新高考数学一轮复习提升训练10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习提升训练10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（含解析），共14页。试卷主要包含了平面向量的基本定理，平面向量中的共线问题，最值，平面向量与其他知识综合等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 平面向量的基本定理
【例1】（2022·广东·高三开学考试）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如图，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
2．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 满足（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
因为点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 三点共线知，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 三点共线知，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 为不共线的非零向量，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确； SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；D不正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C不正确.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为中线，所以点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0
故选：BC．
考点二 平面向量中的共线问题
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若O，A，B三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为O，A，B三点共线，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
又∵向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
故选：A．
【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若M、P、Q三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．4D．－1
【答案】A
【解析】∵M、P、Q三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，E为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，P为 SKIPIF 1 < 0 上任一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D．12
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三点共线，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是12.
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】3
【解析】
如图，设F为BC的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又G，D，E三点共线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，若向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 的值为____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，可设 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
考点三 最值
【例3】2（2022·北京·高三开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，若点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】如图所示
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由图像可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·浙江）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 在圆外，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】单位向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，其中锐角 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）在平面内，定点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点P，M满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 三点的距离相等，可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，
所以 SKIPIF 1 < 0 的外心与垂心重合，所以 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中心，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，
如图所示，以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
考点四 平面向量与其他知识综合
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，M，N分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D，E是线段 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的的最小值是（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【例4-2】（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 所以
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【一隅三反】
1．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）（多选）在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的2倍，又数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为等比数列B． SKIPIF 1 < 0 为递减数列
C． SKIPIF 1 < 0 为等差数列D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】如图，连 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 不是常数，所以 SKIPIF 1 < 0 不为等比数列，故A不正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 不是常数，所以 SKIPIF 1 < 0 不为等差数列，故C不正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD
2．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知任意平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 绕其起点沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 角得到向量 SKIPIF 1 < 0 ，叫做把点 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 角得到点 SKIPIF 1 < 0 .已知平面内点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到点 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为___________.（用坐标作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意若将 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
而由A、B两点坐标可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .