专题03 几何图形中动点问题-中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（安徽专用）

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——几何图形中动点问题（安徽专用）
1.（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是______
【答案】1
【分析】取AC的中点T，连接DT、MT，利用三角形的中位线定理求出DT的值，再由直角三角形斜边上中线的性质求出MT，并确定点M的运动轨迹，然后由DM≥TM-DT即可获得结论．
【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT、MT，
∵D是AB的中点，T是AC的中点，
∴AD=BD,AT=CT，
∴DT=12BC=12×4=2，
∵CM⊥AF，
∴∠AMC=90°，
∴TM=12AC=12×6=3，
∵点F为射线CB上一动点， CM⊥AF，即∠AMC=90°，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴DM≥TM-DT=3-2=1，
∴DM的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边上的中线解决问题．
2．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中，点A0,3，C4,0，点E、E分别是线段AC、OC上动点，且四边形也是矩形，
（1）DBDE=________；
（2）若△BCD是等腰三角形，CF=________．
【答案】 43 32或或
【分析】（1）分别连接BE、DF，两线交于点M，连接CM，由矩形性质及直角三角形斜边上中线的性质可得CD⊥CF；则易证明△ABD∽△CBF，从而可求得结果的值；
（2）分三种情况考虑：BC=CD=3；BD=BC=3；BD=CD，利用（1）中相似三角形的性质及等腰三角形的性质即可求得CF的长．
【详解】（1）分别连接BE、DF，两线交于点M，连接CM，如图．
由点A、C的坐标知，OA=3，OC=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=4，BC=OA=3，∠BCO=∠ABC=90°．
∵四边形DEFB是矩形，
∴∠DBF=∠DEF=90°，DE=BF，DM=FM=EM=BM．
∴∠DBC+∠CBF=∠ABD+∠DBC．
∴∠ABD=∠CBF．
∵CM是Rt△BCE斜边BE是的中线，
∴CM=EM=BM．
∴DM=CM=FM．
∴∠MDC=∠MCD，∠MCF=∠MFC．
∵∠MDC+∠MCD+∠MCF+∠MFC=180°，
∴∠MCD+∠MCF=90°，
∴CD⊥CF．
∴∠DCF+∠DBF=180°，
∴∠BDC+∠CFB=360°−(∠DCF+∠DBF )=180°．
∵∠BDC+∠BDA=180°，
∴∠BDA=∠CFB．
∵∠ABD=∠CBF，
∴△ABD∽△CBF．
∴DBBF=ABBC=43．
∴DBDE=43．
故答案为：43．
（2）①当BC=CD=3时；
由勾股定理得AC=AB2+BC2=42+32=5，
∴AD=AC−CD=2，
由（1）知：△ABD∽△CBF，
∴ADCF=ABBC=43．
∴CF=34AD=32．
②当BD=BC=3时；过点B作BN⊥CD于N，如图；
则CD=2DN．
∵12ACBN=12ABBC，
∴BN=ABBCAC=4×35=125．
由勾股定理得：DN=BD2-BN2=32-1252=95，
∵ADCF=ABBC=43,
∴CF=34AD=2720．
③当BD=CD时，则点D在线段BC的垂直平分线上，如图；
∴DG∥AB，
∴CDAD=CGBG=1，
即点D是AC的中点．
∴AD=12AC=52．
∴CF=34AD=158．
综上所述，CF的长为32或2120或．
故答案为：32或2120或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．本题具有一定的综合性，注意分类讨论．
3．（2022·安徽·统考二模）如图，点E在边长为2的正方形ABCD内，且AE⊥BE，点F是边AD的中点，点G是边CD上的一动点，连接EG，FG．
（1）当，且DG=GC时，四边形AEGF的面积为_________；
（2）EG+FG的最小值为_________．
【答案】 1 10-1##-1+10
【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，得E为正方形ABCD的中心，由DG=GC，证得G，E，H三点共线，进而推出四边形AFGE为平行四边形，最后求得面积；
（2）由AE⊥BE，可知点E在以AB为直径的圆O上运动，作点F关于CD的对称点F'，连接F'O，线段EF'即为所求．
【详解】解：（1）取AB的中点H，连接EH，
∵AE⊥EB，AE=EB，
∴EH垂直平分AB，E为正方形ABCD的中心，
