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江苏版高考物理一轮复习第11章素养12产生正弦交流电的5种模式课时学案
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2．线圈不动，匀强磁场匀速转动。
3．导体棒在匀强磁场中做简谐运动。
4．线圈不动，磁场按正弦规律变化。
5．在匀强磁场中导体棒的长度与时间按正弦规律变化。
导体棒在匀强磁场中做正弦式运动
[示例1] 如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻。一电阻为r、质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t＝0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律v＝vmsin ωt，不计导轨电阻。求：
(1)从t＝0到t＝eq \f(2π,ω)时间内电阻R产生的热量；
(2)从t＝0到t＝eq \f(2π,ω)时间内外力F所做的功。
[解析] (1)由导体棒切割磁感线产生的电动势E＝BLv得
e＝BLvmsin ωt
回路中产生正弦交流电，其有效值为E＝eq \f(BLvm,\r(2))
在0～eq \f(2π,ω)时间内产生的热量
Q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(E,R＋r)))2R·eq \f(2π,ω)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BLvm,R＋r)))2eq \f(πR,ω)
(2)由功能关系得：外力F所做的功
W＝Q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BLvm,R＋r)))2eq \f(πR,ω)。
[答案] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BLvm,R＋r)))2eq \f(πR,ω) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BLvm,R＋r)))2eq \f(πR,ω)
线圈不动，磁场按正弦规律变化
[示例2] 如图甲所示，一固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一只小灯泡，在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场。已知线圈的匝数n＝100匝，电阻r＝1.0 Ω，所围成的矩形的面积S＝0.040 m2，小灯泡的电阻R＝9.0 Ω，磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式为e＝nBmSeq \f(2π,T)cs eq \f(2π,T)t，其中Bm为磁感应强度的最大值，T为磁场变化的周期。不计灯丝电阻值随温度的变化，求：
甲 乙
(1)线圈中产生感应电动势的最大值；
(2)小灯泡消耗的电功率；
(3)在磁感应强度变化的0～eq \f(T,4)时间内，通过小灯泡的电荷量。
[解析] (1)由瞬时值表达式可知线圈中感应电动势的最大值
Em＝nBmSeq \f(2π,T)＝8 V。
(2)产生的交流电的电流有效值I＝eq \f(\f(Em,\r(2)),R＋r)
小灯泡消耗的电功率P＝I2R＝2.88 W。
(3)0～eq \f(T,4)时间内电流的平均值eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)＝eq \f(n\f(ΔΦ,Δt),R＋r)
通过小灯泡的电荷量q＝eq \x\t(I)Δt＝neq \f(ΔΦ,R＋r)＝0.004 C。
[答案] (1)8 V (2)2.88 W (3)0.004 C
在匀强磁场中导体棒的长度与时间成正弦规律变化
[示例3] 如图所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接有短电阻丝(图中用粗线表示)，R1＝4 Ω、R2＝8 Ω(导轨其他部分电阻不计)，导轨OAC的形状满足方程y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x))(单位：m)。磁感应强度B＝0.2 T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面，一足够长的金属棒在水平外力F作用下，以恒定的速度v＝5.0 m/s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，金属棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计金属棒的电阻，求：
(1)外力F的最大值；
(2)金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率；
(3)在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系。
[解析] (1)当金属棒滑至A位置时，有效切割长度最大，为2 m，产生的最大感应电动势
Em＝BLmv＝0.2×2×5 V＝2 V
电路的总电阻
R总＝eq \f(R1R2,R1＋R2)＝eq \f(8,3) Ω，
最大感应电流Im＝eq \f(Em,R总)＝eq \f(2,\f(8,3)) A＝0.75 A。
最大安培力F安＝BImLm＝0.2×0.75×2 N＝0.3 N，
由平衡条件可知，外力F的最大值Fm＝F安＝0.3 N。
(2)感应电动势最大时，电阻丝R1上消耗的功率最大，其最大功率
P1＝eq \f(E\\al(2,m),R1)＝eq \f(22,4) W＝1 W。
(3)金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化
L＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x))，x＝vt，E＝BLv
I＝eq \f(E,R总)＝eq \f(Bv,R总)·2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)vt))＝eq \f(3,4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)πt)) A。
