2023-2024学年河北省承德市兴隆县八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省承德市兴隆县八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学试卷
本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟．
卷Ⅰ（选择题，共38分）
一、选择题（共16个小题，1-6每小题3分，7-16每小题2分，共38分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．在数轴上找不到
C．1的立方根与1的平方根相等D．和是同类二次根式
3．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍D．不变
4．小方用两块相同的含角的直角三角板拼成如下平面图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则的值是（ ）
A．B．3C．D．
6．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45°B．有一个锐角小于45°
C．两个锐角都小于45°D．有一个锐角大于45°
7．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①全等三角形的周长相等 ②两边和一个角对应相等的两个三角形全等
③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等
A．4B．3C．2D．1
8．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．，，
9．在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为，，斜边长为)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）

A．甲B．乙C．甲，乙都可以D．甲，乙都不可以
10．若一个正方形的面积为17，则下列有理数中最接近该正方形边长的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．直线l
C．点C，D关于直线l对称D．点A，B关于直线对称
12．如图，，点在上，若，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
13．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
14．如图，已知，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
16．如图，A、B是网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（ ）

A．8个B．11个C．12个D．14个
卷Ⅱ（非选择题，共82分）
二、填空题（共3个小题，5个空，每空2分，共10分．把答案写在题中横线上）
17．化简：= ．
18．如图，在中，，，于点D．则的长为 ， ．
19．实数和数轴上的点是一一对应的，你能找到下面数轴上的两个点表示的实数吗？
（1）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是 ．
（2）如图，数轴上的点A表示原点，，垂足为D，且，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ．
三、解答题（共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算：
(1)
(2)
21．命题：全等三角形的对应边上的高相等．
(1)写成“如果……，那么……”： ；
(2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程．

22．已知，．
(1)若，求a；
(2)比较A与B的大小；
(3)当时，求的值．
23．如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27．
(1)求出这个魔方的棱长．
(2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．
(3)在图2的方格中画一个面积为10的正方形．
24．应用题. 已知：，是的角平分线，点P是上一点，与和交于点D和点E．求证：．
25．峡江县某学校为落实教育部课程标准（2022年版）劳动课程，特开辟一处耕种园让学生体验农耕劳动，现需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗价格是每捆B种菜苗价格的1.5倍，用300元购买A种菜苗的数量比用同样价格购买B种菜苗的数量少2捆．
(1)求市场上每捆A种菜苗和B种菜苗的价格．
(2)学校决定在市场上购买A，B两种菜苗共100捆，总费用不超过6000元，请问最多可以购买A种菜苗多少捆？
26．如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)_______．
(2)当点P在斜边上时，
①当点P运动到的中点时，则___________．
②当点P运动到最短时，则________．
(3)当P在边上时，的长为________．（用含t的代数式表示）
(4)若点P在的角平分线上，求t的值．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式并求解，即可得出答案．
【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义，
则有，
解得．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了最简二次根式，数轴与点，平方根与立方根，同类二次根式，根据性质判断解答即可．
【详解】A. 是最简二次根式，正确，符合题意；
B. 在数轴上能找到，错误，不符合题意；
C. 1的立方根是1，1的平方根是，错误，不符合题意；
D. ，，不是同类二次根式，错误，不符合题意；
故选A．
3．D
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据性质解答即可．
【详解】，
∴分式的值不变，
故选D．
4．D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．熟记相关结论即可．
【详解】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C：是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D：既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D
5．A
【分析】把所求的式子进行通分，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．A
【分析】根据反证法中假定结论不成立，进行判断即可．
【详解】解：至少有一个锐角不大于的反面为：两个锐角都大于45°；
故选A．
【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的第一步，假设结论不成立，是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据判定和性质解答即可．
【详解】①全等三角形的周长相等，正确，符合题意；
②两边和夹角对应相等的两个三角形全等，错误，不符合题意
③全等三角形的面积相等，正确，符合题意；
④面积相等的两个三角形不一定全等，错误，不符合题意；
故选C．
8．C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，熟记勾股定理逆定理是解答本题的关键．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理分析每个选项，得出正确答案．
【详解】解：根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，
、，是直角三角形，故不符合题意；
、，，
，即是直角三角形，故不符合题意；
、，
不是直角三角形，故符合题意；
、，
是直角三角形，故不符合题意，
故选：．
9．A
【分析】由图形中的面积关系:正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，大正方形的面积矩形的面积两个小正方形的面积，应用完全平方公式即可求解．
【详解】解：甲同学的的方案：
大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，
，
，
，
因此甲同学的的方案可以证明勾股定理；
乙同学的的方案：
大正方形的面积矩形的面积两个小正方形的面积，
，
得不到，
因此乙同学的的方案不可以证明勾股定理．
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，再与进行比较即可，解题的关键是能准确理解并应用算术平方根的知识进行求解．
【详解】解：，
，
，
∴，
∴最接近整数4，
即最接近该正方形边长的是4，
故选：A．
11．C
【分析】根据主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，等腰三角形的性质．根据作法得：，平分，再根据等腰三角形的性质可得直线l，且平分直线l，即可．
【详解】解：根据作法得：，平分，故A选项正确，不符合题意；
∴直线l，且平分直线l，故B选项正确，不符合题意；
∴点A，B关于直线对称，故D选项正确，不符合题意；
根据作法无法得到点C，D关于直线l对称，故C选项错误，符合题意；
故选：C
12．C
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据，得到，，进而利用求出的长即可．掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵点在上，
∴；
故选C．
13．B
【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第一批购买了套，第二批购买了套，根据用元购买的套数只比第一批少4套列出方程即可
【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，由题意得，
．
故选：B
【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
14．B
【分析】本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，则，再根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
过点P作于点，
∵平分，，
∴，
∴的最小值为，
故选：B．
15．C
【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可．
【详解】解：，
当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意；
当时，，，故B选项错误，不符合题意；
当时，，，故C选项正确，符合题意；
当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．
16．D
【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，等腰三角形的判定，先以为底，作的垂直平分线，与网格无交点，再分别以点A，B为圆心，以为半径画弧确定格点C的数目即可．
【详解】如图所示．

