∴．
故选：B．
5．如图，在四边形中，，，、、分别是、、的中点，若，，则等于（ ）
A．76°B．56°C．38°D．28°
【答案】D
【分析】利用、分别是和两个三角形的中位线，求出，从而得出和，再根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【解析】解：∵、、分别是、、的中点，
∴、分别是和两个三角形的中位线，
∴，，且，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
故本题答案为：D．
6．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理得到PE= AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PE=AD，PF=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF=25°，
∴∠EPF=130°，
故选C．
7．如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是___．
【答案】4
【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝2MN＝6，由平行四边形的性质可得AD＝6，由线段关系可求解．
【解析】解：∵M、N分别是BE、CE的中点，
∴BC＝2MN＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵AE＝2ED，
∴ ，
故答案为：4．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝1.5，则BC的长是___．
【答案】3
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解析】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝2×1.5＝3，
故答案为：3．
9．已知以三角形各边中点为顶点的三角形的周长为6cm，则原三角形的周长为_______cm．
【答案】12
【分析】三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的 一半，已知中点三角形的周长，可以求出原三角形的周长．
【解析】解：由中点和中位线定义可得原三角形的各边长分别为新三角形各边长的2倍， 所以原三角形的周长为新三角形的周长的2倍为12．
故答案为12．
10．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=2，BC=6，则OB的长为______．
【答案】
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=2，
∴DC=4，
∵AD=BC=6，
∴AC==2，
∴BO=AC=，
故答案为：
题组B 能力提升练
1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为各边的中点，AH是高．若∠DEF=65°，则∠DHF的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】C
【分析】连结DF，根据点D、E、F分别为各边的中点，可得DE，EF为△ABC的中位线，可确定DE∥AC，EF∥AB，利用平行线性质可得∠DAF=∠EFC=∠DEF=65°，由AH⊥BC，点D为AB中点，点F为AC中点，根据直角三角形斜边中线性质可得DH=AD=BD，FH=AF=CF，可证在△ADF和△HDF中，△ADF≌△HDF（SSS）即可．
【解析】解：连结DF，
∵点D、E、F分别为各边的中点，
∴DE，EF为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴∠DAF=∠EFC=∠DEF=65°，
∵AH⊥BC，点D为AB中点，点F为AC中点，
∴DH=AD=BD，FH=AF=CF，
在△ADF和△HDF中，
，
∴△ADF≌△HDF（SSS），
∴∠DAF=∠DHF=65°．
故选择C．
2．如图，在△ABC中，是上一点，，，垂足为点，是的中点，若，则的长为（ ）
A．32B．16C．8D．4
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质可知AE是中线，然后根据三角形的中位线求解．
【解析】解：∵，，
∴AE是的中线，
∵是的中点，
∴EF是的中位线，
∴EF=BD，
∵，
∴EF=16．
故选B．
3．在中，分别为边上的中点，连接到，使得，连接，则长为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，进而求出AE、EB，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到∠AED=∠AED=60°，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，∠ABC=60°，
∵E为AB边上的中点，
∴AE=EB=4，
∵D、E分别为AC、AB边上的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED=∠AED=60°，
∴∠BEF=∠ABC=60°，
在Rt△AED中，∠A=30°，
∴AE=2DE，
∵EF=2DE，
∴AE=EF，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=BE=4，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，点、分别是、的中点，，点是上一点，．连接、，若，则的长度为（ ）．
A．18B．16C．14D．12
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解析】解：，点是的中点，，
，
，
，
点、分别是、的中点，
，
故选：D．
5．如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A．3.5B．4C．7D．14
【答案】A
【分析】首先根据菱形的性质求出边长并得出，然后利用三角形中位线的性质即可求出答案．
【解析】∵菱形的周长为28，
∴，，
