专题10 三角函数实际应用-中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（安徽专用）

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1．（2023·安徽合肥·统考一模）除夕夜，小马吃完年夜饭后沿着东西方向的街道散步，如图，当小马走到点A处时发现C处有一钟楼，此时观察到钟楼大约在小马的北偏西60°方向，小马继续向前走600米，走到B处时观察到钟楼大约在小马的北偏西方向，求钟楼C离街道AB的距离．（结果取整数，参考数据：，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，）
【答案】612米
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，构造直角三角形，设CD=x，根据条件表示出其他线段长度，然后列出方程并解出即可．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
根据题意可得∠ACD=60°，∠BCD=37°，设CD=x，
在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD，
即tan37°=BDx，可得BD≈0.75x．
在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，可得AD=3x，
∴3x=0.75x+600，解得x≈612，
∴CD=612米．
答：钟楼C离街道AB的距离为612米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，辅助线构造直角三角形是解题关键．
2．（2023·安徽合肥·校考一模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于（墨子·备城门），是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且AB=5.4米，OA:OB=2:1．当点A位于最高点时，∠AOM=127°；当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
【答案】水桶B上升的高度1.62米
【分析】过O作，过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D，在Rt△OBC中和在Rt△OB1D中，分别利用三角函数求出BC和B1D的长即可．
【详解】解：过O作，过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D，
∵∠AOM=127°，，
∴∠AOE=127°-90°=37°，
∴∠BOC=∠AOE=37°，
∵∠AOA1=54.5°，
∴∠B1OD=∠A1OE=54.5°-37°=17.5°，
∵AB=5.4米，OA:OB=2:1，
∴OA=3.6米，OB=1.8米，
在Rt△OBC中，BC=sin∠OCB×OB=sin37°×OB≈0.6×1.8=1.08（米），
在Rt△OB1D中，B1D=sin17.5°×OB1≈0.3×1.8=0.54（米），
∴BC+B1D=1.08+0.54=1.62（米），
∴此时水桶B上升的高度为1.62米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．
3．（2023·安徽马鞍山·校考一模）春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场B处放风筝，风筝位于A处，风筝线AB长为150m，从B处看风筝的仰角为，小张的父母从C处看风筝的仰角为50°．
(1)风筝离地面多少米？
(2)小张和父母的直线距离BC是多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin37°=0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin50°≈0.78，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】(1)风筝离地面90m
(2)BC是195.6m
【分析】（1）作AD⊥BC，然后根据AB=150m，∠ABD=37°，即可计算出BD的长；
（2）根据题意和（1）中的结果，利用勾股定理和锐角三角函数可以计算出BD和CD的长，然后将它们相加，即可得到BC是多少米．
【详解】（1）解：作AD⊥BC于点D，
∵AB=150m，∠ABD=37°，
∴sin37°=ADAB=0.6，
∴AD=AB×0.6=150×0.6=90m，
即风筝离地面90m；
（2）∵AD⊥BC，AB=150m，AD=50m，∠C=50°，
∴BD=AB2-AD2=1502-902=120m，CD=ADtan50°≈901.19≈75.6m，
∴BC=BD+CD=120+75.6=195.6m，
即BC是195.6m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2023·安徽宿州·统考一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯AO的高，并求影长的步数．
(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF=0.5m，EF=0.3m，CD=10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为______m．
【答案】(1)见解析
(2)路灯AO的高为9m，影长为245步
(3)9
【分析】(1)根据中心投影的知识画出图即可．
(2)利用相似三角形的判定和性质计算即可．
(3)利用勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性质计算即可．
【详解】（1）路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
．
（2）∵MN∥OA，
∴△PMN∽△PAO，
∴MNOA=PMPA，即1.5OA=44+20，
解得OA=9．
∵PB∥OA，
∴△QPB∽△QAO，
∴PBOA=PQQA，即1.59=PQPQ+24，
解得PQ=245，
∴路灯AO的高为9m，影长为245步．
（3）如图，∵DF=0.5m，EF=0.3m，∠DEF=90°，
∴DE=DF2-EF2=0.52-0.32=0.4m，
∴tanD=EFDE=，
∵tanD=BCCD=34=BC10，CD=10m，
∴BC=7.5m，
∵四边形ACDG是矩形，
∴DG=AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=7.5m+1.5m=9m，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正切函数，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
5．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为i=1:3的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°．已知DC=6米，米，求旗子的宽度AB．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
【答案】1.1米
【分析】过点E作EG⊥AC于G，作EF⊥CD，交CD的延长线于F，利用坡比求出∠EDF=30°，由此得到EF及DF的长，求出EG，利用三角函数求出BC，即可得到AB．
【详解】解：过点E作EG⊥AC于G，作EF⊥CD，交CD的延长线于F，
在△DEF中，i=tan∠EDF=13=33，
∴∠EDF=30°，
∴CG=EF=12DE=2米，DF=DE⋅cs30°=2米，
∴EG=FC=DF+CD=（6+2）米，
在Rt△AEG中，∠AEG=45°，
∴AG=EG=（6+2）米，
在Rt△BCD中，∠BDC=60°，CD=6米，
∴BC=CD⋅tan60°=63米，
∴AB=AG+CG-BC=6+2+2-6=8-4≈1.1(米)，
答：旗子的宽度AB约为1.1米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确掌握各三角函数值的计算公式及构造直角三角形解决问题是解题的关键．
6．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．
（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？
【答案】(1) A城市受影响，理由见解析；（2）10.
