山东省济宁市2023-2024学年北师大版九年级上册数学期末模拟题(含解析)

这是一份山东省济宁市2023-2024学年北师大版九年级上册数学期末模拟题(含解析)，共27页。试卷主要包含了下列函数不是反比例函数的是等内容，欢迎下载使用。

1．如图的两幅图分别反映了小树在（ ）下的情形．
A．阳光、阳光B．路灯、阳光C．阳光、路灯D．路灯、路灯
2．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝﹣C．xy＝5D．y＝
3．如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形ABCD，AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝ADB．OA＝OCC．AC⊥BDD．AC＝AD
4．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝5B．（x+3）2＝4C．（x﹣3）2＝4D．（x+3）2＝14
5．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好随机将其中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起．则这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
7．若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
8．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠CDB＝42°，则∠ABC的度数是（ ）
A．48°B．42°C．45°D．43°
10．如图，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数的图象上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（ ）
A．B．﹣3C．3D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝ °．
12．2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．若销售价格每次上涨的百分率相同，则这个增长率为 ．
13．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
14．如图，AB⊥BD，DE⊥BD，AB＝6，DE＝4，BD＝14，点P在BD上移动，当△ABC与△CDE相似时，BC的值为 ．
15．某三棱柱的三种视图如图所示，它的主视图是三角形，左视图和俯视图都是矩形，且俯视图的面积是左视图面积的2倍，左视图中矩形ABCD的边长AB＝3，则主视图的面积为 ．
三．解答题（共8小题）
16．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上两树间的坡面距离（结果保留小数点后一位）．
17．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30m的铁栅栏．
（1）求梯形的面积y与高x的表达式；
（2）求x的取值范围．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少？
19．已知一个“粮仓”从不同方向看的图形如图所示（单位：m），根据图中所给的数据求出它的容积．（参考公式：V圆柱＝πr2h，V圆锥πr2h，结果保留π）
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a）和B（3，b）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）点P在y轴上，Q在双曲线上，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
21．在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方90m的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为30°和45°，求桥AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.41，≈1.73）
22．如图所示，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣2），点P在抛物线对称轴上并且位于x轴的下方，以点P为圆心作过A、B两点的圆，恰好使得弧AB的长为⊙P周长的．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求⊙P的半径和圆心P的坐标，并判断抛物线的顶点C与⊙P的位置关系；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．
山东省济宁市北师大版2023-2024学年九年级上册期末模拟题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图的两幅图分别反映了小树在（ ）下的情形．
A．阳光、阳光B．路灯、阳光C．阳光、路灯D．路灯、路灯
【分析】物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影．然后根据平行投影和中心投影的特点及区别，即可判断．
【解答】解：第一幅图是太阳光形成的，第二幅图是路灯灯光形成的；
故选：C．
【点评】本题考查平行投影和中心投影的知识，解答关键是熟练掌握这两个基础概念．
2．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝﹣C．xy＝5D．y＝
【分析】根据反比例函数与一次函数的定义进行解答即可．
【解答】解：A、y＝3x﹣1＝是反比例函数，故本选项错误；
B、y＝﹣是正比例函数，故本选项正确；
C、xy＝5是反比例函数，故本选项错误；
D、y＝是反比例函数，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数的定义，熟知判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断是解答此题的关键．
3．如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形ABCD，AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝ADB．OA＝OCC．AC⊥BDD．AC＝AD
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证BC＝CD，然后证平行四边形ABCD是菱形，得AB＝AD，OA＝OC，AC⊥BD，不能得出AC＝AD，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OA＝OC，AC⊥BD，