∵为边中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点、DE＝3，那么BC的长为( )
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=BC，从而求出BC．
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=3，
∴BC=2×3=6．
故选C．
7．如图，在△ABC中，，是的角平分线，是中点，连接，若，则______．
【答案】6
【分析】根据等腰三角形三线合一可得D为BC的中点，再结合E为AC的中点，可得DE为△ABC的中位线，从而可求得AB的长度．
【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴AB=2DE=6．
故答案为：6．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝_____cm．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得：（cm），
∴DO=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=2.5cm，
故答案为：2.5．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若CD＝5，则EF＝___．
【答案】5
【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD，EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
【解析】△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
又EF是△ABC的中位线，
EF =×10 =5，
故答案为：5．
10．如图，中，，，，，分别是和上的点，且，，连接，，、分别是和的中点，连接，则线段的长为__________．
【答案】
【分析】取的中点 ，连接，，可得 、 分别是 、 的中位线，利用三角形中位线定理可得，，再由，可得，然后利用勾股定理即可求解．
【解析】解：取的中点 ，连接，，
是的中点，
， ，
∵，，
∴，
同理，，
∵，，
∴，
，
∴ ，
∵，，
∴ ，
，
．
故答案为：．
11．如图所示，在中，为的中点，为的平分线，于，，，求的长．
【答案】3
【分析】延长交于点，根据已知条件可得是等腰三角形，则，，由中位线定理可得，即可求得的长．
【解析】如图，延长交于点，
平分，
，
又，
，
，
，
为的中点，
．
12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F 分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=20°，求∠PFE的度数．
【答案】20°
【分析】根据三角形中位线定理得到PE=AD，PF=BC，得到PE=PF，根据等腰三角形的性质解答．
【解析】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=AD，
同理，PF=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF=20°．
13．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF＝AB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
（2）根据三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论．
【解析】解：（1）连接DF，
∵AD是边BC上的高，
∴，
∵点F是AB的中点，
∴DF＝AB＝BF，
∵DC＝BF，
∴DC＝DF，
∵点E是CF的中点．
∴；
（2）∵DC＝DF，
∴，
∴，
∵DF＝BF，
∴，
∴．
14．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝12，AC＝16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
【答案】EF的长是10．
【分析】如图，取BC边的中点G，连接EG、FG．根据三角形中位线定理易求EG、FG的长度，并且∠EGF=90°，所以在直角△EGF中，利用勾股定理来求EF的长度．
【解析】解：如图，取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EG∥AC，EG=AC，FG∥BD，FG=BD，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得
EF==10，即EF的长度是10．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，点E在AD上且DE=2，点G在AE上且GE=4，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF+EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接AP，首先证明从而得到，作A关于BC的对称点T，连接TE与BC交于，此时的值最小，利用勾股定理求解即可．
【解析】解：如图所示，连接AP，
∵AD=10，DE=2，
∴AE=8，
∵GE=4，
∴G是AE的中点，
∴GF是△APE的中位线，
∴，
∴，
∴只需要求出的最小值即可，
作A关于BC的对称点T，连接TE与BC交于，此时的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAT=90°，
∵AB=BT=3，
∴AT=6，
∴，
∴的最小值为5，
故选D．
2．如图，已知四边形中，，，，点、分别是边、的中点，连接，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取AB的中点G，连接EG、GF，利用三角形中位线性质得到EG＝BD＝4，EG∥BD，GF＝AC＝3，GF∥AC，再判断EG⊥GF，然后利用勾股定理计算EF的长．
【解析】解：取AB的中点G，连接EG、GF，
∵点E、F、G分别是边AD、CB、AB的中点，
