浙江省衢州市巨化中学九年级下学期数学第一次模拟考试题

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一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 的相反数是( )
A. 2B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【详解】根据相反数的定义进行判断即可．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【解答】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方和合并同类项法则，逐项分析可得答案．
【解答】解：A．，选项正确，符合题意；
B．不能合并，选项错误，不符合题意；
C．，选项错误，不符合题意；
D．，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，除法，幂的乘方和合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴上的点的纵坐标为，得出的值进而得出的坐标．
【详解】解：点在x轴上，则，
解得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴上的点的坐标特征，掌握轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
4. 5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从几何体的正面看到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握和运用组合体的三视图的识别方法是解决本题的关键．
5. 据了解，某定点医院收治的6名“新型冠状肺炎”患者的新冠病毒潜伏期分别为2天，3天，3天，3天，4天，5天，则这6名患者新冠病毒潜伏期的众数为（ ）
A. 2天B. 3天C. 4天D. 5天
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵这组数据中出现次数最多的数是3天，
∴这6名患者新冠病毒潜伏期的众数是3天；
故选：B
【点睛】本题考查的知识点是众数概念，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数．掌握众数的定义是解此题的关键．
6. 已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，判断即可．
【详解】解：在△ABC中，AB=4，BC=7，
则7-4＜AC＜7+4，即3＜AC＜11，
∴边AC的长可能是4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
7. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解得：，
解得：，
∴不等式组的解集是，
故选：D．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的解集，能准确求出不等式组中的每个不等式的解集，然后根据口诀确定不等式组的解集是本题的关键．
8. 一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9. 如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】作辅助线如解析图，由七巧板和正方形的性质可知，，，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，过E作交FH的延长线于G，
∵正方形的边长为4，
∴，
∴点E所在正方形的边长为，
∴，
由七巧板和正方形的性质可知：，
在中，由勾股定理得，，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形性质，七巧板的特点，勾股定理，解题的关键是根据七巧板的特点，求出，．
10. 已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A. 1B. -1C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
【详解】当a＞0时，∵对称轴为x=，
当x=1时，y有最小值2，当x=3时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1，
当a＜0时，同理可得
y有最大值为2； y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1，
综上，a的值为
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
二、填空题（共6小题）
11. 计算：_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握相应的运算方法．
12. 有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于3的概率是________．
【答案】##
【解析】
【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于3的有共3种结果，根据概率公式计算可得．
【详解】解：任意抛掷这枚骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于3的有共3种结果，
∴朝上面的点数大于3的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
13. 若分式有意义，则的取值范围是_____．
【答案】x≠2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件建立不等式，求解即可．
【详解】解：由题意，得x﹣2≠0．解得x≠2，
故答案为：x≠2.
14. 如图，点A在半圆O上，BC为直径．若∠ABC=30°，BC=3，则的长是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角与圆心角的关系可求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴由弧长公式得，的长为
故答案：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、求弧长等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．
15. 如图，点A，B是反比例函数图象第二象限上的两点，射线交x轴于点C，且B恰好为中点，过点B作y轴的平行线，交射线于点D，连接，若的面积为3，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式可得，，，再根据平行线分线段成比例可得，点A是的中点，进而得出，得出答案．
【详解】解：如图，过点A作于E，则，
∵点B是的中点，
∴，，，
设点，即，，
∴，
又∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴点A是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例以及三角形面积的计算方法，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握平行线分线段成比例是解决问题的关键．
16. 图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点在同一直线上，且，图2是小床支撑脚折叠的示意图，在折叠过程中，变形为四边形，最后折叠形成一条线段“”．某家装厂设计的折叠床是，，
①此时应该是多长___________；
②折叠时，当时，___________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】①根据题意表示出各线段的长，共线则；
②根据题意作出示意图，连接，过点A作于M，由勾股定理求得，设，通过勾股定理列出方程，求得x，进而求结果．
【详解】解：①∵，共线，
由图形可得：，
∴，
故答案为：；
②设，则，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，，
根据题意作出示意图如下，连接，过点A作于M，
∵，
∴，
设，则，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，三角函数，勾股定理等知识点，运用方程思想结合勾股定理解题是本题的关键．
三、解答题（共8小题）
17. 计算：
（1）分解因式：；
（2）解分式方程：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解是．
【点睛】本题考查因式分解和分式方程的解法，熟练掌握完全平方公式和找最简公分母是解题的关键．
18. 如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．
求证： ∠A=∠D
【答案】见解析
【解析】
【详解】证明：∵ BE=CF，
∴ BE+EC=CF+EC 即BC=EF，
在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF
∴∠A＝∠D
19. 如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段DE和三角形ABC的顶点都在格点上．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
（1）的面积为______．