不能得出AC＝AD，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
4．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝5B．（x+3）2＝4C．（x﹣3）2＝4D．（x+3）2＝14
【分析】根据完全平方公式的性质，根据等式的性质即可求解．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
移项，x2﹣6x＝﹣5，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，x2﹣6x+32＝﹣5+32，
整理得，x2﹣6x+9＝4，即（x﹣3）2＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式的性质，等式的性质的知识是解题的关键．
5．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好随机将其中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起．则这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】将四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯分别记作A，a；B，b；C，c；D，d，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：将四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯分别记作A，a；B，b；C，c；D，d．
列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中这个茶杯颜色搭配恰好正确的有4种结果，
所以这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
6．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解；∵点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，根据定理列出比例式是解题的关键．
7．若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【分析】根据非负数的性质得到sinA＝，csB＝，再根据特殊角的三角函数值得到锐角A＝60°，锐角B＝60°，然后根据等边三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：根据题意得sinA﹣＝0，csB﹣＝0，
∴sinA＝，csB＝，
∴锐角A＝60°，锐角B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
8．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图，下列结论中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断可求解．
【解答】解：（1）由图象与x轴有两个交点可判别，①正确；
（2）开口向下则a＜0，对称轴“左同右异”则b＜0，与y轴交于正半轴则c＞0，则abc＞0，②错误；
（3）由对称轴x＝﹣1可得b＝2a，则2a+b﹣c＝4a﹣c，由a＜0，c＞0可知4a﹣c＜0，③错误；
（4）当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，④错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质判定是解题的关键．
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠CDB＝42°，则∠ABC的度数是（ ）
A．48°B．42°C．45°D．43°
【分析】如图所示，连接OC，由圆周角定理得到∠BOC＝2∠CDB＝84°，由平角的定义可得∠AOC＝180°﹣∠BCO＝96°，则由圆周角定理可得．
【解答】解：如图所示，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，∠CDB＝42°，
∴∠BOC＝2∠CDB＝84°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BCO＝96°，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
10．如图，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数的图象上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（ ）
A．B．﹣3C．3D．
【分析】根据矩形的性质和反比例函数k值的几何意义进行推导即可．
【解答】解：如图，∵ABCD是矩形，AC是过原点的对角线，
∴四边形DGOE、AFOG、OFBH、ECHO都是矩形，
∴S四边形DGOE＝S四边形OFBH＝OE•OG＝1×3＝3，
∵丨k丨＝S四边形OFBH＝3，且图象在第四象限，
∴k＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的K值的几何意义和反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝ 45 °．
【分析】根据题意知△ADE是等腰三角形，且∠ADE＝90°+60°＝150°．根据三角形内角和定理及等腰三角形性质可求出底角∠AED的度数，然后利用等边三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠DEC＝60°，
∴∠AED＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
∴∠AEC＝∠DEC﹣∠DEA＝45°．
故答案为：45．
【点评】此题考查了正方形、等边三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题．
12．2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．若销售价格每次上涨的百分率相同，则这个增长率为 20% ．
【分析】设销售价格每次上涨的百分率为x，利用经过两次价格调整后的销售单价＝原销售单价×（1+销售价格每次上涨的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设销售价格每次上涨的百分率为x，
根据题意得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴销售价格每次上涨的百分率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，