[答案] (1)0.3 N (2)1 W
(3)I＝eq \f(3,4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)πt)) A
正弦交流电的产生归根结底还是发生了“正弦式”的电磁感应，产生了正弦式感应电动势，根据E＝BLv，可以分别在B、L、v这三个物理量上做文章。感兴趣的考生可以再重温一下e＝Emsin ωt和Em＝nBSω的推导过程。
课时分层作业(三十二) 交变电流的产生及描述
(对应学生用书第470页)
题组一 交变电流的产生及变化规律
1．如图甲所示，矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的中心轴OO′匀速转动，产生的感应电动势e随时间t的变化曲线如图乙所示。若外接电阻的阻值R＝9 Ω，线圈的电阻r＝1 Ω，则下列说法正确的是( )
甲 乙
A．线圈转速为100 π rad/s
B．0.01 s末穿过线圈的磁通量最大
C．通过线圈的最大电流为10 A
D．电压表的示数为90 V
C [由题图乙可知，线圈转动的周期T＝0.04 s，线圈转速n数值上等于频率，而f＝eq \f(1,T)＝25 Hz，因此线圈转速为n＝25 r/s，故A项错误；0.01 s末，线圈产生的感应电动势最大，此时线圈处于与中性面垂直位置，穿过线圈的磁通量最小为零，故B项错误；根据闭合电路的欧姆定律可知Im＝eq \f(Em,R＋r)＝eq \f(100,9＋1) A＝10 A，故C项正确；电压表测量的是有效值，故U＝eq \f(Im,\r(2))R＝45eq \r(2) V，故D项错误。]
2．(2022·江苏南京航空航天大学附属高级中学高三开学考试)发电机的示意图如图甲所示，边长为L的正方形金属框，在磁感应强度为B的匀强磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动，阻值为R的电阻两端的电压如图乙所示。其他电阻不计，图乙中的Um为已知量。在金属框转动一周的过程中( )
甲 乙
A．框内电流方向不变
B．电动势的有效值为eq \f(1,2)Um
C．流过电阻的电荷量为eq \f(4BL2,R)
D．电阻产生的焦耳热为eq \f(πUmBL2,2R)
C [线框转动过程中每经过一次中性面，电流方向改变一次，故A错误；有效值与正弦交流电有效值相同为U＝eq \f(Um,\r(2))，故B错误；转动半圈流过电阻的电荷量q＝eq \(I,\s\up6(－))Δt＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(2BL2,R)，因此转动一周q′＝2q＝eq \f(4BL2,R)，故C正确；因为Um＝BωL2，则ω＝eq \f(Um,BL2)，电阻产生的焦耳热Q＝eq \f(U2,R)T＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(Um,\r(2))))2,R)·eq \f(2π,ω)＝eq \f(πUmBL2,R)，故D错误。故选C。]
题组二 有效值的理解与计算
3.如图所示，一半径为L的导体圆环位于纸面内，O为圆心。环内两个圆心角为90°且关于O中心对称的扇形区域内分布有匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B、方向相反且均与纸面垂直。导体杆OM可绕O转动，M端通过滑动触点与圆环良好接触，在圆心和圆环间连有电阻R，不计圆环和导体杆的电阻，当杆OM以恒定角速度ω逆时针转动时，理想电流表A的示数为( )
A.eq \f(\r(2)BL2ω,4R) B．eq \f(BL2ω,4R)
C.eq \f(\r(2)BL2ω,2R) D．eq \f(BL2ω,2R)
A [OM切割磁感线产生的电动势E＝eq \f(BL2ω,2)，OM切割磁感线时产生的感应电流I＝eq \f(E,R)，设电流的有效值为I有效，则Ieq \\al(2,有效)RT＝2I2R·eq \f(1,4)T，解得I有效＝eq \f(\r(2)BL2ω,4R)，选项A正确。]
4．(2023·锡山高中高三模拟)一内阻值为R的电动机接到如图甲所示的正弦交流电源上，另一内阻值为eq \f(1,2)R的电动机接到如图乙所示的正弦交流电源上。已知两电动机的输出效率相同，则在相同时间内，两电动机产生的电热之比Q1∶Q2为( )
甲 乙
A．2∶1 B．4∶1
C．1∶2 D．1∶4
A [由题图可知，两电源电压的有效值之比为U1∶U2＝2∶1
依题意有eq \f(U1I1－I\\al(2,1)R,U1I1)＝eq \f(U2I2－I\\al(2,2)\f(R,2),U2I2)，解得I1∶I2＝U1∶2U2＝1∶1
在相同时间内，两电动机产生的电热之比为
Q1∶Q2＝(Ieq \\al(2,1)Rt)∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(I\\al(2,2)\f(R,2)t))＝2Ieq \\al(2,1)∶Ieq \\al(2,2)＝2∶1，故选A。]
题组三 交变电流“四值”的理解和应用
5．一台小型发电机与计算机相连接，计算机能将发电机产生的电动势随时间变化的图像记录下来，如图甲所示，让线圈在匀强磁场中以不同的转速匀速转动，计算机记录了两次不同转速所产生正弦交流电的图像如图乙所示。则关于发电机先后两次的转速之比na∶nb，交流电b的最大值正确的是( )
甲 乙
A．3∶2，eq \f(10\r(2),3) V B．3∶2，eq \f(20,3) V
C．2∶3，eq \f(10\r(2),3) V D．2∶3，eq \f(20,3) V
B [由题图可知，a的周期为0.4 s，b的周期为0.6 s，则由n＝eq \f(1,T)可知，转速与周期成反比，故曲线a、b对应的线圈转速之比为3∶2；曲线a表示的交变电动势最大值是10 V，根据Em＝nBSω得曲线b表示的交变电动势最大值是eq \f(20,3) V，故B正确，A、C、D错误。]
6．如图所示，甲为小型旋转电枢式交流发电机，电阻为r＝2 Ω的矩形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的两端经集流环和电刷与右侧电路连接，右侧电路中滑动变阻器R的最大阻值为R0＝4 Ω，滑动片P位于滑动变阻器中点，定值电阻R1＝7 Ω，R2＝2 Ω，其他电阻不计。从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，闭合开关S。线圈转动过程中理想交流电压表示数是10 V，图乙是矩形线圈磁通量随时间t变化的图像。则下列说法正确的是( )