【分析】（1）作AC⊥BF，则距点A最近的点即为C点，计算AC的长，若AC＞200千米，则不受影响，反之，则受影响．
（2）求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．
【详解】（1）A城市受影响．
如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，
∵AB＝300，∠ABC＝30°，
∴AC＝12AB＝150＜200，
所以A城会受到这次台风的影响；
（2）如图，
∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域，
则AD＝AE＝200，即DE为A城遭受这次台风的距离，
CD＝AD2-AC2=507，
∴DE＝1007，
则t＝sv=1007107＝10小时．
故A城遭受这次台风影响的时间10小时．
【点睛】本题主要考查了方向角问题以及解直角三角形的简单运用，能够熟练掌握．
7．（2022·安徽合肥·校考一模）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC=8，CD=2，∠D=135°，∠C=60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积.（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

【答案】24
【分析】过D作DE垂直AB的延长线于E，交BC于点F，构建等直角三角形；∠C=60°，则在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，即可求出CF，勾股定理求出DF即可．在根据等腰直角三角形的性质，得出△DAE的底和高即可求出面积．
【详解】解：过D作DE垂直AB的延长线于E，交BC于点F．
∵AB//CD，
∴DE⊥CD，
∴∠FEB=∠FDC=90°，
在Rt△CDF中，CD=2，∠C=60°，
∴，CF=4，，
∵BC=8，
∴BF=4，
∴BF=CF．
在△FEB和中，∠FEB=∠FDC∠CFD=∠BFEBF=CF，
∴△FEB≌△FDCAAS．
∴BE=CD=2，DF=EF=23，
∵∠ADC=135°，∠FDC=90°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=DE=43，
∴SABCD=S△AED=12AE⋅DE=12×43×43=24．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的全等以及勾股定理，根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理求出三角形的各边是解题的关键．
8．（2022·安徽合肥·合肥市五十中学西校校考三模）胜利塔是某市标志性建筑物之一，某课外兴趣小组同学借助无人机航拍测量胜利塔的高度，如图，无人机在距离地面168米的A处，测得该塔底端点B的俯角为40°，然后向胜利塔方向沿水平面飞行50秒到达点C处，此时测得该塔顶端点D的俯角为60°，已知无人机的飞行速度为3米/秒，则胜利塔的高度约为多少米？（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，，，结果精确到0．1米）
【答案】胜利塔的高度约为81.5米
【分析】作AE⊥地面于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，根据正切的定义求出BE，再求解CF，DF，从而可得答案．
【详解】解：作AE⊥地面于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，
则四边形AEBF为矩形，
∴BF=AE=168，AF=BE，
在Rt△AEB中，tan∠ABE=，
则BE=AEtan∠ABE≈1680.84=200，
∴CF=AF-AC=200-50×3=50，
在Rt△CFD中，tan∠FCD=DFCF，
则DF=CF•tan∠FCD≈50×1.73=86.5，
∴BD=168-86.5=81.5（米）．
答：胜利塔的高度约为81.5米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）2022年2月北京冬奥会取得圆满成功，大大地推进我国的滑雪运动事业发展，首钢滑雪大跳台给全球观众留下深刻印象．某市为了推进本市滑雪运动的需要，仿造首钢大跳台，新跳台有赛道：BE，DE，AD及支架BC构成，如图，工程队测得AD的仰角为37°，支架BC的仰角为60°，DE∥AC，D点到AC的距离DF＝3米，赛道DE＝10米，赛道BE＝60米、坡比i=1:1，求赛道A点到支架BC端C点的水平距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，，，．）
【答案】82.4米
【分析】过B点作BN⊥AC于点N，延长DE交BN于点M，先证明四边形DFNM是矩形，即MN=DF=3，DM=FN，根据BE的坡比为1:1，可得BM=EM，分别在Rt△BEM、Rt△BNC、Rt△ADF中解直角三角形求得EM、NC、AF，即AC可求．
【详解】过B点作BN⊥AC于点N，延长DE交BN于点M，如图，
根据题意有DF⊥AC，
