6.4 求和方法（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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1．（2023·江苏苏州·模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：.已知数列的通项公式为，则其前9项的和等于（ ）
A．13280B．20196C．20232D．29520
【答案】B
【解析】，
.故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德粒米，这是一个天文数字.年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算个格子一共能得到（ ）粒米.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】按照小明的方案，设第个格子放的米粒数为，其中，
则数列满足：，，，
所以，当时，，
故数列是从第项开始成以为公比的等比数列，且，
所以，，则，
所以，数列的前项和为
.故选：D.
3．（2023·广东广州·统考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640B．1560C．820D．780
【答案】C
【解析】设第层放小球的个数为，由题意，，……，数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以．
故，故．故选：C．
4．（2023·安徽淮南·统考二模）我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有《四元玉鉴》和《算学启蒙》等，在《算学启蒙》中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，6，10，15，…，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，16，…，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”.根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是（ ）（参考公式：）
A．4，11B．5，12C．6，13D．7，14
【答案】B
【解析】设三角果子垛自上至下依次为，
当时，所以
，且时，
所以三角果子垛第层的果子数为，
四角果子垛第层的果子数为，
设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为，
所以三角果子垛各层果子总和为，
四角果子垛各层果子总和为，由题意，
即，
解得，所以该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是.故选：B.
5．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98B．99C．100D．101
【答案】C
【解析】由已知，数列通项，所以，
所以，
所以.
故选：C.
6．（2023·江西南昌·统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，
，
，，
，，即.故选：D．
7．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则______．

【答案】/
【解析】依题意，在数列中，，
当时，，满足上式，
因此，，数列的前项和为，
则，
所以.
故答案为：
8．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_________．
【答案】
【解析】由得，
，
由，
得，
故，
故，
所以，
则，
两式相减得：

故，
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.
【答案】 5
【解析】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；
故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，
设，
则，
两式作差得：
，
因此，.
故答案为：；.
10．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）正项数列中，，，的前n项和为，从下面三个条件中任选一个，将序号填在横线______上．
①，；
②为等差数列；
③为等差数列，试完成下面两个问题：
(1)求的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）选①：，设，
则n为奇数时，，
，设，则n为偶数时，，
所以.
选②：的第1项为，第2项，
则，则.
选③:为等差数列，，，
则，
则，，
则，经检验也成立，所以．
（2）证明：由（1）可得，
则，
则
11．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
【答案】(1)，．(2)
【解析】（1）解：对任意的，因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合，
所以，．
（2）解：因为，，
所以当时，，
所以，，
所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
12．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明是等比数列；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意得．
又因为，所以．
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得．
所以．
所以
.
13．（2023·辽宁辽阳·统考二模）在①2，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：设数列的前项和为，且__________．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）选①，因为，所以，
所以，所以，
则.
因为满足上式，所以.
选②，因为，所以，
所以.
因为满足上式，所以，
则，因为满足上式，所以.
（2）由（1）可得，则
14．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的通项公式.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，
由，所以，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）得，
所以，
所以
.
15．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，
即，当时，有，两式相除得，，
显然，即，因此当时，，即，
所以数列的通项公式.
（2）设的前项和为，由（1）得，，于是，
因此，
则，
所以数列前项和为.
16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由，可得，
又，所以是以3为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）知：，
所以，
所以，
所以
.
17．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，且，，成等比数列．
(1)求通项公式；
(2)令，求数列的前项和；
【答案】(1)，；(2)．
【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，，，成等比数列，，
， 又，，解得，
，；
（2）由（1），可得
，