由图可得，一共有12种等可能性的结果，
其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
14．如图，AB⊥BD，DE⊥BD，AB＝6，DE＝4，BD＝14，点P在BD上移动，当△ABC与△CDE相似时，BC的值为 2或8.4或12 ．
【分析】分两种情况讨论，当BC与CD为对应边，当BC与DE为对应边，利用相似三角形的性质分别求解即可．
【解答】解：∵△ABC与△CDE，AB⊥BD，DE⊥BD，
当BC与CD为对应边，
∴，
∵AB＝6，DE＝4，BD＝14，
∴CD＝BD﹣BC，
∴，
∴BC＝8.4，
当BC与DE为对应边，
∴，
∵AB＝6，DE＝4，BD＝14，
∴CD＝BD﹣BC，
∴，
∴BC＝2或12，
综上所述：当BC的值为2或8.4或12时相似．
故答案为：2或8.4或12．
【点评】本题考查学相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
15．某三棱柱的三种视图如图所示，它的主视图是三角形，左视图和俯视图都是矩形，且俯视图的面积是左视图面积的2倍，左视图中矩形ABCD的边长AB＝3，则主视图的面积为 9 ．
【分析】根据三视图关系可知，主视图、俯视图与左视图的长相等，由左视图中矩形ABCD的边长AB＝3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，可知主视图的宽为2AB＝6，由主视图与左视图关系可知，主视图三角形的高为AB＝3，从而利用三角形面积公式即可得到主视图的面积为．
【解答】解：∵主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形ABCD的边长AB＝3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，
∴主视图的宽为2AB＝6，
∵主视图与左视图关系知主视图三角形的高为AB＝3，
∴主视图的面积为，
故答案为：9．
【点评】本题考查三视图边长关系，熟练掌握“长对正、高平齐、宽相等”，通过三视图准确得到相应图形的边长是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上两树间的坡面距离（结果保留小数点后一位）．
【分析】根据题意画出图形，再根据三角函数可得AB＝AC÷cs24°，再代入数计算即可．
【解答】解：由题意得：AC＝5.5米，∠A＝24°，
AB＝AC÷cs24°＝5.5÷0.914≈6.0（米）．
答：斜坡上两树间的坡面距离是6.0米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握三角函数的定义．
17．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30m的铁栅栏．
（1）求梯形的面积y与高x的表达式；
（2）求x的取值范围．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，得出DC＝AE＝BE＝x，再证明△ABE是等腰直角三角形，得出AD＝CE＝30﹣2x，然后根据梯形的面积公式即可求出y与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解；
（2）根据AE＞0，AD＞0，即可求出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）如图，连接DE，过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，DC＝AE＝x，∠DAE＝∠AEB＝90°，
则∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝45°，
在直角△CDE中，
又∵∠AEB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴DC＝AE＝BE＝x，
∴AD＝CE＝30﹣2x，
∴梯形ABCD面积y＝（AD+BC）•CD＝（30﹣2x+30﹣x）•x＝﹣x2+30x；
（2）∵，
∴0＜x＜15．
【点评】本题考查了直角梯形的性质及二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是找到两个变量y与x之间的函数关系．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少？
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由正方形的性质得出∠ACD＝45°，根据S阴影＝S扇形ACE﹣S△ACD即可得出结论．
【解答】解：在正方形ABCD中，，
∴，∠ACD＝45°，
∵点E在BC的延长线上，
∴∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝45°+90°＝135°，
∴S阴影＝S扇形ACE﹣S△ACD＝﹣＝6π﹣4．
故图中阴影部分的面积为6π﹣4．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及正方形的性质是解答此题的关键．
19．已知一个“粮仓”从不同方向看的图形如图所示（单位：m），根据图中所给的数据求出它的容积．（参考公式：V圆柱＝πr2h，V圆锥πr2h，结果保留π）
【分析】根据三视图可知：粮仓是上面为圆锥，下面为圆柱，利用圆柱和圆锥的容积公式，算出它们的和即可．
【解答】解：观察三视图可知：圆锥的底面半径为3m，高为7﹣4＝3m，圆柱的底面半径也为3m，高为4m，
∴，
，
∴粮仓的容积为：V圆锥+V圆柱
＝9π+36π
＝45π（m3）．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，解题关键是熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a）和B（3，b）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）点P在y轴上，Q在双曲线上，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当AB为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当AP或AQ为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，即点A（1，3），
同理可得，点B（3，1），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3×1＝3，
即反比例函数的表达式为：y＝；
（2）设点P的坐标为：（0，y）、点Q的横坐标为m（m＞0），
当AB为对角线时，由中点坐标公式得：3+1＝m+0，
解得：m＝4，
则点Q（4，）；
当AP或AQ为对角线时，
同理可得：1+0＝3+m或1+m＝3+0，
解得：m＝﹣2（舍去）或2，