∵BN⊥AC，AC∥DE，
∴可知四边形DFNM是矩形，即∠BME=∠BNF=∠BNC=90°，
∴MN=DF=3，DM=FN，
∵BE的坡比为1:1，
∴BM=EM，
∴在Rt△BEM中，BE=2BM=2EM，
∵BE=60，
∴BM=EM=302，
∴BN=BM+MN=302+3，DM=DE+EM=10+302，
∴DM=FN=10+302，
∵在Rt△BNC中，NC=BNtan∠C，
∴NC=BNtan∠C=302+3tan60∘=106+3，
∵在Rt△ADF中，AF=DFtan∠A，
∴AF=DFtan∠A=3tan37∘=4，
∴AC=AF+FN+NC=4+10+302+106+3=14+302+106+3，
∴AC=14+302+102×3+3≈82.4（米），
即赛道A点到支架BC端C点的水平距离为82.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解坡比是解答本题的关键．
10．（2022·安徽·校联考模拟预测）小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡CF走了25m到达D点，在点D处测得大树顶端A点的仰角为30°．若斜坡CF的坡比为i=1:2（点E，C，B在同一水平线上），求大树AB的高度．（结果保留根号）
【答案】大树AB的高度是(5+33)m
【分析】作DG⊥CE于G，解Rt△CDG，即可求出DG，过点D作DH⊥AB于点H，设AB=x米，用含x的代数式表示出AH、DH，根据tan∠ADH=AHDH列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB于点，DG⊥BE于点G．
由题意知i=1:2，
∴CG=2DG．
又CD=25m，DG2+(2DG)2=(25)2，即DG2+4DG2=20，
解得DG=2（负值舍去）．
∴CG=2×2=4(m)．
设大树高为xm．
∵∠ACB=45°，
∴CB=AB=xm，DH=BG=BC+CG=(x+4)m，AH=AB-DG=(x-2)m．
又∠ADH=30°，
∴，即33=x-2x+4．，解得x=5+33．
经检验，x=5+33是原方程的根且符合题意．
答：大树AB的高度是(5+33)m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
11．（2022·安徽宣城·统考二模）为了节能减排，越来越多的市民使用共享电动车，图1为电动车实物图，图2为电动车示意图，AB与地面平行，已知车轮半径为15cm，BE＝40cm，∠ABE＝60°，若坐垫厚度为EM＝12cm，求坐垫M离地面的高度．（结果精确到1cm）（参考数据：3≈1.732）
【答案】坐垫M离地面的高度约为62cm
【分析】设车后轮与地面的交点为点O，连接AO，过点E作地面的垂线，垂足为点P，EP与AB交于点Q，先根据圆的切线的性质、矩形的判定与性质可得PQ=AO=15cm，再在Rt△BEQ中，解直角三角形可得EQ的长，然后根据线段的和差求出EM+EQ+PQ的值即可得．
【详解】解：如图，设车后轮与地面的交点为点O，连接AO，过点E作地面的垂线，垂足为点P，EP与AB交于点Q，
∵AB∥OP，
∴EP⊥AB，
由圆的切线的性质得：AO⊥OP，
则四边形AOPQ是矩形，
∴PQ=AO=15cm，
∵BE=40cm,∠ABE=60°，
∴EQ=BE⋅sin∠ABE=40×32=203(cm)，
∵EM=12cm，
∴EM+EQ+PQ=12+203+15≈61.64≈62(cm)，
答：坐垫M离地面的高度约为62cm．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造矩形和直角三角形是解题关键．
12．（2022·安徽亳州·统考一模）电线杆AB（AB垂直于地面）被台风刮倾斜15°后折断倒在地上，电线杆的顶部恰好接触到地面D（如图所示），量得电线杆的倾斜角为∠BAC＝15°，它被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求电线杆原来的长度．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4）
【答案】电线杆原来的高度是10米
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由∠BAC＝15°可求出∠DAC的度数，在Rt△AED中由∠ADE＝60°，AD＝4可求出DE及AE的长度，在Rt△AEC中由直角三角形的性质可得出AE＝CE，故可得出CE的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出AC的长，进而可得出结论．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠BAC＝15°，
∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ADC＝60°，
在Rt△AED中，cs60°=DEAD=DE4=12，
∴DE＝2，
∵sin60°=AEAD=AE4=32，
∴AE＝2，
∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝CE＝2，
∴sin45°=CEAC=23AC=22，