甲 乙
A．电阻R2上的热功率为0.5 W
B．0.02 s时滑动变阻器R两端的电压瞬时值为零
C．线圈产生的电压随时间变化的规律是
e＝10eq \r(2)cs 100πt(V)
D．线圈从零时刻转动到t＝eq \f(1,600) s的过程中，通过R1的电荷量为eq \f(1,200π) C
A [根据串并联电路的知识得：负载总电阻R总＝R1＋eq \f(R0,2)＋eq \f(R0,4)＝10 Ω，理想交流电压表示数是10 V，所以干路电流I＝1 A，所以电阻R2上两端电压UR2＝1 V，电阻R2上的热功率PR2＝0.5 W，故A正确。由乙图可知，0.02 s通过线圈的磁通量为零，感应电动势最大，R两端的电压瞬时值不为零，故B错误。由乙图可知，T＝0.02 s，ω＝eq \f(2π,T)＝100π rad/s，电动势的有效值E＝10 V＋1×2 V＝12 V，电动势的最大值Em＝12eq \r(2) V，所以线圈产生的e随时间t变化的规律是e＝12eq \r(2)cs 100πt(V)，故C错误。电动势的最大值Em＝12eq \r(2) V＝nBSω，Φ＝BS＝eq \f(12\r(2),n×100π) Wb。矩形线圈磁通量Φ随时间t变化的规律为Φ＝eq \f(12\r(2),n×100π)sin 100πt Wb，线圈开始转动到t＝eq \f(1,600) s的过程中，通过电阻R1的电量为eq \f(nΔΦ,R总＋r)＝eq \f(\r(2),200π) C，故D错误。]
7．(2023·海门中学高考模拟)如图甲，10匝完全相同的线圈abcd整体在匀强磁场中绕MN轴匀速转动，单匝线圈上产生的电动势随时间变化规律如图乙所示，单匝线圈内阻r＝0.1 Ω，定值电阻R＝9 Ω。下列说法正确的是( )
甲 乙
A．t＝0.05 s时穿过线圈的磁通量最大，磁通量变化最慢
B．图甲中交流电压表的示数是9 V
C．此交变电流的周期是0.2 s，线圈转动的角速度是5π rad/s
D．线圈从图示位置转过45°，电压表的示数为10 V
B [t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势最大，故此时线圈位于与中性面垂直位置，此时穿过线圈的磁通量为0，磁通量变化最快，故A错误；由题图乙可知，周期为0.2 s，则线圈转动的角速度ω＝eq \f(2π,T)＝10π rad/s，故C错误；10匝线圈产生的电动势最大值Em为10eq \r(2) V，由闭合电路欧姆定律可得路端电压的最大值Umax＝eq \f(Emax,10r＋R)×R＝9eq \r(2) V，交流电压表测的是电压的有效值，所以电压表示数U＝eq \f(Umax,\r(2))＝9 V，故B正确；交流电压表测的是电压的有效值，无论何时，其电压值都是9 V，故D错误。]
8．图甲为兴趣小组制作的无线充电装置中受电线圈示意图，已知线圈匝数n＝100匝、电阻r＝1 Ω、横截面积S＝1.5×10－3 m2，外接电阻R＝7 Ω。线圈处在平行于线圈轴线的磁场中，磁场的磁感应强度随时间变化如图乙所示，设磁场的正方向水平向左，则( )
甲 乙
A．在t＝0.005 s时通过电阻R的电流大小为0
B．在t＝0.005 s时通过电阻R的电流方向由a流向b
C．在0～0.01 s内通过电阻R的电荷量q＝1.5×10－3 C
D．在0.02～0.03 s内电阻R产生的焦耳热为Q＝1.8×10－3 J
C [在t＝0.005 s时，磁通量变化最快，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势最大，通过R的感应电流最大，故A错误；在t＝0.005 s时，根据楞次定律可知，感应电流方向由b流向a，故B错误；根据法拉第电磁感应定律E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，I＝eq \f(E,R＋r)，q＝IΔt，联立可得q＝eq \f(nΔΦ,R＋r)＝eq \f(100×1.5×10－3×8×10－2,7＋1) C＝1.5×10－3 C，故C正确；由于磁感应强度按正弦规律变化，ω＝eq \f(2π,0.02) rad/s＝100π rad/s，所以产生的感应电动势的最大值Em＝nΦmω＝100×4×10－2×1.5×10－3×100π V＝0.6π V，电流的有效值为I＝eq \f(Em,\r(2)R＋r)＝eq \f(0.6π,8\r(2)) A，在0.02～0.03 s内电阻R产生的焦耳热为Q＝I2Rt＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.6π,8\r(2))))2×7×0.01 J＝1.9×10－3 J，故D错误。]
9.如图所示，边长为L的正方形单匝线圈abcd，电阻为r，外电路的电阻为R，ab的中点和cd的中点的连线OO′恰好位于匀强磁场的边界线上，磁场的磁感应强度为B，若线圈从图示位置开始，以角速度ω绕OO′轴匀速转动，则以下判断正确的是( )
A．图示位置线圈中的感应电动势最大为Em＝BL2ω
B．从图示位置开始计时，闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为e＝eq \f(1,2)BL2ωcs ωt
C．线圈从图示位置转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为q＝eq \f(2BL2,R＋r)
D．线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为Q＝eq \f(πB2ωL4R,4R＋r2)
D [题图位置线圈中的感应电动势最小，为零，A错误；若线圈从题图位置开始转动，闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式e＝eq \f(1,2)BL2ωsin ωt，B错误；线圈从题图位置转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为q＝eq \x\t(I)·Δt＝eq \f(ΔΦ,R总)＝eq \f(BL2,R＋r)，C错误；Em＝eq \f(1,2)BL2ω，线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为Q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\f(Em,\r(2)),R＋r)))2·R·eq \f(2π,ω)＝eq \f(πB2ωL4R,4R＋r2)，D正确。]