又DG=GC，
∴G，E，H三点共线，
∴GH⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥EG，
∵F，E分别是AD，GH的中点，
∴GE=AF，
∴四边形AFGE为平行四边形，
∴四边形AEGF的面积为1×1=1．
故答案为：1；
（2）由AE⊥BE，可知点E在以AB为直径的圆O上运动，作点F关于CD的对称点F'，连接F'O，
∵F'G=FG，
∴FG+GE=F'G+GE≥F'E，
当F'，G，E三点共线时，FG+GE有最小值，
在RtAOF'中，
OF'=AO2+AF'2=12+32=10，
∴F'E =10-1，
即FG+GE最小值为10-1．
故答案为：10-1．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，最短路径问题，以及动点轨迹的探究，能够准确地判断动点的轨迹和找出最短路径是解决问题的关键．
4．（2022·安徽滁州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，点P，Q分别是AB，AD的中点，点E是CD边上一个动点，连接PE，将四边形PBCE沿PE折叠，得到四边形PEFH．
（1）若P，，Q三点在同一条直线上，则∠BPE的大小为______°；
（2）若AB=2，则F，Q两点的连线段的最小值为______．
【答案】 67.5 5-2
【分析】（1）易得∠APQ=45°，利用翻折的性质得到∠BPE=∠HPE=67.5°；
（2）连接，PE，PC，易证△PBC≌△PHF，得到PF=PC=5，PQ=2，当P，Q，F在同一条直线上时，FQ最小，计算可得．
【详解】（1）如图1，易得∠APQ=45°，
∴∠BPE=∠HPE=67.5°，
故答案为：67.5；
（2）如图2，连接，PE，PC，
易证△PBC≌△PHF，
∴PF=PC=5，PQ=2，
当P，Q，F在同一条直线上时，FQ最小，最小值为5-2，
故答案为：5-2．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的关键．
5．（2022·安徽·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E是AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB=30°，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P，直线PE交BD于点Q，当是直角三角形时，DF的长为___．
【答案】1或3或3-3
【分析】根据矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，然后分两种情况讨论，①当∠DQE=90°时，分点P在矩形内部和矩形外部两种情形求解，②当∠DEQ=90°时，过点F作FM⊥AD于点M，设EM=a，则FM=a，根据DM=3a，求得DF的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
，
∵AB=2，∠ADB=30°．
∴AD=23，
∵点E是边AD的中点，
∴DE=3，
①如图2，当∠DQE=90°时，
∵点E是AD的中点，
∵PE⊥BD，∠ADB=30°．
，
由对称可得，EF平分∠PED，
，
是等腰三角形，
，
∵PE⊥BD，∠ADB=30°，DE=3，
，
，
∴EF=1，
；
如图3，
∵PE⊥BD，∠ADB=30°．
，
由对称可得，PF=DF，EP=ED，EF平分∠PED，
，
，
是等腰三角形，
∵PE⊥BD，
，
∵PE⊥BD，∠ADB=30°．DE=3，
，，
；
∴DF的长为1或3；
②当∠DEQ=90°时，如图4，
∵EF平分∠PED，
∴∠DEF=45°，
过点F作FM⊥AD于点M，设EM=a，则FM=a，DM=3a，
∴，
，
，
综上所述，当是直角三角形时，DF的长为1或3或3-3，
故答案为：1或3或3-3．
【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
6．（2022·安徽·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=10，AD=8，tan∠BCD=52，点O为AB的中点，点P为BC上一动点，在平面内沿OP将△BOP翻折得到△B′OP，连接B′C，则B′C长度的最小值为______．
【答案】8
【分析】由沿OP将△OBP翻折得到△B′OP，可知OB=OB′=12AB=5，即B′的轨迹是以O为圆心，以5为半径的半圆，故当O、B′、C共线时，OC最小，此时B′C取得最小值；作出如图的辅助线，由tan∠BCD=tan∠EDC=52，先后求得DE、AE、BC的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿OP将△OBP翻折得到△B′OP，
∴OB=OB′=12AB=5，即B′的轨迹是以O为圆心，以5为半径的半圆，