∴AC＝26，
∴AB＝26+23+2≈2×2.4+2×1.7+2＝10.2≈10（米）．
答：电线杆原来的高度是10米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，一航船在A处测得北偏东45°方向上有一个灯塔B，航船向正东方向以10n mile/h的速度航行1.5h到达C处时，又测到灯塔B在北偏东方向上．已知以灯塔B为圆心，方圆20n mile内有暗礁，问：航船继续向正东方向航行是否有触礁危险？（参考数据：3≈1.732，6≈2.449）
【答案】无触礁危险．
【分析】先过点C作AB的垂线，求出长度，再根据∠B=30°，可得出BC的长.再过点B作AC的垂线，求出长度，与20n mile进行对比即可判断是否有触礁危险．
【详解】如图所示，过点C作CD⊥AB，过点B作BE⊥AC，在BE上选一点F，使CF=BF，连接CF，
由题意可知，∠DAC=45°，AC=10×1.5=15n mile，
∴CD=AD=152=1522n mile，
又∵∠BAC=45°，∠ACB=90°+15°=105°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=152 n mile，
又∵∠CBF=15°，BF=CF，
∴∠CFE=30°，
设CE=x，则CF=2x=BF，
∴BE=（2+3）x，
在Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2
即（152）2=（2x+3x）2+x2，
化简：x2+（7+43）x2=450，
解得x1=15（6-2）22；x2=15（2-6）22（负值舍去）
∴x=1523-152；
又∵BE=（2+3）x=（2+3）（1523-152）=152（3+1）≈20.49n mile，
∴20.49＞20，
∴航船继续向正东方向航行没有触礁危险．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解三角形的方法，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
14．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，为测量上派河一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小敏在河北岸C处测得对岸A处一棵树位于南偏东50°方向，B处一棵树位于南偏东方向，已知两树AB相距8米，求此段河面的宽度．（结果取整数．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin57°≈0.839，cs57°≈0.545，tan57°≈1.540）
【答案】此段河面的宽度约为23米
【分析】作CD⊥AB于点D， 在Rt△ACD中，AD=CD⋅tan50°，在Rt△BCD中，DB=CD⋅tan57°，由AB=DB-AD=8即可求解．
【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D．
由题意可知：∠ACD=50°，∠BCD=57°
在Rt△ACD中，
AD=CD⋅tan50°≈1.192CD，
在Rt△BCD中，
DB=CD⋅tan57°≈1.54CD，
∵AB=8，
∴DB-AD=0.35CD=8，
∴CD=23，
答：此段河面的宽度约为23米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用三角函数求解．
15．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，C地在A地的正东方向，因有大山相隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地52km，C地位于B地南偏东30°方向上，若打通穿山隧道，越成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：sin67°≈1213，cs67°≈513，tan67°≈125，≈1.73）
【答案】59km
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，得到∠ABD=67°，得到AD=AB•sin67°≈52×1213=48km，BD=AB•cs67°≈52×513=20km．根据C地位于B地南偏东30°方向，得到∠CBD=30°，CD=BD•tan30°=20×33≈11.39km，推出AC=AD+CD=48+11.39≈59.39≈59（km）．
【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD=67°，
∴AD=AB•sin67°≈52×1213=48km，BD=AB•cs67°≈52×513=20km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BD•tan30°=20×33≈11.39km，
∴AC=AD+CD=48+11.39≈59.39≈59（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长约为59km．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是作辅助线，构建直角三角形，运用正弦，余弦，正切定义解答．