10．如图甲所示，将阻值为R＝5 Ω的电阻接到内阻不计的正弦交变电源上，电流随时间变化的规律如图乙所示，电压表、电流表均为理想电表，下列说法正确的是( )
甲 乙 丙 丁
A．电压表两端读数为2.5 V
B．电阻R消耗的电功率为1.25 W
C．若此交变电流由一矩形线框在匀强磁场中匀速转动产生，如图丙所示，当线圈的转速提升一倍时，电流表的示数为1 A
D．图乙交变电流与图丁所示电流比较，接同一电阻的发热功率之比为1∶2
D [由题图可知，电流的最大值Im＝0.5 A，则电压的最大值：Um＝Im·R＝0.5×5 V＝2.5 V，那么电压的有效值U＝1.25eq \r(2) V＝1.77 V，故A错误；R上的电功率P＝UI＝eq \f(U2,R)＝eq \f(1.25\r(2)2,5)＝0.625 W，故B错误；转速增倍，电流也增倍，则电流的最大值变为1 A，有效值变为eq \f(\r(2),2) A，则电流表读数为eq \f(\r(2),2) A，故C错误；由有效值的概念可得丁的电流有效值为0.5 A，则乙与丁的电流有效值之比为1∶eq \r(2)，根据P＝I2R可知，发热功率之比为1∶2，故D正确。]
11．单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量Φ与时间t的关系图像如图所示。下列说法正确的是( )
A.eq \f(T,2)时刻线框平面与中性面垂直
B．线框的感应电动势平均值为eq \f(\r(2)πΦm,T)
C．线框转一周外力所做的功为eq \f(2π2Φ\\al(2,m),RT)
D．从t＝0到t＝eq \f(T,4)过程中线框的平均感应电动势为eq \f(πΦm,T)
C [中性面的特点是与磁场垂直，穿过的磁通量最大，磁通量变化率最小，则eq \f(T,2)时刻线框在中性面上，A错；电动势最大值为Em＝Φmω＝Φmeq \f(2π,T)，单匝闭合矩形线框在一个周期内，有eq \(E,\s\up6(－))＝eq \f(4Φm,T)，B错；由功能关系知，线框转一周外力做的功等于产生的电能，W＝E电＝eq \f(E\\al(2,有),R)·T＝eq \f(2π2Φ\\al(2,m),RT)，C对；由法拉第电磁感应定律知，eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(Φm,\f(T,4))＝eq \f(4Φm,T)，D错。]
12.如图所示，正方形线圈abcd的边长L＝0.3 m，线圈电阻为R＝1 Ω。直线OO′与ad边相距eq \f(2,3)L，过OO′且垂直纸面的竖直平面右侧有磁感应强度B＝1 T的匀强磁场，方向垂直纸面向里。线圈以OO′为轴匀速转动，角速度ω＝20 rad/s，以图示位置为计时起点。则( )
A．线圈中产生的交流电瞬时值表达式为u＝0.6cs 20t
B．流过ab边的电流方向保持不变
C．当t＝eq \f(π,20) s时，穿过线圈的磁通量为0.06 Wb
D．从t＝0到t＝eq \f(π,40) s，穿过线圈磁通量的变化量大小为0.06 Wb
C [当bc边在磁场中时，线圈中产生的交流电最大值为Em1＝BωS1＝1×20×0.3×0.1 V＝0.6 V，则瞬时值表达式为u＝0.6sin 20t(V)；当ad边在磁场中时，线圈中产生的交流电最大值为Em2＝BωS2＝1×20×0.3×0.2 V＝1.2 V，瞬时值表达式为u＝1.2sin 20t(V)，选项A错误；每个周期电流方向改变两次，故B错误；t＝eq \f(π,20) s时，线圈转过180°，adO′O在磁场中，垂直于磁场，故穿过线圈的磁通量为Φ＝B×eq \f(2,3)L2＝1×eq \f(2,3)×0.32＝0.06 Wb，故C正确；从t＝0到t＝eq \f(π,40) s，线圈转过90°，此时线圈平面与磁场方向平行，磁通量为零，故穿过线圈磁通量的变化ΔΦ＝eq \f(1,3)BS＝0.03 Wb，故D错误。]
13．(2022·清江中学高三开学考试)如图所示，两根间距为20eq \r(2) cm的无限长光滑金属导轨，电阻不计，其左端连接一阻值为10 Ω的定值电阻，两导轨之间存在着磁感应强度为1 T的匀强磁场，磁场边界虚线均为正弦曲线的一部分，一根接入电路中的电阻为10 Ω的光滑导体棒，在外力作用下以10 m/s的速度匀速向右运动(接触电阻不计)，交流电压表和交流电流表均为理想电表，则( )
A．回路中产生的是正弦式交变电流
B．电压表的示数是2 V
C．导体棒运动到图示虚线位置时，电流表示数为零
D．导体棒上消耗的热功率为0.2 W
A [磁场边界虚线为正弦曲线的一部分，可知回路中产生的是正弦式交变电流，故A正确；感应电动势最大值Em＝BLmv＝2eq \r(2) V，则感应电动势的有效值E＝eq \f(Em,\r(2))＝2 V，电压表测量R两端的电压，即U＝eq \f(R,R＋r)E＝1 V，故B错误；电流表示数为有效值，始终为I＝eq \f(E,R＋r)＝0.1 A，故C错误；导体棒上消耗的热功率P＝I2r＝0.1 W，故D错误。]
14．如图所示，一个长为2L、宽为L的矩形线框，电阻为R，放在绝缘的水平面上，处于竖直向下的磁场中。在t＝0到t＝eq \f(π,ω)时间内，磁感应强度B不断增大，其变化率eq \f(ΔB,Δt)随时间t的变化关系式为eq \f(ΔB,Δt)＝ksin ωt(k>0)，求：
(1)t＝eq \f(π,2ω)时，回路中的感应电动势的大小E和感应电流的方向；
(2)线框的发热功率P；
(3)某段时间内，回路中通过的电量q，求穿过线框的磁通量的变化量ΔΦ。
[解析] (1)根据法拉第电磁感应定律
回路中的感应电动势e＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(ΔB,Δt)S＝2kL2sin ωt
t＝eq \f(π,2ω)时，回路中的感应电动势E＝2kL2，感应电流方向为逆时针。
(2)电动势的最大值Em＝2kL2
由闭合电路欧姆定律 Im＝eq \f(Em,R)＝eq \f(2kL2,R)
由于交变电流是正弦式的，所以I＝eq \f(Im,\r(2))
所以P＝I2R＝eq \f(2k2L4,R)。
(3)eq \(E,\s\up6(－))＝eq \f(ΔΦ,Δt)，q＝eq \(I,\s\up6(－))Δt＝eq \f(\(E,\s\up6(－)),R)Δt＝eq \f(ΔΦ,R)，解得ΔΦ＝qR。