∴当O、B′、C共线时，OC最小，此时B′C取得最小值；
过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，如图：
∵∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCE为矩形，
∴AB=CE=10，AE=BC，AE∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，
∴tan∠BCD=tan∠EDC=52，即CEDE=52，
∴DE=4，
∴AE=BC=12，
∴OC=52+122=13，
B′C长度的最小值为13-5=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了翻折变换、圆的相关知识、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造矩形．
7．（2022·安徽合肥·合肥市西苑中学校考模拟预测）已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 ___；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 ___．
【答案】 32##1.5 2或##23或2
【分析】①求出CE=BC-BE=3，证明△ABE∼△ECN，得出ABEC=BECN，即可得出结果；
②如图，过点E作EF⊥AD于点F，则四边形ABEF是矩形，得出AB=EF=2，AF=BE，根据折叠的性质证明△EC'F∼△NC'D，得出C'DEF=DNFC'=C'NC'E，从而证明C'D=BE，设BE=x，则C'F=4-2x，CE=4-x，代入可得CN+DN=x(2-x)+x(4-x)2=CD=2，即可得出结果．
【详解】①∵BE=1，，
∴CE=BC-BE=3，
∵EN⊥AE，
∴∠AEB+∠CEN=180°-90°=90°，
∵∠BAE+∠AEB=180°-∠B=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠CEN，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∼△ECN，
∴ABEC=BECN，即23=1CN，
∴CN=32，
故答案为：32；
（2）
如图，过点E作EF⊥AD于点F，则四边形ABEF是矩形，
∴AB=EF=2，AF=BE，
根据折叠的性质得：CE=C'E，CN=C'N，∠EC'N=∠C=90°，
∴∠NC'D+∠EC'F=90°，
∵∠C'ND+∠NC'D=90°，
∴∠EC'F=∠C'ND，
∵∠EFC'=∠D=90°，
∴△EC'F~△C'ND，
∴C'DEF=DNFC'=C'NC'E，
∴C'DEF=DNFC'=CNCE，
∵ABCE=BECN，
∵CNCE=BEAB，
∴C'DEF=DNFC'=BEAB，
∴C'D=BE，
设BE=x，则C'F=4-2x，CE=4-x，
∴DN4-2x=x2，即DN=x(2-x)，
CN4-x=x2，即CN=x(4-x)2，
∴CN+DN=x(2-x)+x(4-x)2=CD=2，
解得：或x=23．
故答案为：2或．
【点睛】本题考查矩形的综合问题，掌握相似三角形的判定与性质以及折叠的性质是解题的关键．
8．（2021·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．
（1）HE：AH＝______；
（2）S△AFE：S正方形ABCD＝______．
【答案】 1：4 5：12
【分析】（1）根据翻折的性质得到∠GHE＝∠BHE＝90°，再根据∠HEB＝∠BEA，从而证明△HEB∽△BEA，得出HEBE=BEAE，设正方形边长为2x，则BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，从而求出HE和AH，得出结论；
（2）由S△AFE＝12（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的边长为2x，FG＝DF＝m，则EF ＝x + m，CF＝2 x﹣m，，由勾股定理求出m即可．
【详解】解：（1）∵AE为对称轴，
∴△AEG≌△AEB，BG⊥AE，
∴∠GHE＝∠BHE＝90°，
又∵∠HEB＝∠BEA，
∴△HEB∽△BEA，
∴HEBE=BEAE，
在正方形ABCD中，设边长为2x，
∵点E是BC的中点，则BE＝x，AB＝2x，
∴AE＝AB2+BE2=2x2+x2=5x，
∴HE＝BE2AE=x25x=55x，
∴AH＝AE﹣HE＝5x-55x=455x，
∴HE：AH＝55x:455x＝1：4．
故答案为：1：4；
（2）设正方形ABCD的边长为2x，则S正方形ABCD＝4x2，
∵S△AFE＝12（S正方形ABCD﹣S△FCE），CE＝BE＝GE＝x，
设FG＝DF＝m，
则EF＝x + m，CF＝2 x﹣m，
