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中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册3.1.1 椭圆的标准方程课文课件ppt
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这是一份中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册3.1.1 椭圆的标准方程课文课件ppt，文件包含31椭圆课件pptx、31椭圆教案docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共43页， 欢迎下载使用。
中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一,它位于人民大会堂的西侧.观察上图,国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？
可以看出,图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线,人们称之为椭圆.那么,如何画出一个椭圆呢？
我们可以通过一个实验来完成.
1970年4月24日,我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”顺利升空,开创了中国航天史的新纪元,使我国成为全球第五个独立研制并发射人造地球卫星的国家.如图所示,它的预定运行轨道是以半径约为6371km的地球的中心F1为一个焦点的椭圆,近地点A 距离地球441km,远地点B距离地球2368km.那么,如何求出这颗卫星预定运行轨道的椭圆方程呢？
我们知道,通过建立合适的平面直角坐标系,可以求出直线和圆的方程.那么,是否可以 建立恰当的平面直角坐标系来求出椭圆的方程呢？
容易看出,椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形.因此,以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
设椭圆焦距为2c(c>0),则焦点F1 、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0).
又设椭圆上的点M与焦点的距离之和为2a (a>0),即|MF1|+|MF2|=2a.设点M的坐标为(x,y),则有
上面方程称为椭圆的标准方程,此时椭圆的焦点F1和F2在x轴上,焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).
类似地,以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,可以求得椭圆的标准方程为此时椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)和(0,c).
例1 根据条件,求椭圆的标准方程.
例1 根据条件,求椭圆的标准方程. （2）焦点为F1(0,-2)和F2(0,2),椭圆上一点M的坐标为
例2 求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程.
例3 已知椭圆的方程,求其焦点坐标和焦距.
（1）因为6>4,所以椭圆的焦点在x轴上,并且a²=6,b²=4.
要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上,可将椭圆方程化为标准方程.然后,观察标准方程中含x项与含y项的分母,哪项的分母大,焦点就在哪个坐标轴上.
例4 若椭圆距离等于6,求|PF2|.
2. 已知椭圆的焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10.求椭圆的标准方程.
P为椭圆上一点，求ΔPF2F2的周长.
在基础模块,我们利用直线和圆的标准方程得到了圆的性质,是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？
这说明,椭圆位于四条直线x=-a,x=a,y=-b,y=b所围成的矩形框内,如图所示.
在椭圆的标准方程中，将y换成-y,方程不变.这说明,当点P(x,y)在椭圆上时,其关于x轴的对称点 P1(x,-y)也在椭圆上.因此,椭圆关于x轴对称.
同理,将x换成-x,方程不变.这说明,当点P(x,y)在椭圆上时,其关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上.因此,椭圆关于y轴对称. 进一步,将x换成-x ,同时y换成-y,方程不变.这说明,当点P(x,y)在椭圆上时,其关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上.因此,椭圆关于原点对称．
综上所述,椭圆既关于x轴对称,又关于y轴对称,也关于坐标原点对称.x轴与y轴都称为椭圆的对称轴,坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心).
说明,椭圆与y 轴有两个交点B1(0,b)和B2(0,-b),如图所示.
椭圆与它的对称轴的四个交点A1、A2、B1、B2 ,称为椭圆的顶点. 线段A1A2和B1B2 分别称为椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b. a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. 显然,椭圆的焦点在它的长轴上.
值得注意的是,由于a、b、c满足关系式b²+c²=a²,故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形.观察上图，可知
因此,RTΔF2OB2(或F1OB2)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系.
把椭圆的焦距与长轴长之比 称为椭圆的离心率,记作e.即
为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？
例5 求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标.
例6 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.
求椭圆的标准方程时,如果椭圆的交点位置不明确,应分别就焦点在x轴和y 轴上两种情形进行讨论.
例7 用“描点法”画出椭圆 的图形.
由于椭圆具有对称性,一般只需先画出椭圆在第一象限内的图形,然后利用对称性,画出全部图形.
（1）由a²=25,得a=5,则得到椭圆的两个顶点A1(-5,0)、A2(5,0)； （2）由b²=9,得b=3,则得到椭圆的另外两个顶点B1(0,-3),B2(0,3) ； （3）依据椭圆的图形特征,用光滑的曲线连接四个点,则椭圆的大致图像就画好了.
我们可以利用椭圆的顶点和对称性画出大致图像.具体步骤如下：
4. 如图所示,一个椭圆形溜冰场的长轴的两端到同一个焦点的距离分别为40m和10m,求这个椭圆的标准方程和两个焦点的坐标.