[答案] (1)2kL2，感应电流方向为逆时针
(2)eq \f(2k2L4,R) (3)qR
2．线圈不动，匀强磁场匀速转动。
3．导体棒在匀强磁场中做简谐运动。
4．线圈不动，磁场按正弦规律变化。
5．在匀强磁场中导体棒的长度与时间按正弦规律变化。
导体棒在匀强磁场中做正弦式运动
[示例1] 如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻。一电阻为r、质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t＝0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律v＝vmsin ωt，不计导轨电阻。求：
(1)从t＝0到t＝eq \f(2π,ω)时间内电阻R产生的热量；
(2)从t＝0到t＝eq \f(2π,ω)时间内外力F所做的功。
[解析] (1)由导体棒切割磁感线产生的电动势E＝BLv得
e＝BLvmsin ωt
回路中产生正弦交流电，其有效值为E＝eq \f(BLvm,\r(2))
在0～eq \f(2π,ω)时间内产生的热量
Q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(E,R＋r)))2R·eq \f(2π,ω)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BLvm,R＋r)))2eq \f(πR,ω)
(2)由功能关系得：外力F所做的功
W＝Q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BLvm,R＋r)))2eq \f(πR,ω)。
[答案] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BLvm,R＋r)))2eq \f(πR,ω) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BLvm,R＋r)))2eq \f(πR,ω)
线圈不动，磁场按正弦规律变化
[示例2] 如图甲所示，一固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一只小灯泡，在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场。已知线圈的匝数n＝100匝，电阻r＝1.0 Ω，所围成的矩形的面积S＝0.040 m2，小灯泡的电阻R＝9.0 Ω，磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式为e＝nBmSeq \f(2π,T)cs eq \f(2π,T)t，其中Bm为磁感应强度的最大值，T为磁场变化的周期。不计灯丝电阻值随温度的变化，求：
甲 乙
(1)线圈中产生感应电动势的最大值；
(2)小灯泡消耗的电功率；
(3)在磁感应强度变化的0～eq \f(T,4)时间内，通过小灯泡的电荷量。
[解析] (1)由瞬时值表达式可知线圈中感应电动势的最大值
Em＝nBmSeq \f(2π,T)＝8 V。
(2)产生的交流电的电流有效值I＝eq \f(\f(Em,\r(2)),R＋r)
小灯泡消耗的电功率P＝I2R＝2.88 W。
(3)0～eq \f(T,4)时间内电流的平均值eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)＝eq \f(n\f(ΔΦ,Δt),R＋r)
通过小灯泡的电荷量q＝eq \x\t(I)Δt＝neq \f(ΔΦ,R＋r)＝0.004 C。
[答案] (1)8 V (2)2.88 W (3)0.004 C
在匀强磁场中导体棒的长度与时间成正弦规律变化
[示例3] 如图所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接有短电阻丝(图中用粗线表示)，R1＝4 Ω、R2＝8 Ω(导轨其他部分电阻不计)，导轨OAC的形状满足方程y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x))(单位：m)。磁感应强度B＝0.2 T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面，一足够长的金属棒在水平外力F作用下，以恒定的速度v＝5.0 m/s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，金属棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计金属棒的电阻，求：
(1)外力F的最大值；
(2)金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率；
(3)在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系。
[解析] (1)当金属棒滑至A位置时，有效切割长度最大，为2 m，产生的最大感应电动势
Em＝BLmv＝0.2×2×5 V＝2 V
电路的总电阻
R总＝eq \f(R1R2,R1＋R2)＝eq \f(8,3) Ω，
最大感应电流Im＝eq \f(Em,R总)＝eq \f(2,\f(8,3)) A＝0.75 A。
最大安培力F安＝BImLm＝0.2×0.75×2 N＝0.3 N，
由平衡条件可知，外力F的最大值Fm＝F安＝0.3 N。
(2)感应电动势最大时，电阻丝R1上消耗的功率最大，其最大功率
P1＝eq \f(E\\al(2,m),R1)＝eq \f(22,4) W＝1 W。
(3)金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化
L＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x))，x＝vt，E＝BLv
I＝eq \f(E,R总)＝eq \f(Bv,R总)·2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)vt))＝eq \f(3,4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)πt)) A。
[答案] (1)0.3 N (2)1 W
(3)I＝eq \f(3,4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)πt)) A