在△EFC中，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴（m+x）2＝（2 x﹣m）2+ x2，
解得：m＝23x，
∴CE＝2 x﹣m＝43x，
∴S△CFE＝12×CE×CF＝12×43x×x=23x2，
∴S△AFE＝12×（4 x2﹣）＝53x2，
∴S△AFE：S正方形ABCD＝53x2:4x2＝5：12．
故答案为：5：12．
【点睛】本题考查轴对称性质，三角形全等，三角形相似判定与性质，正方形性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握上述知识是解题关键．
9．（2021·安徽·统考二模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE=5，则正方形CEFG的面积为______．
（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为______．
【答案】 5 32
【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE=42+x2，根据S△DEC+S△DFG=12S正方形ECGF根据函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝2，∠A＝∠ADC＝90°，
∵BE=5，
∴AE=BE2-AB2=5-4=1
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣1＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+22＝5，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝5．
故答案为5．
（2）如图，设DE=x，则CE=22+x2
∵S△DEC+S△DFG=12S正方形ECGF，
∴S△DFG=12x2+4-12×x×2=12x2-x+2=12x-12+32．
∵12>0，
∴当x=1时，的面积最小，且最小值为32．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10．（2021·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考一模）如图，等腰Rt△ABC的一个锐角顶点A是⊙O上的一个动点，∠ACB=90°，腰AC与斜边AB分别交⊙O于点E、D，分别过点D、E作⊙O的切线交于点F，且点F恰好是腰BC上的点，连接OC、OD、OE，若⊙O的半径为4，则OC的最大值为________．
【答案】25+2
【分析】设点G为EF中点，分别连接、OG、OD；根据圆的对称性，得OD=OE=OA=4；根据等腰直角三角形性质，得∠EAD=45°，再根据圆周角和圆心角的性质，得∠DOE=2∠EAD=90°；再根据切线和正方的性质，通过证明四边形ODFE为正方形，得EF，根据直角三角形斜边中线性质，得；通过勾股定理计算的OG，再通过三角形边角关系的性质分析，即可得到答案．
【详解】如图，设点G为EF中点，分别连接、OG、OD
∴OD=OE=OA=4
∵等腰RtΔABC，∠ACB=90°
∴∠CAB=45°，即∠EAD=45°
∴∠DOE=2∠EAD=90°
∵分别过点D、E作⊙O的切线交于点F
∴∠OEF=∠ODF=90°
∴四边形ODFE为正方形
∴EF=OE=4
∵点F恰好是腰BC上的点
∴∠ECF=∠ACB=90°
∴CG=EG=FG=12EF=2
当点C、点G、点O不在一条直线上时，得△OCG
∴OC∵OG=OE2+EG2=25
∴OC<25+2
当点C、点G、点O在一条直线上时，得OC=OG+CG=25+2
∴OC的最大值为：25+2
故答案为：25+2．
【点睛】本题考查了三角形、圆、勾股定理、切线、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、直角三角形斜边中线、圆周角、圆心角、切线、正方形、直角三角形斜边中线、勾股定理的性质，从而完成求解．
11．（2021·安徽芜湖·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点D是边AC上的动点，过点D作DE⊥AB于E点．请探究下列问题：（1）若，则CD=_____；（2）若CD=3，设点F是边BC上的动点，连接FD、FE，以FD、FE为邻边作平行四边形，且使得顶点G恰好落在AC边上，则CF=_______．
【答案】 43 125
【分析】(1)根据∠A的正弦值求出AD，根据勾股定理求出AC，相减即可；
(2)根据EF∥DG可知EF⊥BC，利用三角函数即可求BF，进而求出CF．
【详解】解：(1) ∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=AB2-BC2=8，
∴sinA=35，csA=45，tanA=34，
∵DE⊥AB，