16．（2022·安徽蚌埠·统考二模）某校初中数学综合实践开展了多彩的活动．在一次活动中，某兴趣小组学习了以下史料：魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高：如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=表高×表距表目距的差+表高．
(1)该兴趣小组学过解直角三角形后，对该问题的测量方法进行了改良：测得两次测量点之间的距离CH=140m，且∠BHA=30°，∠BCA=20°，请求出海岛的高AB（其中AB⊥AC）．（结果保留两位小数，参考数据：3≈1.732，）
(2)证明：海岛的高AB=表高×表距表目距的差+表高．
【答案】(1)133.84m
(2)见解析
【分析】（1）设， Rt△ABH和 Rt△ABC中，根据∠AHB和∠ACB的正切分别得到tan∠AHB=tan30°=ABAH=33和tan∠ACB=tan20°=ABAC=0.36，推出AH=3x和AC=x0.36，根据CH=AC-AH=x0.36-3x=140，求得x≈133.84；
（2）证明△HDE∽△HBA，△CFG∽△CBA，推出DEAB=EHAH，FGAB=CGAC，根据DE=FG，得到DEAB=EHAH=CGAC=CG-EHAC-AH=CG-EHCH，根据CH=CE-EH=CG-EH+EG，得到AB=CG-EH+EGCG-EH×DE=EG×DECG-EH+DE=表高×表距表目距的差+表高．
【详解】（1）解：（1）设，
在Rt△ABH中，tan∠AHB=tan30°=ABAH=33，
∴AH=3x，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan20°=ABAC=0.36，
∴AC=x0.36，
CH=AC-AH=x0.36-3x=140，
2.778x-1.732x=140，解得x≈133.84．
答：海岛的高AB为133.84m．
（2）（2）证明：
∵AB⊥AC，DE∥AC，FG∥AC，
∴DE∥AB，FG∥AB，
∴△HDE∽△HBA，△CFG∽△CBA，
∴DEAB=EHAH，FGAB=CGAC，
∵DE=FG，
∴DEAB=EHAH=CGAC=CG-EHAC-AH=CG-EHCH，
∵CH=CE-EH=CG-EH+EG，
∴AB=CG-EH+EGCG-EH×DE=EG×DECG-EH+DE=表高×表距表目距的差+表高．
【点睛】本题考查了解直角三角形和相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握正切定义及计算方法，相似三角形的判定和性质．
17．（2022·安徽马鞍山·统考二模）如图1是坐落在西河之畈的黄金塔，建于宋咸平元年即公元998年，为我省现存年代最早的古塔建筑，是第七批全国重点保护文物单位，塔九层六角．九年级数学兴趣小组开展了测量“黄金塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，黄金塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，B，D在同一条直线上）
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为55m，，∠CBD=63.4°
问题解决：求黄金塔CD的高度，参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，，sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【答案】30米
【分析】设CD=x米，用∠A，∠B的正切和x的式子分别表示AD和BD，根据AD+BD=55列方程解答．
【详解】设CD=x米，
在Rt△ACD中，，
∴tan∠CAD=CDAD则AD=CDtan∠CAD=xtan37°，
在Rt△BCD中，∠CBD=63.4°，
∴tan∠CBD=CDBD，则BD=CDtan∠CBD=xtan63.4°，
∵AD+BD=AB，
∴xtan37°+xtan63.4°=55，
解得：x=55×tan37°×tan63.4°tan37°+tan63.4°≈55×0.75×20.75+2=30，
答：黄金塔CD的高度约为30米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切定义及计算方法是解答此类问题的关键．
18．（2022·安徽·校联考二模）如图①是某公园的一个上肢牵引器，图②是其静止状态下的简化示意图（CE、DF分别在同一水平线上），立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆AC＝AE，手拉链CD＝EF，且始终与地面垂直．经查询，挑杆AC＝AE＝0.33m，∠CAE＝130°．当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图③所示的状态，此时∠CAB＝52°，求点E上升的高度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cs78°≈0.21，tan78°≈4.70）