∴EG为△ABD的中位线，GF为△ABC的中位线，
∴EG＝BD＝4，EG∥BD，GF＝AC＝3，GF∥AC，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥EG，
∵GF∥AC，
∴EG⊥GF，
在Rt△GEF中，EF＝＝5．
故选：B．
3．如图，在矩形中，，，点在上且．点在上且，点为边上的一个动点，为的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】D
【分析】首先证明GF＋EF＝（PA＋PE），求出PA＋PE的最小值即可，作点A关于BC的对称点T，连接ET交BC于P′，此时P′E＋P′A的值最小．
【解析】解：如图，连接PA．
∵，，，
∴AG＝EG，即：点G是AE的中点，
又∵为的中点，
∴GF是，
∴GF＝PA，
∴GF＋EF＝（PA＋PE），
作点A关于BC的对称点T，连接ET交BC于P′，此时P′E＋P′A的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAT＝90°，
∵AB＝BT＝3，
∴AT＝6，
∵AD＝10，DE＝2，
∴AE＝AD−DE＝10−2＝8，
∴P′E＋P′A＝P′E＋P′T＝ET＝＝，
∴EG＋EF的最小值为×10＝5，
故选D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若BF＝2，则EF的长是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】先说明AB=2BC，再根据勾股定理求出BC和AB，进而得到BD=BC=AD=2，说明F和E分别是AC、CD的中点，最后根据三角形的中位线定理即可解答．
【解析】解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点
∴DC=AB=AD
∵∠ACD＝30°
∴∠A=∠ACD＝30°
∴AB=2BC，∠ABC=60°，
∴BC=AD,即△DBC为等边三角形
∵BF⊥CD于点F，
∴CF=FD,∠DBF=30°
∴BD=2DF
设DF=x，则BD=2x，DF2+BF2=BD2,即x2+() 2=(2x)2,解得x=2或-2（舍去）
∴AD=BD=2x=4
∵DE∥BC交AC于点E，D是AB的中点
∴AE=EC
∵CF=FD
∴EF是三角形ACD的中位线
∴EF=AD=2．
故选B．
5．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
A．3B．C．4D．2
【答案】D
【分析】由题中条件可判定EF是中位线，可得，当动点N与点B重合时，DN值最大，，此时EF长度取最大值．
【解析】解：如图，连接DN，
∵点E、F分别为、的中点，
∴EF是中位线，，
当动点N与点B重合时，，此时DN长度取最大值，即此时EF长度取最大值．
∵，，，
∴，
∴．
故选：D．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABC=60°，点E是AB的中点，连接CE、OE，若AB=2BC，下列结论：①∠ACD=30°；②当BC=4时,BD=；③CD=4OE；④S△COE=S四边形ABCD．其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据∠ABC=60°，点E是AB的中点，且AB=2BC判断出是等边三角形，从而得出，判断①；
过点B作交DC于H，计算长度，再根据勾股定理计算判断②；
根据E，O分别为AB，BD的中点利用中位线定理和AB=2BC判断③；
通过中位线定理得出相似以及线段等量关系从而得出面积的关系判断④．
【解析】∵∠ABC=60°，点E是AB的中点，且AB=2BC
∴
∴是等边三角形，
∴
∴ ,①正确；
过点B作交DC于H如图：
∵BC=4，
∴
∴ ,②正确；
∵E，O分别为AB，BD的中点
∴
又∵
∴,③正确；
∵OE为三角形ABC的中位线
∴
∴
设三角形EOM的面积为S，则三角形MOC面积为2S，三角形MBC面积为4S，三角形EMB面积为2S
∴三角形ABC面积为12S
∴平行四边形ABCD面积为24S
∴S△COE=S四边形ABCD， ④错误
故答案选：C
7．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是直线DE上一点，连接AF、BF，若∠AFB=90°，AB=6，BC=10，则EF的长是__________．
【答案】2或8
【分析】分两种情况讨论，由题意，直角三角形斜边上的中线DF等于斜边的一半，中位线DE等于BC的一半，相减（或相加）即可求得EF．
【解析】解：分两种情况讨论，
第一种情况，如图，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点, BC＝10
∴DE=BC=5
∵∠AFB＝90°，且AB＝6，∵点D是边AB的中点,
∴DF=AB=3
EF=DE−EF=5−3=2；
第二种情况，如图，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点, BC＝10
∴DE=BC=5
∵∠AFB＝90°，且AB＝6，∵点D是边AB的中点,
∴DF=AB=3
EF=DE+EF=5+3=8；
故答案为：2或8．
8．已知：如图，线段AB＝6cm，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边△APC、等边△BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是_____________cm．
【答案】3
【分析】分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∥AB分别交AH于G，BH于N，易证明四边形CPDH是平行四边形，从而得到M是PH的中点故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为△HAB的中位线，即线段GN，由此求解即可．
【解析】解：如图，分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∥AB分别交AH于G，BH于N，
∵△APC、△BPD都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠DPB=∠CPA=60°，