∴sinA=DEAD=35，，
∴AD=203，
∴CD=AC-AD=43；
故答案为：43．
(2)如图所示， 四边形是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠BEF=∠A，∠EFB=∠C=90°，
∵CD=3，
∴AD=5，
∵csA=AEAD=45，
∴AE=4，BE=AB-AE=6，
∵sin∠BEF=sinA=35，
∴BFBE=35，
∴BF=，CF=BC-BF=125；
故答案为：125．
【点睛】本题考查了解直角三角形和平行四边形的性质，解题关键是熟练运用解直角三角形知识，恰当的找到直角三角形．
12．（2021·安徽·统考模拟预测）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一动点，过点P作PE⊥PA，交直线BC于点E，若△PBE为等腰三角形，则PB的长为____．
【答案】2,2-1
【分析】分别讨论P点在线段DB两个端点、线段中点O点处、以及DO和BO之间的情况，根据角的关系判断其为三角形的可能情况以及边的关系，利用勾股定理以及线段的和差进行计算即可．
【详解】解：由正方形的性质可知：DB=12+12=2，对角线互相垂直且把每组对角都分成了两个45°的角，接下来可分为以下情况讨论：
①如图，当点P与点D重合时，此时点E与点C重合，且满足△PBE为等腰三角形，
∴PB=DB=2；
②如图，当点P从点D运动到DB中点（不含端点）的过程中时，45°<∠APB<90°，
∴0°<∠EPB<45°
∵∠DBC=45°
∴∠PEB为钝角，
∴△PBE不是等腰三角形，
∴该情况不成立；
③当P点运动到对角线的交点处时，此时E点与B点重合，不符合题意；
当P点运动到与B点重合时，三角形不存在，即不符合题意；
④如图，当点P从点O运动到点B的过程中时，
∵∠DBC=45°，
∴∠PBE=135°，
若△PBE为等腰三角形，
则有∠BPE=∠BEP=12∠DBC=22.5°
∵∠APE=90°，
∴∠APD+∠BPE=90°
又∵∠OAP+∠APD=90°，
∴∠OAP=∠BPE=22.5°
∴∠DAP=45°+22.5°=67.5°
∵∠ADP=45°
∴∠DPA=180°-(45°+67.5°)=67.5°=∠DAP，
∴DP=DA=1，
∴PB=2-1．
综上可得：PB的长为2或2-1．
故答案为：2或2-1．
【点睛】本题为几何中的动点问题，综合考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段的和差计算、角的计算等内容，要求学生熟练掌握计算公式并做到熟练运用，能分析图形里的边角关系，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想．
13．（2021·安徽亳州·校联考一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．当△ABP≌△ADN时，则BP的长为_____．
【答案】42-4
【分析】在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，列出方程即可解决问题．
【详解】解：∵△ABP≅△ADN时，将△ABP沿直线AP翻折；
∴△ABP≅△ADN≅△AEP≅△AEN
∴∠PAB=∠DAN=14∠DAB=14×90°=22.5°，
在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°，
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=2z，
∴z+2z=4，
∴z=42-4，
∴PB=42-4，
故答案为：42-4.
【点睛】本题考查翻折问题、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
14．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连结BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE=5，则正方形CEFG的面积为________；（2）连结DF，DG，则△DFG面积的最小值为______．

【答案】 （1）17 （2）6
【分析】（1）先在Rt△ABE中，求得AE的长，再在Rt△EDC中求得EC2，进而求出面积；
（2）如下图，延长AD交GF于点M，过点F作FQ⊥DM于点Q，过点G作GN⊥CD于点N，先证△DCE≌△QEF，△ECD≌△CGN，便可求出△DFG的面积，然后用配方法，可求出最小值情况．
【详解】∵正方形ABCD，
∴AB=AD=CD=4，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABE中，AE=BE2-AB2=52-42=3,
∴ED=AD-AE=4-3=1；
∴在Rt△EDC中，EC2=ED2+CD2=12+42=17
∴正方形CEFG的面积为EC2=17.