．
18．（2023·山东烟台·统考三模）已知数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由得，，
所以时，，
故，又，则，当时，成立，
所以，．
（2）由（1）知，，
所以，
，
因为，
于是，
所以，．
故数列的前项和为．
19．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知数列满足，(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前40项和.
【答案】(1)(2)784
【解析】（1）由题意易得，由可得，
所以数列是公差为2的等差数列.故，即.
（2）由（1）知，.所以的前40项和
.
20．（2023·陕西西安·校考模拟预测）正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．
【答案】(1)；；
(2).
【解析】（1）由可得，，
又因为为正项数列的前n项和，所以，
因为，所以，
所以，数列为等差数列，
所以 ，，，所以.
（2），
.
21．（2023·重庆万州·统考模拟预测）在①；②，与都是等比数列；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
已知数列的前n项和为，且______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选①：当时，，解得；
当时，，，
两式相减得：，
即，所以，
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列.
所以.
若选②：都是等比数列，设的公比为：，
因为是等比数列，，
即，解得（舍去）或，
因为，所以.
若选③：当时，，解得；
当时，，，
两式相减得：，所以
所以，当时，符合，
故.
（2）由（1）可知：，
所以，
所以数列的前n项和为：
，
，
两式相减得：，
所以，
所以，
所以.
22．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，若对满足的任意正整数，，均有成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）对满足的任意正整数，，
均有成立，
令，则即，
令，，得，
，
，
解得，，
由题意数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，
，即，
（2）由1知，
则，
，
，
．
23．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，.
(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;
(2)若 ，求数列的前项和.
从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析，
(2)答案见解析
【解析】（1）依题意可得，
两式相减并化简得，所以
又，，解得.
所以，故
由于，所以，于是.
故数列是首项为3，公比为3的等比数列
，即
（2）选①: 由（1）得，则

