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陕西省咸阳市西北农林科技大学附中2023-2024学年高二上学期期末模拟 数学试题（含解析）
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这是一份陕西省咸阳市西北农林科技大学附中2023-2024学年高二上学期期末模拟 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了已知命题P，与椭圆C，命题，在轴上且与点和点距离相等的点是，椭圆与关系为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知命题P：，，则命题P的否定为
A．，B．，
C．，D．，
2．设向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．（
C．D．
3．与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．命题：，，命题q：，都有.实数m同时满足命题为真命题且命题为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．在轴上且与点和点距离相等的点是（ ）
A．B．C．D．
6．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长B．有相等的离心率
C．有相同的焦点D．有相等的焦距
8．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的右顶点为A，虚轴的上端点为B，左焦点为F，则（ ）
A．B．0C．D．
9．在长方体中，，，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（ ）
A．1B．C．D．
10．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．则的值为（ ）
A．4B．C．1D．
11．已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
12．已知点是双曲线在第一象限右支上的任意一点，过P分别作两渐近线的垂线，垂足分别是M，N，原点为O，则四边形OMPN的面积为（ ）
A．B．1C．2D．不确定
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．若，使，则实数的范围为 .
14．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两焦点距离之和为 .
15．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且满足，则该椭圆的离心率是 .
16．我国有一种容器叫做“方斗”，“方斗”的形状是一个上大下小的正四棱台，如果一方斗的高为分米（即该方斗上、下两底面的距离为分米），上底边长为分米，下底边长为分米，则此方斗外表面的侧面积为 平方分米．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．已知椭圆的离心率为，椭圆C截直线所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程
(2)动直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，D为线段AB的中点，点N是M关于O的对称点，以N点为圆心的圆过原点O，直线DF与⊙N相切于点F，求的最大值
18．已知命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．
(1)当时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分条件，求实数m的取值范围．
19．已知向量，，．
(1)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(2)若向量与向量，共面，求实数的值．
20．已知双曲线C：的离心率为，右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若，求的面积．
21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，E为的中点，F是棱的中点，，底面.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）在线段（不含端点）上是否存在一点M，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.
22．已知椭圆的离心率为，分别是它的左､右焦点，且存在直线l，使得关于l的对称点恰好是某一个半径为2的圆的直径的两个端点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线与抛物线相交于A､B两点，射线､与椭圆E分别相交于M､N.试探究：是否存在数集D，当且仅当时，总存在实数m，使得点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
1．D
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：，则￢p为：，．
故选D．
【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
2．D
【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的投影向量的计算方法，即可求解.
【详解】由向量，
则向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
3．C
【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出的值，结合可求的值，则双曲线方程可求.
【详解】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以，
记，所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为，
故选：C.
4．D
【分析】分别求出真、假所对应的的取值范围，然后求它们的交集就可以得到答案.
【详解】根据题意，对于：，，
当时，不等式为，恒成立；
当时，有，解之可得：.
综合可得：时，真.
对于：都有.
设，因为其对称轴为，开口向上，在区间上无解，
所以或，解得或.
所以，命题为假命题可得：
若命题为真命题且命题为假命题，则有.
故选：D
5．C
【分析】设该点坐标为，利用距离相等列方程求解即可.
【详解】设该点坐标为，
因为该点与两点和距离相等，
所以解得
故该点为，
故选:C．
6．C
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】由题意可知以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，
则，，
故可得，
故选：C
【点睛】本题考查了空间向量求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.
7．D
【分析】分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案
【详解】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，
对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，
故选项D正确，其他选项错误.
故选：D.
8．B
【分析】根据双曲线的顶点和上端点的定义，结合双曲线的离心率公式、平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可．
【详解】由题意可得：，，，
因为，则，，
则，可得，
即．
故选：B.
9．B
【分析】由长方体性质确定线面角且求，进而求出长度.
【详解】根据长方体性质知面，故为直线与平面所成的角的平面角，
所以，则，可得，如下图示，
所以在中，符合题设.
故选：B
10．B
【分析】根据直线过的焦点且斜率为得直线方程，联立直线方程与抛物线方程，消去得，，从而有.
【详解】抛物线的焦点为，
过的焦点且斜率为的直线方程为，
因为该直线与抛物线有两个交点，，所以，
联立，消去得，.
由韦达定理得，.
故选：B.
11．B
【分析】过作准线的垂线，设的中点为，过作轴的垂线，根据梯形中位线和抛物线的定义可知，由此可求得最小值.
【详解】由抛物线方程知其焦点为，准线为；
分别过作准线的垂线，垂足分别为，与分别交轴于，
则，．
设的中点为，过作轴的垂线，垂足为，
（当且仅当三点共线时，等号成立）
线段的中点到轴的距离的最小值为．
故选：B.