故答案为：17.
（2）延长AD交GF于点M，过点F作FQ⊥DM于点Q，过点G作GN⊥CD于点N，
∴∠FQE=∠EDC=90°
∵正方形CEFG
∴CE=EF，∠FEQ+∠DEC=90°，∠DEC+∠DCE=90°
∴∠FEQ=∠DCE
在△DCE和△QEF中，
{∠FQE=∠EDC∠FEQ=∠DCECE=EF)
∴△DCE≌△QEF（AAS）
∴FQ=DE
同理可证△ECD≌△CGN，
∴NG=DC
∴在Rt△DEC中， CE2=DE2+CD2=DE2+16
∴△DFG的面积为：S正方形CEFG-12S△EDF-12S△EDC-12S△DCG=CE2-12DE·FQ-12DE·DC-12DC·GN =CE2-12DE·DE-12DE×4-12×4×4=16+DE2-12DE2-2DE-8=12DE2-2DE+8
∴△DFG的面积为12DE2-4DE+4-4+8=12DE-22+6
当DE=2时，此代数式有最小值为6，即△DFG的面积的最小值为6.
故答案为：6．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理的计算，解题关键是将△DFG的面积表示为S正方形CEFG-12S△EDF-12S△EDC-12S△DCG的形式，然后利用配方法求最值．
15．（2020·安徽·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为_____．
【答案】43或1或1-63或1+63．
【分析】依据矩形的性质，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），进而得到OF=OE，DF=BE．设BE=DF=a，则AF=3-a．当△AEF是等腰三角形时，分三种情况讨论．根据勾股定理列方程即可得到DF的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴OF＝OE，DF＝BE．
设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．
当△AEF是等腰三角形时，分三种情况讨论．
①如图（1），当AE＝AF时，在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，
解得a=43．
②如图（2），当AE＝EF时，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝FH＝BE，
∴AF＝2BE，
∴3﹣a＝2a，
解得a＝1．
③如图（3），当AF＝EF时，∠FAE＝∠FEA．
又∠FAE＝∠AEB，
∴∠FEA＝∠AEB．
过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，
∴FG＝3﹣2a．
在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，
解得a1＝1-63, a2＝1+63.
综上所述，DF的长为43或1或1-63或1+63．
故答案为：43或1或1-63或1+63．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．当等腰三角形的顶角顶点不确定时，需要列出所有情况进行分类讨论．解题时注意同类型的分类讨论问题还包括旋转方向、直角三角形的直角顶点、全等或相似三角形的对应顶点不明确．
16．（2022·安徽·校联考三模）四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，BD=10，AD=8，试探究：
（1）如图1，当点E落在BC上时，CE的长度为__________；
（2）如图2，O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设△EOF的面积为s，在矩形DEFG的旋转过程中，s的取值范围为__________．
【答案】 27 9≤s≤39
【分析】（1）当点E落在BC上时，由勾股定理知CE=ED2-CD2，代入计算即可；
（2）如图，由旋转知，EF=AD=8， △EOF的面积=12×EF×EF边上的高，故找面积最值就转化成找EF边上高的最值．当点E落在BD上时，EF边上高的最小值为EO，此时s最小，当点D落在BD的反向延长线上时，EF边上高的最大值为OE'，此时s最大，分别算出最大值和最小值即可．
【详解】（1）AB=BD2-AD2=6，
当点E落在BC上时，
CE=ED2-CD2=82-62=27；
故答案为：27．
（2）当点E落在BD上时，s最小，此时，
OE=12BD-(BD-AD)=3，
∴s=12×EO⋅EF=9；
当点D落在BD的反向延长线上时，s最大，
E'O=OD+DE'=13，
∴s=12×E'O⋅E'F'=39，
∴9≤s≤39．
故答案为：9≤s≤39．
【点睛】此题考查了图形的旋转和勾股定理，解题的关键是要有空间想象能力，正确作出辅助线求解．
17．（2022·安徽马鞍山·统考二模）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB=∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D．
（1）______；
（2）当线段CP最短时，△BCP的面积为_____．
【答案】 90° 125
【分析】（1）由∠ABP+∠PBC=90°得到∠BAP+∠ABP=90°，即可得到∠APB=90°；
（2）首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可得到PCOC=25，即可得到S△BCP=25S△OBC=125．
【详解】解：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°；
故答案为：90°；
（2）设AB的中点为O，连接OP，∵∠ABC=90°，
则OP=OA=OB，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC=BO2+BC2=5，
∴PC=OC-OP=5-3=2．
∴PCOC=25，
∵S△OBC=12BCOB=12×4×3=6，
∴S△BCP=25S△OBC=125．
故答案为：125.
