专题08 还原与对消

这是一份专题08 还原与对消，共4页。

阅读与思考
解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．
方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用：
1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题．
2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．
当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax＝b的形式，其方程的解由a，b的取值范围确定．字母a，b的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a，b的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：
(1)当a≠0时，原方程有唯一解x＝；
(2)当a＝0且b＝0时，原方程有无数个解；
(3)当a＝0，b≠0时，原方程无解；
例题与求解
[例1] 已知关于x的方程3[x－2(x－)]＝4x和－＝1有相同的解，那么这个解是______．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路：建立关于a的方程，解方程．
[例2] 已知a是任意有理数，在下面各说法中
(1)方程ax＝0的解是x＝1 (2)方程ax＝a的解是x＝1
(3)方程ax＝1的解是x＝ (4)方程|a|x＝a的解是x＝±1
结论正确的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
(江苏省竞赛试题)
解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a的任意性．
[例3] a为何值时，方程＋a＝－(x－12)有无数多个解？无解？
解题思路：化简原方程，运用方程ax＝b各种解的情况所应满足的条件建立a的关系式．
[例4] 如果a，b为定值时，关于x的方程＝2＋，无论k为何值时，它的根总是1，求a，b的值．
(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)
解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．
[例5] 已知p，q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px＋5q＝97的解是1，求代数式p2－q的值．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路：用代解法可得到p，q的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．
[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．
(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．
①图中框出的这16个数的和是______；
②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．
图①
日一二三四五六
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
13
14
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19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2003
2004
1997
1999
2000
2001
2002
…
…
…
…
36
37
38
39
40
41
42
1996
29
30
31
32
33
34
35
22
23
24
25
26
27
28
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8
9
10
11
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13
14
1
2
3
4
5
6
7
图②
(湖北省黄冈市中考试题)
解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a，用a表示出16个数之和，若算出的a为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．
能力训练
A级
1．若关于x的方程(k－2)x|k－1|＋5k＝0是一元一次方程，则k＝______；若关于x的方程(k＋2)x2＋4kx－5k＝0是一元一次方程，则方程的解x＝______．
2．方程x－[x－(x－)]＝(x－)的解是______．
(广西赛区选拔赛试题)
3．若有理数x，y满足(x＋y－2)2＋|x＋2y|＝0，则x2＋y3＝______．
(“希望杯”邀请赛试题)
4．若关于x的方程a(2x＋b)＝12x＋5有无数个解，则a＝______，b＝______．
(“希望杯”邀请赛试题)
5．已知关于x的方程9x－3＝kx＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝______．
(“五羊杯”竞赛试题)
6．下列判断中正确的是( )．
A．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x同解
B．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x没有相同的解
C．方程x(2x－3)＝x的解都是方程2x－3＝1的解
D．方程2x－3＝1的解都是方程x(2x－3)＝x的解
7．方程＋＋…＋＝1995的解是( )．
A．1995 B．1996 C．1997 D．1998
8．若关于x的方程＝0的解是非负数，则b的取值范围是( )．
A．b＞0 B．b≥0 C．b≠2 D．b≥0且b≠2
(黑龙江省竞赛试题)
9．关于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有无穷多个解，则( )．
A．a＋b＝0 B．a－b＝0 C．ab＝0 D．＝0
10．已知关于x的一次方程(3a＋8b)x＋7＝0无解，则ab是( )．
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
(“希望杯”邀请赛试题)
11．若关于x的方程kx－12＝3x＋3k有整数解，且k为整数，求符合条件的k值．
(北京市“迎春杯”训练题)
12．已知关于x的方程＋a＝x－(x－6)，当a取何值时，(1)方程无解？(2)方程有无穷多解？
(重庆市竞赛试题)
B级
1．已知方程2(x＋1)＝3(x－1)的解为a＋2，则方程2[2(x＋3)－3(x－a)]＝3a的解为______．
2．已知关于x的方程＝的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，则代数式－的值是______．
3．若k为整数，则使得方程(k－1999)x＝2001－2000x的解也是整数的k值有______个．
(“希望杯”邀请赛试题)
4．如果＋＋＋…＋＝，那么n＝______．
(江苏省竞赛试题)
5．用※表示一种运算，它的含义是A※B＝＋，如果2※1＝，那么3※4＝______．
(“希望杯”竞赛试题)
6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．
巧克力
果冻
50g砝码
第6题图
(河北省中考试题)
7．有四个关于x的方程
①x－2＝－1②(x－2)＋(x－1)＝－1＋(x－1)
③x＝0④x－2＋＝－1＋
其中同解的两个方程是( )．
A．①与② B．①与③ C．①与④ D．②与④
8．已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3－3a2－5a＋4有整数解，则a的值共有( )．
A．1个 B．3个 C．6个 D．9个
(“希望杯”邀请赛试题)
9．(1)当a取符合na＋3≠0的任意数时，式子的值都是一个定值，其中m－n＝6，求m，n的值．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
(2)已知无论x取什么值，式子必为同一定值，求的值．
(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)
10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k(k是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？
(上海市竞赛试题)
11．下图的数阵是由77个偶数排成：
第11题图
……………………………………
142
144
146
148
150
152
154
30
32
34
36
38
40
42
16
18
20
22
24
26
28
2
4
6
8
10
12
14
用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．
(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？
(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？