正弦交流电的产生归根结底还是发生了“正弦式”的电磁感应，产生了正弦式感应电动势，根据E＝BLv，可以分别在B、L、v这三个物理量上做文章。感兴趣的考生可以再重温一下e＝Emsin ωt和Em＝nBSω的推导过程。
课时分层作业(三十二) 交变电流的产生及描述
(对应学生用书第470页)
题组一 交变电流的产生及变化规律
1．如图甲所示，矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的中心轴OO′匀速转动，产生的感应电动势e随时间t的变化曲线如图乙所示。若外接电阻的阻值R＝9 Ω，线圈的电阻r＝1 Ω，则下列说法正确的是( )
甲 乙
A．线圈转速为100 π rad/s
B．0.01 s末穿过线圈的磁通量最大
C．通过线圈的最大电流为10 A
D．电压表的示数为90 V
C [由题图乙可知，线圈转动的周期T＝0.04 s，线圈转速n数值上等于频率，而f＝eq \f(1,T)＝25 Hz，因此线圈转速为n＝25 r/s，故A项错误；0.01 s末，线圈产生的感应电动势最大，此时线圈处于与中性面垂直位置，穿过线圈的磁通量最小为零，故B项错误；根据闭合电路的欧姆定律可知Im＝eq \f(Em,R＋r)＝eq \f(100,9＋1) A＝10 A，故C项正确；电压表测量的是有效值，故U＝eq \f(Im,\r(2))R＝45eq \r(2) V，故D项错误。]
2．(2022·江苏南京航空航天大学附属高级中学高三开学考试)发电机的示意图如图甲所示，边长为L的正方形金属框，在磁感应强度为B的匀强磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动，阻值为R的电阻两端的电压如图乙所示。其他电阻不计，图乙中的Um为已知量。在金属框转动一周的过程中( )
甲 乙
A．框内电流方向不变
B．电动势的有效值为eq \f(1,2)Um
C．流过电阻的电荷量为eq \f(4BL2,R)
D．电阻产生的焦耳热为eq \f(πUmBL2,2R)
C [线框转动过程中每经过一次中性面，电流方向改变一次，故A错误；有效值与正弦交流电有效值相同为U＝eq \f(Um,\r(2))，故B错误；转动半圈流过电阻的电荷量q＝eq \(I,\s\up6(－))Δt＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(2BL2,R)，因此转动一周q′＝2q＝eq \f(4BL2,R)，故C正确；因为Um＝BωL2，则ω＝eq \f(Um,BL2)，电阻产生的焦耳热Q＝eq \f(U2,R)T＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(Um,\r(2))))2,R)·eq \f(2π,ω)＝eq \f(πUmBL2,R)，故D错误。故选C。]
题组二 有效值的理解与计算
3.如图所示，一半径为L的导体圆环位于纸面内，O为圆心。环内两个圆心角为90°且关于O中心对称的扇形区域内分布有匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B、方向相反且均与纸面垂直。导体杆OM可绕O转动，M端通过滑动触点与圆环良好接触，在圆心和圆环间连有电阻R，不计圆环和导体杆的电阻，当杆OM以恒定角速度ω逆时针转动时，理想电流表A的示数为( )
A.eq \f(\r(2)BL2ω,4R) B．eq \f(BL2ω,4R)
C.eq \f(\r(2)BL2ω,2R) D．eq \f(BL2ω,2R)
A [OM切割磁感线产生的电动势E＝eq \f(BL2ω,2)，OM切割磁感线时产生的感应电流I＝eq \f(E,R)，设电流的有效值为I有效，则Ieq \\al(2,有效)RT＝2I2R·eq \f(1,4)T，解得I有效＝eq \f(\r(2)BL2ω,4R)，选项A正确。]
4．(2023·锡山高中高三模拟)一内阻值为R的电动机接到如图甲所示的正弦交流电源上，另一内阻值为eq \f(1,2)R的电动机接到如图乙所示的正弦交流电源上。已知两电动机的输出效率相同，则在相同时间内，两电动机产生的电热之比Q1∶Q2为( )
甲 乙
A．2∶1 B．4∶1
C．1∶2 D．1∶4
A [由题图可知，两电源电压的有效值之比为U1∶U2＝2∶1
依题意有eq \f(U1I1－I\\al(2,1)R,U1I1)＝eq \f(U2I2－I\\al(2,2)\f(R,2),U2I2)，解得I1∶I2＝U1∶2U2＝1∶1
在相同时间内，两电动机产生的电热之比为
Q1∶Q2＝(Ieq \\al(2,1)Rt)∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(I\\al(2,2)\f(R,2)t))＝2Ieq \\al(2,1)∶Ieq \\al(2,2)＝2∶1，故选A。]
题组三 交变电流“四值”的理解和应用
5．一台小型发电机与计算机相连接，计算机能将发电机产生的电动势随时间变化的图像记录下来，如图甲所示，让线圈在匀强磁场中以不同的转速匀速转动，计算机记录了两次不同转速所产生正弦交流电的图像如图乙所示。则关于发电机先后两次的转速之比na∶nb，交流电b的最大值正确的是( )
甲 乙
A．3∶2，eq \f(10\r(2),3) V B．3∶2，eq \f(20,3) V
C．2∶3，eq \f(10\r(2),3) V D．2∶3，eq \f(20,3) V
B [由题图可知，a的周期为0.4 s，b的周期为0.6 s，则由n＝eq \f(1,T)可知，转速与周期成反比，故曲线a、b对应的线圈转速之比为3∶2；曲线a表示的交变电动势最大值是10 V，根据Em＝nBSω得曲线b表示的交变电动势最大值是eq \f(20,3) V，故B正确，A、C、D错误。]
6．如图所示，甲为小型旋转电枢式交流发电机，电阻为r＝2 Ω的矩形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的两端经集流环和电刷与右侧电路连接，右侧电路中滑动变阻器R的最大阻值为R0＝4 Ω，滑动片P位于滑动变阻器中点，定值电阻R1＝7 Ω，R2＝2 Ω，其他电阻不计。从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，闭合开关S。线圈转动过程中理想交流电压表示数是10 V，图乙是矩形线圈磁通量随时间t变化的图像。则下列说法正确的是( )
甲 乙
A．电阻R2上的热功率为0.5 W