12．A
【分析】根据渐近线方程分析出四边形为矩形，由此将面积表示为，根据点到直线的距离公式分别表示出，由此可计算出四边形的面积.
【详解】因为双曲线的渐近线为，
渐近线斜率乘积为，所以渐近线互相垂直；
所以四边形为矩形，所以，
记，不妨设，且
所以，
所以，
故选：A.
13．
【分析】由题意求出不等式的解集，即可得出实数的范围.
【详解】，使成立，
可令，得，解得，
所以实数的范围是.
故答案为：.
14．8
【解析】由椭圆方程求出，再根据椭圆的定义可求得结果.
【详解】由，得，
由椭圆的定义可得到该椭圆的两个焦点的距离之和为.
故答案为：
15．
【解析】先根据椭圆定义求得,再利用余弦定理列方程解得离心率.
【详解】因为，
所以
因此
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．
【分析】画出图形，利用条件求出正四棱台的侧棱长，然后可算出答案.
【详解】
如图，由题意可得，
所以，，所以
所以梯形的高为，
所以梯形的面积为
所以此方斗外表面的侧面积为
故答案为：
17．(1)
(2)2
【分析】（1）根据椭圆的离心率和关系并代入点坐标即可求解；
（2）根据直线和椭圆联立，中点坐标公式，相切关系，换元法和对号函数即可求解.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，
得.
又当时，
得，
所以
因此椭圆方程为.
（2）
设A（，），B（，）.
联立方程得
由得（*）
且，
因此，
所以
又N（0，-m），
所以
整理得：，
因为
所以
令故
所以
因为上单调递增，
因此
等号当且仅当时成立，
此时
最大值为2.
18．(1)
(2)．
【分析】（1）根据命题的真假，可得相应不等式组，解不等式，即可得答案；
（2）由q是p的充分条件，可得命题相应的集合之间的包含关系，列出不等式，即可求得答案.
【详解】（1）命题p：实数x满足，解得：，
当时，命题q：实数x满足，
当“p且q”为真时，x满足，
解得，故实数x的取值范围为；
（2）若q是p的充分条件，则设命题p表示的集合为，
命题q表示的集合为，
所以：，且，
即得，解得．
故m的取值范围为．
19．(1)实数和的值分别为，
(2)
【分析】（1）由模长的坐标表示可得的值，由题意可得，利用向量线性运算和数量积的坐标表示列方程即可求解；
（2）由空间向量基本定理设，利用坐标表示列方程组即可求解.
【详解】（1）因为，所以，解得：，所以
且，
因为向量与垂直，
所以．可得，
即，解得：
所以实数和的值分别为和．
（2）因为向量与向量，共面，所以设，
所以，
所以，所以，所以实数的值为．
20．(1)
(2)．
【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出它们的值，即得答案；
（2）由题意可确定P点坐标，根据三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得：，据此可得，
故双曲线的标准方程为．
（2）由双曲线的标准方程可得，由于，则，
双曲线的渐近线方程为，
不妨设点P在双曲线的渐近线上，则，
则△PFO的面积．
21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，.
【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，根据向量数量积为零，即可证明；
（Ⅱ）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系求出其正弦值；
（Ⅲ）设，，利用空间向量法表示出直线和平面所成角的正弦值，即可得到方程，求出，即可求出的长；
【详解】解：（Ⅰ）由题意得：，，，
所以四边形为矩形，
又面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，，
则，则，
则，不妨设，则，
可得
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
（Ⅱ）设平面的法向量为，，，
则，即，不妨设，可得，
设平面的法向量为，，
则，即，不妨设，可得，
因此有，
（注：结果正负取决于法向量方向）
于是，
所以二面角的正弦值为.
（Ⅲ）设，
，
由（Ⅱ）可知平面的法向量为，
，
有，解得（舍）或，
可得，
所以.