【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．
18．（2022·安徽亳州·统考二模）在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=k，连接FE
（1）当k=2时，S△DEF：S△ABC=_______；
（2）取EF的中点G ，连接GA、GC，则GA+GC的最小值为________
【答案】 1：9 37
【分析】（1）根据∠B=∠B，BF=BD,BA=BC可得△BFD∽△BAC，根据相似三角形的性质求解即可；
（2）作A关于EF的对称点A'，连接GA'，AA'，AG+GC=A'G+GC≥A'C，当A',G',C三点共线时，取得最小值A'C， 此时EF为△ABC的中位线，△AA'C是直角三角形，勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵∠B=∠B，BF=BD,BA=BC
∴△BFD∽△BAC
∴S△BFD：S△ABC=BFBA2=262=19
∵BD=EC=2,DE=BC-BD-EC=2
∴BD=DE
∴S△BDF=S△DEF
∴S△DEF：S△ABC=1：9
（2）如图， 作A关于EF的对称点A'，连接GA'，AA'
则A'G=AG
∴AG+GC=A'G+GC≥A'C
当A',G',C三点共线时，取得最小值A'C， 此时EF为△ABC的中位线，
为EF中点，
∴GE=GF
∵AE=EA,BE=EC
∴△AFG≌△CEG
∴AG=GC
∴GA=GA'=GC
∴∠GA'A=∠GAA',∠GAC=∠GCA
∴∠GAA'+∠GAC=12×∠GA'A+∠GAA'+∠GAC+∠GCA=90°
∵∠CAB=60°
∴∠BAA'=30°
∵FA=FA'
∠AFA'=120°,AF=3.
∴AA'=33，
∴A'C=AA'2+AC2=27+36=37
即AG+GC的最小值为37
故答案为：1:9，37
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
19．（2022·安徽合肥·统考一模）已知：如图，△ABC中，BA= BC，∠ABC=70°，AC=4，点D是平面内动点，且AD=1，将BD绕点B顺时针旋转70°得到BE，连接AE．
（1）在点D运动的过程中，AE的最小长度为_________；
（2）在点D运动的过程中，当AE的长度最长时，则∠DAB=____________
【答案】 3 125°##125度
【分析】（1）证明△ABD≌△CBE，当点E在线段AC上时，AE最小，据此求解即可；
（1）当AE的长度最长时，点E在AC的延长线上，此时AE最大，证明△ABD≌△CBE，利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）连接CE，

∵BD=BE，BA= BC，∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE，
∴CE=AD=1，
当点E在线段AC上时，AE最小，AE最小值=4-1=3；
（2）在点D运动的过程中，当AE的长度最长时，点E在AC的延长线上，此时AE最大值=4+1=5；
同理可证△ABD≌△CBE，
∴∠DAB=∠ECB，
∵BA= BC，∠ABC=70°，
∴∠BCA=55°，
∴∠DAB=∠ECB =180°-55°=125°；
故答案为：（1）3； （2）125°
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
20．（2022·安徽淮南·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么：
（1）AE=_________；
（2）CD+55BD的最小值是__________．
【答案】 25 45
【分析】过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M，通过勾股定理及tanA=2即可求出AE、BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM=BE，然后通过锐角三角函数得出DH=55BD，进而可得出CD+55BD=CD+DH，最后利用CD+DH⩾CM即可求值．
【详解】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵tanA=BEAE=2，
设AE=a，BE=2a，
∵AB2=AE2+BE2，
∴100=a2+4a2，
∴a2=20，
∴a=25 或a=−25（舍去），