则点Q（2，）；
综上，点Q的坐标为：（4，）或（2，）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到平行四边形的性质，分类求解是本题解题的关键．
21．在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方90m的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为30°和45°，求桥AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据锐角三角函数即可求出结果．
【解答】解：如图，过C点作CD⊥AB，垂足为D．
∴∠ADC＝∠BDC＝90°．
在Rt△BDC中，
∵∠B＝45°，CD＝90m，
∴BD＝CD＝90m．
在Rt△ADC中，
∵∠A＝30°，CD＝90m，
∴∠ACD＝60°．
∴．
∴（m）．
答：桥AB的长度约为246m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
22．如图所示，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣2），点P在抛物线对称轴上并且位于x轴的下方，以点P为圆心作过A、B两点的圆，恰好使得弧AB的长为⊙P周长的．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求⊙P的半径和圆心P的坐标，并判断抛物线的顶点C与⊙P的位置关系；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由对称轴求得b的值，然后由点D求得c的值，得到抛物线的解析式；
（2）连接AP，BP，令y＝0求得点A和点B的坐标，得到AE和BE的长，然后由弧AB的长为⊙P周长的得到∠APB＝120°，进而得到∠APE＝∠BPE＝60°，然后解直角三角形得到EP和AP的长，即可得到点P的坐标和⊙P的半径，再求得顶点C的坐标得到PC的长，然后判断顶点C与⊙P的位置；
（3）设点M的坐标，从而得到△ABM的面积，然后由得到点M的坐标．
【解答】解：（1）∵对称轴为x＝1，
∴，
∴b＝﹣2，
把D（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，得c＝﹣2．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣2．
（2）把y＝0代入y＝x2﹣2x﹣2，得x2﹣2x﹣2＝0，
解得：，，
∴，，
∴，
∵对称轴为x＝1，
∴OE＝1，
∴，
连接PA、PB，
∵的长为⊙P周长的，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PBE＝30°，
由勾股定理可得：PE＝1，PB＝2，
∴⊙P的半径为2，P的坐标为（1，﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点C的坐标为（1，﹣3），
∴PC＝2，
∴点C在⊙P上．
（3）存在，理由如下，
设点M的坐标为（a，a2﹣2a﹣2），
∵，
∴，
∴|a2﹣2a﹣2|＝3，
①当a2﹣2a﹣2＝3时，
解得：，，
∴，；
②当a2﹣2a﹣2＝﹣3时，
解得：a3＝a4＝1，
∴M3（1，﹣3）
综上所述，符合条件的点M的坐标有，，（1，﹣3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，垂径定理，解直角三角形，与圆有关的位置关系，解题的关键是设点M的坐标，利用绝对值思想表示出△ABM的面积，同时渗透了分类讨论的数学思想．
23．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．
【分析】（1）由∠BOC为直角，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠OBC与∠OCB互余，又BE与BF为圆的两条切线，根据切线长定理可得BO为∠EBF的平分线，同理可得CO为∠FCG的平分线，根据角平分线定义分别得到两对角相等，根据等量代换可得∠EOB与∠OCG也互余，可得四个角相加为180°，即同旁内角互补，根据同旁内角互补两直线平行可得证；
（2）连接OE，OF，OG，由AB，BC及CD为圆的切线，可得OE与AB垂直，OF与BC垂直，OG与CD垂直，再根据切线长定理可得BE＝BF，又OB＝OB，利用HL可得直角三角形OEB与直角三角形OFB全等，可得扇形OEM与扇形OFM的圆心角相等，又半径相等，可得这两个扇形面积相等，同时三角形OEB与三角形OFB全等，利用等式的基本性质可得阴影BEM与阴影BFM面积相等，同理可得阴影NCF与阴影NCG面积相等，故用2（三角形OBC的面积减去扇形OMN的面积）可求出阴影部分的面积，而三角形OBC的面积等于两直角边乘积的一半求出，扇形OMN的圆心角为直角，半径为直角三角形斜边上的高，利用扇形面积求出，将求出的面积代入即可求出所求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
又BE与BF为圆O的切线，
∴BO为∠EBF的平分线，
∴∠OBC＝∠OBF，
同理可得∠OCB＝∠OCG，
∴∠OBF+∠OCG＝90°，
∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG＝180°，
即∠ABF+∠DCF＝180°，
∴AB∥CD；
（2）连接OE，OF，OG，如图所示：
由BE和BF为圆的切线，
可得OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB＝∠OFB＝90°，
∴BE＝BF，又OB＝OB，
∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），
∴∠BOE＝∠BOF，S△OEB＝S△OFB，
∴S扇形OEM＝S扇形OFM，
∴S△OEB﹣S扇形OEM＝S△OFB﹣S扇形OFM，
即S阴影BEM＝S阴影BFM，
同理S阴影NFC＝S阴影NCG，
由∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，
根据勾股定理得：BC＝5，
∵BC为圆的切线，∴OF⊥BC，
∴OB•OC＝BC•OF，即OF＝，
∴S△BOC＝OB•OC＝6，
S扇形OMN＝＝，
则阴影部分面积S＝2（S阴影BFM+S阴影NFC）
＝2（S△BOC﹣S扇形OMN）＝12﹣．
【点评】此题考查了切线长定理，切线的性质，平行线的判定，勾股定理，直角三角形全等的判定与性质，以及扇形的面积计算，其中切线长定理是过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等，且此点与圆心的连线平分两切线的夹角，熟练掌握此性质是解本题的关键，同时注意不规则阴影图形面积的求法主要利用转化的思想来解决．
A
B
C
D
a
Aa
Ba
Ca
Da
b
Ab
Bb
Cb
Db
c
Ac
Bc
Cc
Dc
d
Ad
Bd
Cd
Dd