两式相减得：

所以
选②: 由（1）得，所以
（i）当为偶数时，

（ii）当为奇数时，

综上所述
24．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知为正项等差数列，为正项等比数列，其中，且，成等比数列，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，则．
因为，且成等比数列，
所以解得或（舍去）
所以．
因为，即，可得或（舍去），
所以．
（2），记的前项和为，
，①
，②
由①-②，得
，
所以．
25．（2023春·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列的公差为，则，即，则，
则数列为等比数列，设其公比为，
由，得，解得，
所以.
（2）由（1）得，
，
，
所以，
所以.
26．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
27．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求其前项和
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
所以由题意可得数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，即，
所以，
两式作差得：，
化简得：即，
所以，
所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为；
（2）方法一：
设，
则有，比较系数得，
所以
所以，
所以，
所以.
方法二：
因为，
所以，
所以，
所以
，
所以.
28．（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足．
(1)证明：和都是等比数列；
(2)求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为，，
所以，，
又由，得，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，
所以．
29．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知等比数列的公比，前n项和为，满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）法一：
因为是公比的等比数列，
所以由，得，即，
两式相除得，整理得，即，
解得或，又，所以，故，
所以，
法二：因为是公比的等比数列，
所以由得，即，则，，解得或（舍去），
故，则，所以.
（2）当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
.
30．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1），
当时，，
两式相减可得，，
故等比数列的公比为，
，
，
故数列的通项公式为．
（2）由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
31．（2022春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知数列，，为数列的前n项和，，若，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式为，令为的前n项的和，求.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）解：，
因为，所以，
又，所以是公比为2，首项为2的等比数列，
，，
，
综上，是公差为1，首项为1的等差数列，
．
（2）解：令，
①②，得，
，
．
32．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求使成立的最小正整数.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知，可得，即
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，可得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由，可得，
当为偶数时，为偶数，当为奇数时，为奇数，
所以，
所以前项的和，
所以，
所以，不合题意，
又因为，且，
所以使的最小值为.
1．（2022·全国·高三专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（ ）
A．B．0C．59D．
【答案】A
【解析】令 ①
则 ②
①+②可得：，
，..
故选：A
2．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）（多选）如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由题设且，
由，，，...，，
所以，
则，A错误；
由，，，...，，
所以，则，B正确；
由，则，
所以
，C正确；
由，
所以
，D正确.
故选：BCD.
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）数列的前1357项均为正数,且有：,则的可能取值个数为（ ）
A．665B．666C．1330D．1332
【答案】B
【解析】当时,,
因为数列的前项均为正数,
所以,
设数列的前项和为,
所以①,
则②,
②-①得:,
化简得,
若,③,
则④,
③-④得,
因为数列的前项均为正数,
所以,
即数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以,
所以为定值.
由可得:从项到项,连续两项之间有两种情况:或,
根据相反数的立方和为零可得每增加两项，可能结果增加两种；而第1358项有两种可能；
所以最后结果的个数可能为:种.
故选:B.
4．（2023·全国·高三对口高考）在如图所示的数表中，第行第列的数记为，且满足，，，则此数表中的第行第列的数是________；记第行的数、、、、、为数列，则数列的通项公式为________．
【答案】
【解析】由题意可得，，
且，则；
，记，则，即，
且，
当且，
，
也满足，故对任意的，，
则，所以，，且，
当且，
，
也满足，故对任意的，.
故答案为：；.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，设函数，则___________，___________.
【答案】 /
【解析】由于，①，
当时，所以，
当时，，②，
①②得：，
所以，显然时也成立，
当时，，
当时也成立，所以；
根据函数，
所以，，
所以；
所以
．
故答案为：；
6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n项和：形如的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和．李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考：
错位相减：设，
综上：当中间项可以相消时，可将求解的问题用错位相减化简
裂项相消：设或为公比为1的等比数列；
①当时，
②当为公比为1的等比数列时，；
故可为简便计算省去②的讨论，
综上：可将求解的问题用裂项相消转化为求解的问题
你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个问题：
(1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列{}前n项和；
(2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列{}前n项和；
(3)融会贯通，求证：前n项和满．
请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程．
【答案】(1)；
(2)；
(3)裂项过程见解析，证明见解析.
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以；
（2）因为，设，
则，所以，，
故
所以，
所以；
（3）因为，设，
则，
则，所以，
即，
所以
所以，
所以
7．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
8．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列的前项和为是与的等差中项；数列中.
(1)求数列与的通项公式；
(2)若，证明：；
(3)设，求.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】（1）是与的等差中项，.
当时，；
当时，.
则数列是以为首项，为公比的等比数列，则；
当时，，满足上式，
综上，，；
（2）由（1），当时，.
则当时，不等式成立；当时，；
当时，
综上，；
（3）.
则，得
.
则
9．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列.
（i）求的通项公式；
（ii）设，证明：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【解析】（1）解：因为，可得，
两式相减可得，即，
则，
又因为，可得，
所以当时，，即，
当时，不满足上式，
所以数列的通项公式为
（2）解：（i）设数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，
整理得，解得或，
因为，可得，
又因为，所以数列的通项公式为.
（ii）由（i）知，，
可得，
当时，；
当时，，
综上可得，对于任意，都有.
10．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项的和.
【答案】(1)；
(2)
【解析】（1），解得：
设等差数列的公差为，等比数列的首项为，公比为
，，
，则：
又，得：
（2）
数列的前项的和：.
11．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)
【解析】（1）时，，，两式相减，可得，由题意得，可得，则有
当为奇数时，为等差数列，，
当为偶数时，为等差数列，，
（2），
，利用倒序相加，可得
，
解得，
，
12．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
当为奇数时，则，
设，
则，
两式相减得
，
所以；
当为偶数时，则，
设，
所以；
综上所述：，
当为奇数时，则
；
当为偶数时，则
；
综上所述：.
13．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）2023年4月23日，是中国海军成立74周年74年向海图强，74年劈波斩浪．74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列．从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平．为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰”､“32广西舰”“33安徽舰”），并限量发行若该公司每个月发行300件（三款各100件），一共持续12个月，采用摇号的方式进行销售．假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款．小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂．
(1)若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；
(2)若摇上号的人不再参加后面的摇号．已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型．设他第X个月摇到并获得了模型，求X的数学期望．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题可知，小周第1个月摇上号的概率为，所以小周连续三个月摇上号的概率为，
小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有种情况，三个月获得模型共有种情况，
所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为,
设事件为“小周在这三个月集齐三款模型”，则．
（2）由题意得，，
则，
两边同乘得，
两式相减得
，
所以．
14．（2023·山东烟台·统考三模）现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的个黑球和个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出个球互相交换后放袋子中，重复进行次此操作．记第次操作后，甲袋子中红球的个数为．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)求第次操作后，甲袋子中恰有个红球的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】（1）由题知，的所有可能取值为、、，
，，，
所以，的分布列为
所以，的数学期望．
（2）由题知，
又，
所以，，
整理得，，
所以，，
又因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，
所以，，即.
所以的前项是由个与个组成．所以．
15．（2023·山东泰安·统考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.
(1)设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；
(2)设结束后，细胞数量为的概率为 .
（i）求；
（ii）证明：.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）证明见解析
【解析】（1）个结束后，的取值可能为,其中,
，
，，
所以分布列为
.
（2）（i）表示分裂结束后共有个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设在第时分裂为个细胞，之后一直有 个细胞，
此事件概率，
所以
.
（ii）代表分裂后有个细胞的概率，设细胞在后分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为个细胞，一个保持一直分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令,，
记，,令，得.
当,,递增；
当，,递减.
故，
也就是.
第1行 1 2 4 8 …
第2行 2 3 5 9 …
第3行 3 5 8 13 …
… …