【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
22．(1)
(2)存在数集,证明见解析
【分析】（1）根据题意可推得，根据离心率公式即可求得和的值，求得椭圆方程；
（2）联立直线的方程和抛物线方程，利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算，代入即可求得答案．
【详解】（1）由题意，存在直线l，使得关于l的对称点恰好是某一个半径为2的圆的直径的两个端点.，根据对称性可得，
由，则，，
故椭圆的方程为；
（2）方程为，联立抛物线方程，
得，整理得，
则，则①，
设，，，，则，，
则 ，
由的坐标为，则，，，，
由与同向，与同向，
则点在以线段为直径的圆内，则，则，
则，即，
则即②，
当且仅当，即，
总存在使得②成立，
当时，由韦达定理可知的两个根为正数，
故使②成立的，从而满足①，
故存在数集，当且仅当时，总存在，使点在线段为直径的圆内．
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知命题P：，，则命题P的否定为
A．，B．，
C．，D．，
2．设向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．（
C．D．
3．与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．命题：，，命题q：，都有.实数m同时满足命题为真命题且命题为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．在轴上且与点和点距离相等的点是（ ）
A．B．C．D．
6．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长B．有相等的离心率
C．有相同的焦点D．有相等的焦距
8．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的右顶点为A，虚轴的上端点为B，左焦点为F，则（ ）
A．B．0C．D．
9．在长方体中，，，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（ ）
A．1B．C．D．
10．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．则的值为（ ）
A．4B．C．1D．
11．已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
12．已知点是双曲线在第一象限右支上的任意一点，过P分别作两渐近线的垂线，垂足分别是M，N，原点为O，则四边形OMPN的面积为（ ）
A．B．1C．2D．不确定
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．若，使，则实数的范围为 .
14．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两焦点距离之和为 .
15．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且满足，则该椭圆的离心率是 .
16．我国有一种容器叫做“方斗”，“方斗”的形状是一个上大下小的正四棱台，如果一方斗的高为分米（即该方斗上、下两底面的距离为分米），上底边长为分米，下底边长为分米，则此方斗外表面的侧面积为 平方分米．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．已知椭圆的离心率为，椭圆C截直线所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程
(2)动直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，D为线段AB的中点，点N是M关于O的对称点，以N点为圆心的圆过原点O，直线DF与⊙N相切于点F，求的最大值
18．已知命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．
(1)当时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分条件，求实数m的取值范围．
19．已知向量，，．
(1)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(2)若向量与向量，共面，求实数的值．
20．已知双曲线C：的离心率为，右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若，求的面积．
21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，E为的中点，F是棱的中点，，底面.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）在线段（不含端点）上是否存在一点M，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.
22．已知椭圆的离心率为，分别是它的左､右焦点，且存在直线l，使得关于l的对称点恰好是某一个半径为2的圆的直径的两个端点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线与抛物线相交于A､B两点，射线､与椭圆E分别相交于M､N.试探究：是否存在数集D，当且仅当时，总存在实数m，使得点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
1．D
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：，则￢p为：，．
故选D．
【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
2．D
【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的投影向量的计算方法，即可求解.
【详解】由向量，
则向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
3．C
【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出的值，结合可求的值，则双曲线方程可求.
【详解】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以，
记，所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为，
故选：C.
4．D
【分析】分别求出真、假所对应的的取值范围，然后求它们的交集就可以得到答案.
【详解】根据题意，对于：，，
当时，不等式为，恒成立；
当时，有，解之可得：.
综合可得：时，真.
对于：都有.
设，因为其对称轴为，开口向上，在区间上无解，
所以或，解得或.
所以，命题为假命题可得：
若命题为真命题且命题为假命题，则有.
故选：D
5．C
【分析】设该点坐标为，利用距离相等列方程求解即可.
【详解】设该点坐标为，
因为该点与两点和距离相等，
所以解得
故该点为，
故选:C．
6．C
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】由题意可知以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，
则，，
故可得，
故选：C
【点睛】本题考查了空间向量求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.
7．D
【分析】分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案
【详解】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，
对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，
故选项D正确，其他选项错误.
故选：D.
8．B
【分析】根据双曲线的顶点和上端点的定义，结合双曲线的离心率公式、平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可．
【详解】由题意可得：，，，
因为，则，，
则，可得，
即．
故选：B.
9．B
【分析】由长方体性质确定线面角且求，进而求出长度.
【详解】根据长方体性质知面，故为直线与平面所成的角的平面角，
所以，则，可得，如下图示，
所以在中，符合题设.
故选：B
10．B
【分析】根据直线过的焦点且斜率为得直线方程，联立直线方程与抛物线方程，消去得，，从而有.
【详解】抛物线的焦点为，
过的焦点且斜率为的直线方程为，
因为该直线与抛物线有两个交点，，所以，
联立，消去得，.
由韦达定理得，.
故选：B.
11．B
【分析】过作准线的垂线，设的中点为，过作轴的垂线，根据梯形中位线和抛物线的定义可知，由此可求得最小值.
【详解】由抛物线方程知其焦点为，准线为；
分别过作准线的垂线，垂足分别为，与分别交轴于，
则，．
设的中点为，过作轴的垂线，垂足为，
（当且仅当三点共线时，等号成立）
线段的中点到轴的距离的最小值为．
故选：B.