∴AE=25，
故答案为：25；
（2）∵a=25，
∴BE=2a=45，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM=BE=45（等腰三角形两腰上的高相等），
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，
∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55，
∴DH=55BD，
∴CD+55BD=CD+DH，
∴CD+DH⩾CM，
∴CD+55BD⩾4√5，
∴CD+55BD的最小值为45．
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
21．（2021·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考三模）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB=6，G、F是AD上的动点，且GF=3，点E是BC的中点．请完成下列问题：
（1）若DF=3，则∠FGE的大小为______；
（2）当GE+FE的值最小时，的长度为______．
【答案】 60°， 3132
【分析】（1）过点G作CH⊥BC，得出∠HGE=30°，即可求解；
（2）过BC作点G的对称点G'，过BC作点F的对称点H，连接FG'，则E为FG'的中点，过点E作EM⊥AD，则M是GF的中点，再利用勾股定理求解即可；
【详解】（1）过点G作CH⊥BC，
由题可知：AD=6，GF=3，DF=3，BE=12BC=3，
∴AG=BH=3-3，
∴HE=3-3-3=3，
在Rt△GHE中，GH=3HE，
∴GHHE=3，
∴tan∠HEG=3，
即∠HEG=60°，
∴∠HGE=30°，
∵，
∴∠FGE=60°；
故答案是：60°；
（2）过BC作点G的对称点G'，过BC作点F的对称点H，连接FG'，此时，GE+FE最小
E为FG'的中点，过点E作EM⊥AD，则M是GF的中点，
∴GM=FM=12GF=32，
则在Rt△CGD中，CG=GD2+CD2，
又∵GD=GM+MD=32+3=92，CD=3，
∴CG=922+32=1174=3132；
故答案是：3132；
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质和解直角三角形，结合勾股定理计算是解题的关键．
22．（2021·安徽池州·统考二模）如图，△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，P是BC上的动点，Q是AC上的动点（Q不与A、C重合），
（1）线段PA的最小值为_____________；
（2）当△ABP为直角三角形时，△PCO也为直角三角形时，则CQ的长度为______________．
【答案】 3 3或4或4.5
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B，再根据垂线段最短和30°角的直角三角形的性质即可得出；
（2）需要进行分三类讨论；分∠APB=90°,∠PQC=90°；∠BAP=90°,∠QPC=90°；∠BAP=90°,∠PQC=90°来讨论．
【详解】解：（1）如图：
作AP⊥BC交于P，
∵△ABC中，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°,
由垂线段最短可知，线段PA的最小值为：12AB=3，
故答案是：3．
（2）如图从左至右看；
第一类：当∠APB=90°,∠PQC=90°时，AQ=12AP=1.5，
∴CQ=6-1.5=4.5；
第二类：当∠BAP=90°,∠QPC=90°时，在中由勾股定理得，
BP2-AP2=AB2，
∴BP2-(12BP)2=62，
解得：BP=43或BP=-43（舍去）
∴CP=BC-BP=63-43=23，
由勾股定理：CP2=CQ2-PQ2，即CP2=CQ2-CQ22，
解得：CQ=4（舍去负值）
第三类：当∠BAP=90°,∠PQC=90°时，CP=23，
∴PQ=3，由勾股定理可得：CQ=3（舍去负值）
综上所述：CQ的长度为：3或4或4.5，
故答案是：3或4或4.5．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂线段最短和含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是：要利用到分类讨论思想．