中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一,它位于人民大会堂的西侧.观察上图,国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？
可以看出,图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线,人们称之为椭圆.那么,如何画出一个椭圆呢？
我们可以通过一个实验来完成.
1970年4月24日,我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”顺利升空,开创了中国航天史的新纪元,使我国成为全球第五个独立研制并发射人造地球卫星的国家.如图所示,它的预定运行轨道是以半径约为6371km的地球的中心F1为一个焦点的椭圆,近地点A 距离地球441km,远地点B距离地球2368km.那么,如何求出这颗卫星预定运行轨道的椭圆方程呢？
我们知道,通过建立合适的平面直角坐标系,可以求出直线和圆的方程.那么,是否可以 建立恰当的平面直角坐标系来求出椭圆的方程呢？
容易看出,椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形.因此,以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
设椭圆焦距为2c(c>0),则焦点F1 、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0).
又设椭圆上的点M与焦点的距离之和为2a (a>0),即|MF1|+|MF2|=2a.设点M的坐标为(x,y),则有
上面方程称为椭圆的标准方程,此时椭圆的焦点F1和F2在x轴上,焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).
类似地,以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,可以求得椭圆的标准方程为此时椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)和(0,c).
例1 根据条件,求椭圆的标准方程.
例1 根据条件,求椭圆的标准方程. （2）焦点为F1(0,-2)和F2(0,2),椭圆上一点M的坐标为
例2 求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程.
例3 已知椭圆的方程,求其焦点坐标和焦距.
（1）因为6>4,所以椭圆的焦点在x轴上,并且a²=6,b²=4.
要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上,可将椭圆方程化为标准方程.然后,观察标准方程中含x项与含y项的分母,哪项的分母大,焦点就在哪个坐标轴上.
例4 若椭圆距离等于6,求|PF2|.
2. 已知椭圆的焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10.求椭圆的标准方程.
P为椭圆上一点，求ΔPF2F2的周长.
在基础模块,我们利用直线和圆的标准方程得到了圆的性质,是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？
这说明,椭圆位于四条直线x=-a,x=a,y=-b,y=b所围成的矩形框内,如图所示.
在椭圆的标准方程中，将y换成-y,方程不变.这说明,当点P(x,y)在椭圆上时,其关于x轴的对称点 P1(x,-y)也在椭圆上.因此,椭圆关于x轴对称.
同理,将x换成-x,方程不变.这说明,当点P(x,y)在椭圆上时,其关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上.因此,椭圆关于y轴对称. 进一步,将x换成-x ,同时y换成-y,方程不变.这说明,当点P(x,y)在椭圆上时,其关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上.因此,椭圆关于原点对称．
综上所述,椭圆既关于x轴对称,又关于y轴对称,也关于坐标原点对称.x轴与y轴都称为椭圆的对称轴,坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心).
说明,椭圆与y 轴有两个交点B1(0,b)和B2(0,-b),如图所示.
椭圆与它的对称轴的四个交点A1、A2、B1、B2 ,称为椭圆的顶点. 线段A1A2和B1B2 分别称为椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b. a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. 显然,椭圆的焦点在它的长轴上.
值得注意的是,由于a、b、c满足关系式b²+c²=a²,故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形.观察上图，可知
因此,RTΔF2OB2(或F1OB2)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系.
把椭圆的焦距与长轴长之比 称为椭圆的离心率,记作e.即
为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？
例5 求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标.
例6 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.
求椭圆的标准方程时,如果椭圆的交点位置不明确,应分别就焦点在x轴和y 轴上两种情形进行讨论.
例7 用“描点法”画出椭圆 的图形.
由于椭圆具有对称性,一般只需先画出椭圆在第一象限内的图形,然后利用对称性,画出全部图形.
（1）由a²=25,得a=5,则得到椭圆的两个顶点A1(-5,0)、A2(5,0)； （2）由b²=9,得b=3,则得到椭圆的另外两个顶点B1(0,-3),B2(0,3) ； （3）依据椭圆的图形特征,用光滑的曲线连接四个点,则椭圆的大致图像就画好了.
我们可以利用椭圆的顶点和对称性画出大致图像.具体步骤如下：
4. 如图所示,一个椭圆形溜冰场的长轴的两端到同一个焦点的距离分别为40m和10m,求这个椭圆的标准方程和两个焦点的坐标.
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