12．A
【分析】根据渐近线方程分析出四边形为矩形，由此将面积表示为，根据点到直线的距离公式分别表示出，由此可计算出四边形的面积.
【详解】因为双曲线的渐近线为，
渐近线斜率乘积为，所以渐近线互相垂直；
所以四边形为矩形，所以，
记，不妨设，且
所以，
所以，
故选：A.
13．
【分析】由题意求出不等式的解集，即可得出实数的范围.
【详解】，使成立，
可令，得，解得，
所以实数的范围是.
故答案为：.
14．8
【解析】由椭圆方程求出，再根据椭圆的定义可求得结果.
【详解】由，得，
由椭圆的定义可得到该椭圆的两个焦点的距离之和为.
故答案为：
15．
【解析】先根据椭圆定义求得,再利用余弦定理列方程解得离心率.
【详解】因为，
所以
因此
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．
【分析】画出图形，利用条件求出正四棱台的侧棱长，然后可算出答案.
【详解】
如图，由题意可得，
所以，，所以
所以梯形的高为，
所以梯形的面积为
所以此方斗外表面的侧面积为
故答案为：
17．(1)
(2)2
【分析】（1）根据椭圆的离心率和关系并代入点坐标即可求解；
（2）根据直线和椭圆联立，中点坐标公式，相切关系，换元法和对号函数即可求解.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，
得.
又当时，
得，
所以
因此椭圆方程为.
（2）
设A（，），B（，）.
联立方程得
由得（*）
且，
因此，
所以
又N（0，-m），
所以
整理得：，
因为
所以
令故
所以
因为上单调递增，
因此
等号当且仅当时成立，
此时
最大值为2.
18．(1)
(2)．
【分析】（1）根据命题的真假，可得相应不等式组，解不等式，即可得答案；
（2）由q是p的充分条件，可得命题相应的集合之间的包含关系，列出不等式，即可求得答案.
【详解】（1）命题p：实数x满足，解得：，
当时，命题q：实数x满足，
当“p且q”为真时，x满足，
解得，故实数x的取值范围为；
（2）若q是p的充分条件，则设命题p表示的集合为，
命题q表示的集合为，
所以：，且，
即得，解得．
故m的取值范围为．
19．(1)实数和的值分别为，
(2)
【分析】（1）由模长的坐标表示可得的值，由题意可得，利用向量线性运算和数量积的坐标表示列方程即可求解；
（2）由空间向量基本定理设，利用坐标表示列方程组即可求解.
【详解】（1）因为，所以，解得：，所以
且，
因为向量与垂直，
所以．可得，
即，解得：
所以实数和的值分别为和．
（2）因为向量与向量，共面，所以设，
所以，
所以，所以，所以实数的值为．
20．(1)
(2)．
【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出它们的值，即得答案；
（2）由题意可确定P点坐标，根据三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得：，据此可得，
故双曲线的标准方程为．
（2）由双曲线的标准方程可得，由于，则，
双曲线的渐近线方程为，
不妨设点P在双曲线的渐近线上，则，
则△PFO的面积．
21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，.
【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，根据向量数量积为零，即可证明；
（Ⅱ）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系求出其正弦值；
（Ⅲ）设，，利用空间向量法表示出直线和平面所成角的正弦值，即可得到方程，求出，即可求出的长；
【详解】解：（Ⅰ）由题意得：，，，
所以四边形为矩形，
又面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，，
则，则，
则，不妨设，则，
可得
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
（Ⅱ）设平面的法向量为，，，
则，即，不妨设，可得，
设平面的法向量为，，
则，即，不妨设，可得，
因此有，
（注：结果正负取决于法向量方向）
于是，
所以二面角的正弦值为.
（Ⅲ）设，
，
由（Ⅱ）可知平面的法向量为，
，
有，解得（舍）或，
可得，
所以.
【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
22．(1)
(2)存在数集,证明见解析
【分析】（1）根据题意可推得，根据离心率公式即可求得和的值，求得椭圆方程；
（2）联立直线的方程和抛物线方程，利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算，代入即可求得答案．
【详解】（1）由题意，存在直线l，使得关于l的对称点恰好是某一个半径为2的圆的直径的两个端点.，根据对称性可得，
由，则，，
故椭圆的方程为；
（2）方程为，联立抛物线方程，
得，整理得，
则，则①，
设，，，，则，，
则 ，
由的坐标为，则，，，，
由与同向，与同向，
则点在以线段为直径的圆内，则，则，
则，即，
则即②，
当且仅当，即，
总存在使得②成立，
当时，由韦达定理可知的两个根为正数，
故使②成立的，从而满足①，
故存在数集，当且仅当时，总存在，使点在线段为直径的圆内．
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