（2）在DE的右侧找一点F，使得与全等；
（3）画中BC边上的高AH．
【答案】（1）8 （2）画图见解析
（3）画图见解析
【解析】
【分析】（1）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可得到答案；
（2）由网格特点与全等三角形的性质取格点F，使 从而可得答案；
（3）利用网格特点取格点Q，如图，连接AQ交BC于点H，从而可得答案．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
如图，即为所求作的三角形，
理由：网格图可得：



同理：
【小问3详解】
如图，线段即为所求作的BC上的高，
【点睛】本题考查的是利用割补法求解三角形的面积，作全等的网格三角形，画三角形的高，掌握“网格的特点”是解本题的关键．
20. 微信圈有篇热传的文章《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机！》．国际上，法国教育部宣布，小学和初中于2018年9月新学期开始，禁止学生使用手机，为了解学生手机使用情况．高新区某学校开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，图②的统计图．已知“查资料”的人数是40人．
（1）在这次调查中，一共抽取了 ___________名学生；
（2）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角的度数是 ___________度；
（3）补全条形统计图；
（4）该校共有学生2000人，请估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
【答案】（1）100 （2）126
（3）见解析 （4）1280（人）
【解析】
【分析】（1）由“查资料”的人数是40人，占被调查人数的40%可得答案；
（2）由扇形统计图其他百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即可得到结果；
（3）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；
（4）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以2000即可得到结果．
【小问1详解】
解：在这次调查中，一共抽取学生（人），
故答案为：100；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
则“玩游戏”对应的圆心角度数是；
故答案为：126；
【小问3详解】
解：3小时以上的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
【小问4详解】
解：估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约为
（人）．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本所占百分比估计总体的知识，注重数形结合是解答本题的基础．
21. 如图，是的外接圆，是的直径，点B是的中点，过点B的切线与的延长线交于点D．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，由为的切线，得到，证明推出即可；
（2）连接，根据圆周角定理得到，根据三角函数得到，求出，根据勾股定理求出即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵为的切线，
∴，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴的半径为．
【点睛】此题考查了证明直线是圆的切线，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，正确掌握圆周角定理是解题的关键．
22. 如图，小赵和小李相约去农庄游玩．小李从小区甲骑电动车出发．同时，小赵从小区乙开车出发，途中，他去超市买了一些东西后，按原来的速度继续去农庄，小区甲、乙、超市和农庄之间的路程图所示，设他们离小区甲的路程为s（），出发的时间为t（分）．根据图回答问题：
（1）点A的坐标为___________，小赵的开车速度为___________分；
（2）求线段的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）求小赵离开超市后追上小李时，距离农庄多少km？
【答案】（1），1
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意和图像可得出结论；
（2）求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
（3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程．
【小问1详解】
解：由题意得，A点坐标为，
∵小区乙到超市，用时6分钟，
∴小赵的速度为（），
故答案为：，1；
【小问2详解】
根据题意，点E坐标为，
则点B坐标为，
∵小赵的速度为，
∴小赵从超市到农庄所用时间为（），
∴点C坐标为，
设线段的函数表达式为，
把，代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数表达式为；
【小问3详解】
线段的函数解析式为，
把点代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数解析式为，
当小赵离开超市后追上小李时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得，
∴．
∴小赵离开超市后追上小李时，距离农庄．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图像获取信息，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点问题，读懂题意，运用树形结合的思想解题是关键．
23. 中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台长1米（即），平台距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系．已知滑道对应的函数为．运动员（看成点）在方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：．
（1）求滑道对应的函数表达式；
（2）当时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
（3）在某一次的试跳中，运动员甲从A处飞出，飞出的路径近似看作函数图象的一部分，根据实践可知，若运动员在飞行的过程中，存在飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在米的范围内即可成功，请你通过计算说明该运动员此次试跳是否能成功．
【答案】（1）
（2）没有 （3）能成功
【解析】
【分析】（1）将代入求出c，进而得出函数的解析式；
（2）可求得M的坐标，代入验证是否符合函数的解析式，进一步得出结果；
（3）设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为，求出其函数关系式，得出其顶点坐标，进而得出结论．
【小问1详解】
解：将代入得，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，即，
当时，，
∴运动员没有落在滑道上；
【小问3详解】
解：设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为，
∴
，
∵，
∴当时，存在飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在米的范围内，
∴该运动员此次试跳能成功．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
24. 如图，四边形是菱形，其中，点E在对角线上，点F在射线上运动，连接，作，交直线于点G．
（1）在线段上取一点T，使，
①求证：；
②求证：；
（2）图中，．
①点F在线段上，求周长的最大值和最小值；
②记点F关于直线的轴对称点为点N．若点N落在的内部（不含边界），求的取值范围．
【答案】（1）①见解析，②见解析
（2）①最小值为，最大值为，②
【解析】
【分析】（1）①先证明是等边三角形，说明，再证明是等边三角形，得出，，根据，，证明即可；
②根据证即可得证结论；
（2）①先证明点F在线段上时，是等边三角形，确定周长最大时和最小时点F的位置，从而可求出的长，进而求出周长即可；
②找出点N落在上时，求出的长，当N落在上时，求出的长，从而确定的取值范围即可．
【小问1详解】
①证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①如下图，当点F与点B重合时，
同（1）可得，，
∵，
∴是等边三角形，
同理可得，当点F在边上时，均是等边三角形，
当时，最短，如下图，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴等边三角形的周长最小值为：，
当点F与点B重合时，如下图，
过点E作于H，
则，，
∴，
在中， ，
∴此时的周长最大，最大值为：，
∴的周长最小值为，最大值为；
②当点N在上时，如下图，
作于M，点F关于的对称点N在上，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
中，，
∴，
∴；
当点N在上时，如下图，
连接，
∵点N与点F关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，并注意分类讨论．