B．0.02 s时滑动变阻器R两端的电压瞬时值为零
C．线圈产生的电压随时间变化的规律是
e＝10eq \r(2)cs 100πt(V)
D．线圈从零时刻转动到t＝eq \f(1,600) s的过程中，通过R1的电荷量为eq \f(1,200π) C
A [根据串并联电路的知识得：负载总电阻R总＝R1＋eq \f(R0,2)＋eq \f(R0,4)＝10 Ω，理想交流电压表示数是10 V，所以干路电流I＝1 A，所以电阻R2上两端电压UR2＝1 V，电阻R2上的热功率PR2＝0.5 W，故A正确。由乙图可知，0.02 s通过线圈的磁通量为零，感应电动势最大，R两端的电压瞬时值不为零，故B错误。由乙图可知，T＝0.02 s，ω＝eq \f(2π,T)＝100π rad/s，电动势的有效值E＝10 V＋1×2 V＝12 V，电动势的最大值Em＝12eq \r(2) V，所以线圈产生的e随时间t变化的规律是e＝12eq \r(2)cs 100πt(V)，故C错误。电动势的最大值Em＝12eq \r(2) V＝nBSω，Φ＝BS＝eq \f(12\r(2),n×100π) Wb。矩形线圈磁通量Φ随时间t变化的规律为Φ＝eq \f(12\r(2),n×100π)sin 100πt Wb，线圈开始转动到t＝eq \f(1,600) s的过程中，通过电阻R1的电量为eq \f(nΔΦ,R总＋r)＝eq \f(\r(2),200π) C，故D错误。]
7．(2023·海门中学高考模拟)如图甲，10匝完全相同的线圈abcd整体在匀强磁场中绕MN轴匀速转动，单匝线圈上产生的电动势随时间变化规律如图乙所示，单匝线圈内阻r＝0.1 Ω，定值电阻R＝9 Ω。下列说法正确的是( )
甲 乙
A．t＝0.05 s时穿过线圈的磁通量最大，磁通量变化最慢
B．图甲中交流电压表的示数是9 V
C．此交变电流的周期是0.2 s，线圈转动的角速度是5π rad/s
D．线圈从图示位置转过45°，电压表的示数为10 V
B [t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势最大，故此时线圈位于与中性面垂直位置，此时穿过线圈的磁通量为0，磁通量变化最快，故A错误；由题图乙可知，周期为0.2 s，则线圈转动的角速度ω＝eq \f(2π,T)＝10π rad/s，故C错误；10匝线圈产生的电动势最大值Em为10eq \r(2) V，由闭合电路欧姆定律可得路端电压的最大值Umax＝eq \f(Emax,10r＋R)×R＝9eq \r(2) V，交流电压表测的是电压的有效值，所以电压表示数U＝eq \f(Umax,\r(2))＝9 V，故B正确；交流电压表测的是电压的有效值，无论何时，其电压值都是9 V，故D错误。]
8．图甲为兴趣小组制作的无线充电装置中受电线圈示意图，已知线圈匝数n＝100匝、电阻r＝1 Ω、横截面积S＝1.5×10－3 m2，外接电阻R＝7 Ω。线圈处在平行于线圈轴线的磁场中，磁场的磁感应强度随时间变化如图乙所示，设磁场的正方向水平向左，则( )
甲 乙
A．在t＝0.005 s时通过电阻R的电流大小为0
B．在t＝0.005 s时通过电阻R的电流方向由a流向b
C．在0～0.01 s内通过电阻R的电荷量q＝1.5×10－3 C
D．在0.02～0.03 s内电阻R产生的焦耳热为Q＝1.8×10－3 J
C [在t＝0.005 s时，磁通量变化最快，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势最大，通过R的感应电流最大，故A错误；在t＝0.005 s时，根据楞次定律可知，感应电流方向由b流向a，故B错误；根据法拉第电磁感应定律E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，I＝eq \f(E,R＋r)，q＝IΔt，联立可得q＝eq \f(nΔΦ,R＋r)＝eq \f(100×1.5×10－3×8×10－2,7＋1) C＝1.5×10－3 C，故C正确；由于磁感应强度按正弦规律变化，ω＝eq \f(2π,0.02) rad/s＝100π rad/s，所以产生的感应电动势的最大值Em＝nΦmω＝100×4×10－2×1.5×10－3×100π V＝0.6π V，电流的有效值为I＝eq \f(Em,\r(2)R＋r)＝eq \f(0.6π,8\r(2)) A，在0.02～0.03 s内电阻R产生的焦耳热为Q＝I2Rt＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.6π,8\r(2))))2×7×0.01 J＝1.9×10－3 J，故D错误。]
9.如图所示，边长为L的正方形单匝线圈abcd，电阻为r，外电路的电阻为R，ab的中点和cd的中点的连线OO′恰好位于匀强磁场的边界线上，磁场的磁感应强度为B，若线圈从图示位置开始，以角速度ω绕OO′轴匀速转动，则以下判断正确的是( )
A．图示位置线圈中的感应电动势最大为Em＝BL2ω
B．从图示位置开始计时，闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为e＝eq \f(1,2)BL2ωcs ωt
C．线圈从图示位置转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为q＝eq \f(2BL2,R＋r)
D．线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为Q＝eq \f(πB2ωL4R,4R＋r2)
D [题图位置线圈中的感应电动势最小，为零，A错误；若线圈从题图位置开始转动，闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式e＝eq \f(1,2)BL2ωsin ωt，B错误；线圈从题图位置转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为q＝eq \x\t(I)·Δt＝eq \f(ΔΦ,R总)＝eq \f(BL2,R＋r)，C错误；Em＝eq \f(1,2)BL2ω，线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为Q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\f(Em,\r(2)),R＋r)))2·R·eq \f(2π,ω)＝eq \f(πB2ωL4R,4R＋r2)，D正确。]
