10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，
故选：B.
2．（2023秋·江西·高三统考开学考试）已知，，，若，则（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】由题意得，，
由，得，
解得.
故选：B.
3．（2024秋·北京房山·高三统考开学考试）已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则由题意可得，
解得，
所以，
故选：D
4．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若向量，，则（ ）
A．B．C．40D．46
【答案】D
【解析】因为，
所以．
故选：D
5．（2023·青海西宁）已知向量，， 若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为向量，，所以，，
又，所以，解得.
故选：A.
6．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）己知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连接、，

因为，则，所以，且，
又因为，则四边形为菱形，
设，则为的中点，且，
因此，在上的投影向量为，
故选：A.
7．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）在中，点在线段上，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】因为点在线段上，所以存在实数，使得，
所以，即，
所以，
又，所以，所以.
故选：C
8．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，由，为上一点，
且满足，则，
又由三点共线，则，即，
因为，
则，
则的值为.
故选：C.
9．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，是上一点，设，
则，
又，所以，
所以，
所以，解得.
故选：C
10．（2023·全国·高三专题练习）在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，，且，
而，
所以，
即，
由已知，则，选项D正确.
故选：D
11．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ）

A．＋B．＋
C．D．＋
【答案】B
【解析】分别为的边上的中线,
则,
,
由于，，所以,
故解得
故选：B
12．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，，，若点D是斜边AB的中点，点P是中线CD上一点，且，则（ ）

A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，点P在线段CD上，如图所示

则，即，于是有，
因为点D是斜边AB的中点，
所以.
所以
所以，解得.
故选：D.
13．（2022秋·山东济宁·高三济宁市育才中学校考阶段练习）（多选）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
14．（2023·广东梅州·统考三模）（多选）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因为，，所以，
因为为的中点，所以，
所以，所以，.
可知：AD错误，BC正确.
故选：BC.
15．（2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习）（多选）设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．，的夹角为钝角D．若实数使得成立，则为负数
【答案】AD
【解析】对A，当不共线时，根据向量减法的三角形法则知，
当反向共线时，，
故，A正确；
对B，若，则以为邻边的平行四边形为矩形，
且和是这个矩形的两条对角线长，则，故B错误；
对C，若的夹角范围为，根据向量加法的平行四边形法则知：，故C错误；
对D，若存在实数，使得成立，则共线，由于，
则反向共线，所以为负数，故D正确.
故选：AD.
16（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与向量共线，则
【答案】AD
【解析】由题意知，，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：在方向上的投影向量为，故B错误；
对于选项C：设与垂直的单位向量的坐标为，
可得，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；
对于选项D：因为向量与向量共线，
所以若存在，使得，
则，解得，故D正确．
故选：AD.
17．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是 ．
【答案】②③/③②
【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则，显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确，
对于⑤，当时，，，但推不出，故⑤不正确.
故答案为：②③
18．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是 ．
①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形是平行四边形的充要条件是；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
【答案】④⑤
【解析】由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确．
由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．
零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．
若，可得且，所以四边形为平行四边形，
当时若为平行四边形，可得，所以④正确．
由模为0是一个向量为，其中的方向时不确定的，所以⑤正确．
故答案为：④⑤.
19．（2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）在平行四边形中，，.若，则 .
【答案】/
【解析】因为在平行四边形中，，，
所以
，
因为，所以，
所以，
故答案为：

20．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项和，，平面内三个不共线的向量，满足（且），若、、在同一直线上，则 .
【答案】2
【解析】因为平面内三个不共线的向量，满足，
又在同一直线上，所以，即，
因为，所以数列为：
则数列是以6为周期的周期数列，前6项为
又因为，所以.
故答案为：2
21（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）在中，为的三等分点（靠近点），为的中点，若，则 ．

【答案】
【解析】
，
所以.
故答案为：
22．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）设是两个不共线的单位向量，若，，，且三点共线，则实数的值为 ．
【答案】/0.4
【解析】因为三点共线，设，
且，
则，即，
因此，解得，
故答案为：．
23．（2023·全国·高三专题练习），是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数 .
【答案】
【解析】依题意得，，于是，
由三点共线可知，存在，使得，即，
由于，是两个不共线的向量，则，解得.
故答案为：
24（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）向量与能作为平面向量的一组基底.
(1)若，， ，证明三点共线
(2)若与共线，求的值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1），，
，又因为有公共点点，三点共线.
（2）设，，
即
则，解得
1．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，
则，.
因为，故，
因为，所以（负值舍去），
所以，
故.又，则，
因为，所以，
解得，所以，
故选：A.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，是边上的点，满足，在线段上（不含端点），且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【解析】因为是边上的点，满足，则，
所以，，
因为在线段上（不含端点），则存在实数，使得，
所以，，
又因为，且、不共线，则，故，

因为，则，，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
3．（2023·陕西宝鸡·校考一模）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意椭圆，为两个焦点，可得，

则①，即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，
而，所以，
即，
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，所以，
即，所以，所以，
又，，
则，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，，
所以当取最大值时，.
故选：A
5．（2023春·江西赣州·高三兴国平川中学校联考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，，，
所以，
所以，
所以，故，
故选：B.

6．（2023·全国·高三专题练习）设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为 ．
【答案】10
【解析】由题意知，，
所以，
由于点是圆上的点,故其坐标满足方程，
故，
所以.
由圆的方程，易知，
所以当时，的值最大，最大值为.
故答案为：10
7．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，P为内一点．若点P满足，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由，得，
即，
整理可得，
故点P在的平分线上，同理可得点P在的平分线上，
所以点P为的内心．
如图，延长，交于点D，过点P作，，垂足分别为E，F，

设，，
由，得，
由D，A，C三点共线得，
所以．
因为，所以，
代入得，当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为．
8．（2023·上海·高三专题练习）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
9（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）已知在边长为的等边中，是边的一个三等分点，是直线上一点，若，则 ．
【答案】2
【解析】则，则共线，故.
则，，，故.
又是边的一个三等分点，故，故，.
则
.

故答案为：2
10．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知正方形的边长为2，对角线相交于点是线段上一点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】记，设，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：