点C的位置一共有14个．
故选：D．
17．2
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】∵22=4，
∴=2，
故答案为：2
【点睛】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键．
18． 5
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，勾股定理，含角的直角三角形性质，运用性质，计算即可．
【详解】∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：5，．
19． ##
【分析】本题考查了数轴与实数，数轴上两点之间的距离，勾股定理等知识．熟练掌握数轴与实数，数轴上两点之间的距离，勾股定理是解题的关键．
（1）由题意知，点A，点B之间的距离为，则点B对应的实数是；
（2）由勾股定理得，，则，点C表示的数为，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，点A，点B之间的距离为，
∴点B对应的实数是，
故答案为：；
（2）解：由勾股定理得，，
∴，
∴点C表示的数为，
故答案为：．
20．(1)6
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则和乘法公式进行计算．
（1）利用平方差公式计算即可；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式乘法；最后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
21．(1)如果两个三角形是全等三角形，那么它们对应边上的高相等
(2)见解析
【分析】（1）根据命题“如果……，那么……”的结构特征直接改写即可得到答案；
（2）已知：如图，，于， 于．求证：．利用已知，根据两个三角形全等的判定与性质，由即可得到结论．
【详解】（1）解：如果两个三角形是全等三角形，那么它们对应边上的高相等；
（2）解：已知：如图，，于， 于．
求证：．
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，，
在和中
∴，
∴．
【点睛】本题第一问考查将命题按照“如果……，那么……”结构改写，掌握定义即可解决问题；第二问考查两个三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解分式方程，分式的大小比较，求分式的值．
(1)构造分式方程，并解答即可．
(2)作差法，通分解答即可．
(3)利用分式的化简求值思想计算即可．
【详解】（1），
，
则，
经检验是方程的解，
∴．
（2），
不论a为何值时，，
∴．
（3）当时，求．
23．(1)3
(2)5，
(3)见解析
【分析】本题考查了立方根的计算，勾股定理，网格作图．
(1)设魔方的棱长为x，根据题意，得，解答即可．
(2)根据分割法求面积，根据正方形的性质求边长即可．
(3)设正方形的边长为m，根据题意，得，求得边长，再仿照阴影图形的结构，画图解答即可．
【详解】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得，
解得．
故魔方的棱长为3．
（2）∵魔方的棱长为3，
∴阴影面积为：，
设正方形的边长为y，
则，
解得（舍去），
故正方形的面积是5，边长为．
（3）设正方形的边长为m，根据题意，得，
解得（舍去），
画图如下：
24．见详解
【分析】本题考查了角的平分线性质，三角形全等的判定和性质，过点P作于点M，P作于点N，证明即可．
【详解】证明：过点P作于点M，P作于点N，
是的角平分线，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
．
25．(1)A种菜苗每捆价格为75元，B种菜苗每捆价格为50元
(2)最多可以购买A种菜苗40捆
【分析】（1）设B种菜苗每捆价格为x元，则A种菜苗每捆价格为元，根据题意列出方程求解；
（2）设购买A种菜苗y捆，则购买B种菜苗捆，根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设B种菜苗每捆价格为x元，则A种菜苗每捆价格为元，
根据题意可列方程，
解得 ，
经检验，是原分式方程的解，
∴A种菜苗每捆价格为元，B种菜苗每捆价格为50元．
（2）解：设购买A种菜苗y捆，则购买B种菜苗捆．
根据题意可列不等式，
解得，
答：最多可以购买A种菜苗40捆．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解答本题的关键．
26．(1)24
(2)，
(3)
(4)
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；②根据垂线段最短得到，当时，最短，利用等面积法即可求解；
（3）根据点P的运动路径及速度可解；
（4）过点P作于E，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
；
故答案为：24；
（2）解：①∵在中，，，点P为的中点，
，
故答案为：；
②当时，最短，
，
,
，
故答案为：；
（3）解：∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，，，
故答案为：；
（4）解：点P在的角平分线上，过点P作于E，如图2所示，
平分，，
，
又，
∴，
，则，
由题意，知，
，
，
在 中，
由勾股定理，得，即，
解得，
∴点P在的角平分线上时，．
【点睛】本题主要考查勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、直角三角形的特征，三角形全等的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．