∴AH∥PD，BH∥CP，
∴四边形CPDH是平行四边形，
∴CD与HP互相平分，
∴M是PH的中点，
故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为△HAB的中位线，即线段GN，
∴cm，
故答案为：3．
9．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则_______．
【答案】3
【分析】过O作OM∥BC交CD于M，根据平行四边形的性质得到BO＝DO，根据三角形的中位线的性质得到CM＝MD，可得CF是△EMO中位线，根据中位线性质可求长．
【解析】解：过O作OM∥BC交CD于M，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴BO＝DO，
∴CM＝DM=，
∵，
∴CE=CM，
∵OM∥BC，
∴CF是△EMO中位线，即；
故答案为：3．
10．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为CD、BC的中点，AM＝6，AN＝3，∠MAN＝60°，则对角线BD的长为_____．
【答案】6
【分析】延长AM至E，使得ME＝AM，过点E作EH⊥AN，交AN延长线于H点，连接MN、BD．证明N点为AH中点，求出AH,再运用勾股定理求出HE，最后根据三角形的中位线定理可得MN＝HE＝BD即可求解．
【解析】解：延长AM至E，使得ME＝AM，过点E作EH⊥AN，交AN延长线于H点，连接MN、BD．
∴AE＝2AM＝12．
∵∠MAN＝60°，
∴∠E＝30°，
∴AH＝AE＝6，
∴HE＝ ，
∵AN＝3，
∴N点为AH中点，
∴MN＝HE=，
∵M、N分别为CD、BC的中点，
∴MN＝BD．
∴BD＝HE＝6．
故填6．
11．如图．在△ABC中，．
（1）按要求画图．尺规作图作出的角平分线（射线）BD．交AC于点E；
（2）在（1）的结果下．画图并计算：点F为BC的中点．连接EF，若，求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方式进行解答即可；
（2）根据等腰三角形三线合一以及三角形中位线的知识进行解答即可．
【解析】解：（1）如图即为所作：
；
（2）∵，平分，
∴，
∴，
在中，
，
∵是的中点，为BC的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴的周长＝．
12．如图，在△ABC中，、分别是边、边上的中线，与相交于点，连接．
（1）若，则__________．
（2）判断和的数量关系，并且证明你的结论．
【答案】（1）6；（2），证明见解析
【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线即可求得BC；
（2）取、中点、，连接，，，利用三角形的中位线，证明四边形DMNE为平行四边形，得出OE=OM,即可证得．
【解析】（1）∵、分别是边、边上的中线，
∴点Ｄ，E是AB,AC的中点，
∴,
∴;
（2）．
证明：取、中点、，连接，，．
∵、是、中点，D，E是AB,AC的中点，
∴且MN∥BC,且DE∥BC，
∴，MN∥DE，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．如图，在四边形中，点E是线段上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是，，的中点．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，且，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）正方形，理由见解析
【分析】（1）通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；
（2）添加了条件EF⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．
【解析】解：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GFEC且GF=EC．
又∵H是EC的中点，EH=EC，
∴GFEH且GF=EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接GH，EF．
∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GHBC且GH=BC．
又∵EF⊥BC且EF=BC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，
∴GHBC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．
14．已知：AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接AE．
（1）如图1，求证：AE⊥AC；
（2）如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，若AE＝6，CE＝10，求DF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由菱形的性质可得AO=CO，∠BOC=90°，由三角形的中位线定理可得OB=AE，BD∥AE，即可得结论；
（2）由勾股定理可求AC的长，再根据BE＝BC，AE＝2BO，BO＝3＝DO，BC＝5＝AB，由菱形的面积公式可求DF的长．
【解析】（1）证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO，∠BOC＝90°
∵AO＝CO，BE＝BC
∴OB＝AE，BD∥AE，且∠BOC＝90°
∴∠EAC＝∠BOC＝90°
∴AE⊥AC
（2）连接BD，
∵∠EAC＝90°，AE＝6，CE＝10，
∴AC＝＝8
∵AE＝6，CE＝10，BE＝BC，AE＝2BO
∴BO＝3＝DO，BC＝5＝AB
∵S菱形ABCD＝DF×AB＝AC×BD，
∴5DF＝×6×8
∴DF＝
课程标准
课标解读
探究并证明三角形的中位线定理
1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理。
2. 掌握中点四边形的形成规律。