10．如图甲所示，将阻值为R＝5 Ω的电阻接到内阻不计的正弦交变电源上，电流随时间变化的规律如图乙所示，电压表、电流表均为理想电表，下列说法正确的是( )
甲 乙 丙 丁
A．电压表两端读数为2.5 V
B．电阻R消耗的电功率为1.25 W
C．若此交变电流由一矩形线框在匀强磁场中匀速转动产生，如图丙所示，当线圈的转速提升一倍时，电流表的示数为1 A
D．图乙交变电流与图丁所示电流比较，接同一电阻的发热功率之比为1∶2
D [由题图可知，电流的最大值Im＝0.5 A，则电压的最大值：Um＝Im·R＝0.5×5 V＝2.5 V，那么电压的有效值U＝1.25eq \r(2) V＝1.77 V，故A错误；R上的电功率P＝UI＝eq \f(U2,R)＝eq \f(1.25\r(2)2,5)＝0.625 W，故B错误；转速增倍，电流也增倍，则电流的最大值变为1 A，有效值变为eq \f(\r(2),2) A，则电流表读数为eq \f(\r(2),2) A，故C错误；由有效值的概念可得丁的电流有效值为0.5 A，则乙与丁的电流有效值之比为1∶eq \r(2)，根据P＝I2R可知，发热功率之比为1∶2，故D正确。]
11．单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量Φ与时间t的关系图像如图所示。下列说法正确的是( )
A.eq \f(T,2)时刻线框平面与中性面垂直
B．线框的感应电动势平均值为eq \f(\r(2)πΦm,T)
C．线框转一周外力所做的功为eq \f(2π2Φ\\al(2,m),RT)
D．从t＝0到t＝eq \f(T,4)过程中线框的平均感应电动势为eq \f(πΦm,T)
C [中性面的特点是与磁场垂直，穿过的磁通量最大，磁通量变化率最小，则eq \f(T,2)时刻线框在中性面上，A错；电动势最大值为Em＝Φmω＝Φmeq \f(2π,T)，单匝闭合矩形线框在一个周期内，有eq \(E,\s\up6(－))＝eq \f(4Φm,T)，B错；由功能关系知，线框转一周外力做的功等于产生的电能，W＝E电＝eq \f(E\\al(2,有),R)·T＝eq \f(2π2Φ\\al(2,m),RT)，C对；由法拉第电磁感应定律知，eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(Φm,\f(T,4))＝eq \f(4Φm,T)，D错。]
12.如图所示，正方形线圈abcd的边长L＝0.3 m，线圈电阻为R＝1 Ω。直线OO′与ad边相距eq \f(2,3)L，过OO′且垂直纸面的竖直平面右侧有磁感应强度B＝1 T的匀强磁场，方向垂直纸面向里。线圈以OO′为轴匀速转动，角速度ω＝20 rad/s，以图示位置为计时起点。则( )
A．线圈中产生的交流电瞬时值表达式为u＝0.6cs 20t
B．流过ab边的电流方向保持不变
C．当t＝eq \f(π,20) s时，穿过线圈的磁通量为0.06 Wb
D．从t＝0到t＝eq \f(π,40) s，穿过线圈磁通量的变化量大小为0.06 Wb
C [当bc边在磁场中时，线圈中产生的交流电最大值为Em1＝BωS1＝1×20×0.3×0.1 V＝0.6 V，则瞬时值表达式为u＝0.6sin 20t(V)；当ad边在磁场中时，线圈中产生的交流电最大值为Em2＝BωS2＝1×20×0.3×0.2 V＝1.2 V，瞬时值表达式为u＝1.2sin 20t(V)，选项A错误；每个周期电流方向改变两次，故B错误；t＝eq \f(π,20) s时，线圈转过180°，adO′O在磁场中，垂直于磁场，故穿过线圈的磁通量为Φ＝B×eq \f(2,3)L2＝1×eq \f(2,3)×0.32＝0.06 Wb，故C正确；从t＝0到t＝eq \f(π,40) s，线圈转过90°，此时线圈平面与磁场方向平行，磁通量为零，故穿过线圈磁通量的变化ΔΦ＝eq \f(1,3)BS＝0.03 Wb，故D错误。]
13．(2022·清江中学高三开学考试)如图所示，两根间距为20eq \r(2) cm的无限长光滑金属导轨，电阻不计，其左端连接一阻值为10 Ω的定值电阻，两导轨之间存在着磁感应强度为1 T的匀强磁场，磁场边界虚线均为正弦曲线的一部分，一根接入电路中的电阻为10 Ω的光滑导体棒，在外力作用下以10 m/s的速度匀速向右运动(接触电阻不计)，交流电压表和交流电流表均为理想电表，则( )
A．回路中产生的是正弦式交变电流
B．电压表的示数是2 V
C．导体棒运动到图示虚线位置时，电流表示数为零
D．导体棒上消耗的热功率为0.2 W
A [磁场边界虚线为正弦曲线的一部分，可知回路中产生的是正弦式交变电流，故A正确；感应电动势最大值Em＝BLmv＝2eq \r(2) V，则感应电动势的有效值E＝eq \f(Em,\r(2))＝2 V，电压表测量R两端的电压，即U＝eq \f(R,R＋r)E＝1 V，故B错误；电流表示数为有效值，始终为I＝eq \f(E,R＋r)＝0.1 A，故C错误；导体棒上消耗的热功率P＝I2r＝0.1 W，故D错误。]
14．如图所示，一个长为2L、宽为L的矩形线框，电阻为R，放在绝缘的水平面上，处于竖直向下的磁场中。在t＝0到t＝eq \f(π,ω)时间内，磁感应强度B不断增大，其变化率eq \f(ΔB,Δt)随时间t的变化关系式为eq \f(ΔB,Δt)＝ksin ωt(k>0)，求：
(1)t＝eq \f(π,2ω)时，回路中的感应电动势的大小E和感应电流的方向；
(2)线框的发热功率P；
(3)某段时间内，回路中通过的电量q，求穿过线框的磁通量的变化量ΔΦ。
[解析] (1)根据法拉第电磁感应定律
回路中的感应电动势e＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(ΔB,Δt)S＝2kL2sin ωt
t＝eq \f(π,2ω)时，回路中的感应电动势E＝2kL2，感应电流方向为逆时针。
(2)电动势的最大值Em＝2kL2
由闭合电路欧姆定律 Im＝eq \f(Em,R)＝eq \f(2kL2,R)
由于交变电流是正弦式的，所以I＝eq \f(Im,\r(2))
所以P＝I2R＝eq \f(2k2L4,R)。
(3)eq \(E,\s\up6(－))＝eq \f(ΔΦ,Δt)，q＝eq \(I,\s\up6(－))Δt＝eq \f(\(E,\s\up6(－)),R)Δt＝eq \f(ΔΦ,R)，解得ΔΦ＝qR。
[答案] (1)2kL2，感应电流方向为逆时针
(2)eq \f(2k2L4,R) (3)qR
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