【答案】0.07m
【分析】先在图2中，设AB与CE相交于点Q利用等腰三角形的三线合一性质求出∠CAQ＝65°，然后在Rt△ACQ中，求出AQ，再在图3中，过点E作EP⊥AB，垂足为P，先求出∠EAP＝78°，然后在Rt△APE中，求出AP，然后进行计算即可解答．
【详解】解：设AB与CE相交于点Q，如图：
∵CE∥MN，AB⊥MN，
∴AQ⊥CE，
∵AC＝AE，
∴∠CAQ=12∠CAE=12×130°＝65°，
在Rt△ACQ中，AQ＝ACcs65°＝0.33×0.42＝0.1386m，
过点E作EP⊥AB，垂足为P，
∵∠CAB＝52°，∠CAE＝130°，
∴∠EAP＝∠CAE﹣∠CAB＝130°﹣52°＝78°，
在Rt△APE中，AP＝AEcs78°＝0.33×0.21＝0.0693m，
∴AQ﹣AP＝0.1386﹣0.0693≈0.07（m），
∴点E上升的高度为0.07m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系的解题关键，难点在于如何添加辅助线将问题转化为解直角三角形问题．
19．（2022·安徽·统考中考真题）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
【答案】96米
【分析】根据题意可得ΔACD是直角三角形，解RtΔACD可求出AC的长，再证明ΔBCD是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴ΔACD是直角三角形，
∴∠BCD=90°-37°=53°，
∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，CDAC=sin∠A，CD=90米，
∴AC=CDsin∠A≈900.60=150米，
∵∠CDA=90°,∠BDA=53°，
∴∠BDC=90°-53°=37°,
∴∠BCD+∠BDC=37°+53°=90°，
∴∠CBD=90°, 即ΔBCD是直角三角形，
∴BCCD=sin∠BDC，
∴BC=CDsin∠BDC≈90×0.60=54米，
∴AB=AC-BC=150-54=96米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．
20．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考三模）2022年1月26日，合肥古逍遥津公园摩天轮“庐州之眼”正式开放，对外营业．该摩天轮高约90米（最高点A到地面的距离），点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，在地面的C处测得摩天轮最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为28.3°，求摩天轮所在圆的半径．（结果精确到0.1米，参考数据：sin28.3°≈0.47，cs28.3°≈0.88，tan28.3°≈0.53）
【答案】摩天轮的半径为42.3米．
【分析】结合仰角度数，根据锐角三角函数即可求出摩天轮的半径．
【详解】解：如图，
根据题意可知：
AB⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACD=45°，
∴CD=AD=90，
∵∠OCD=28.3°，
∴在Rt△OCD中，OD==90-OA，
∴tan28.3°=ODCD=90-OA90≈0.53
解得OA=42.3（米）．
答：摩天轮的半径为42.3米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
21．（2022·安徽芜湖·统考二模）如图，某数学课外实践小组要测斜坡CB上基站塔AB的高度．已知斜坡CB的坡度为1：2.4．在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，再沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（设CE为地平线，假定点A、B、C、D均在同一平面内）
(1)求D处相对于地平线的竖直高度；
(2)求基站塔AB的高．（参考数据：sin53°取近似值45，cs53°取近似值35，tan53°取近似值43）
【答案】(1)5米
(2)19.25米
【分析】（1）过D作DH⊥CE于H ,利用斜坡CB的坡度为1：2.4，CD=13，由勾股定理解答；
（2）由（1）得DH=5，CH=12，延长AB交CE于G，则AG⊥CE，作DF⊥AG于F，
在Rt△ADF中，由正切定义解得AF=43DF，继而解得解得DF=21，最后由AB=AF+GF-BG解答即可．
【详解】（1）解：过D作DH⊥CE于H ，
∵DH：CH=1：2.4，
∴设DH=x，则CH=2.4x，
∵CD=13，，
∴2.4x2+x2=132，解得x=5（米），
∴D处的竖直高度为5米．
（2）解：由（1）得DH=5，CH=12，
延长AB交CE于G，则AG⊥CE，作DF⊥AG于F，
∴∠AFD=∠AGE=90°，GF=DH=5，
在Rt△ACG中，∠ACG=45°，
∴AG=CG，
在Rt△ADF中，∠ADF=53°，tan∠ADF=AFDF=43，
∴AF=43DF，
∵CH+HG=GF+AF，
∴12+DF=5+43DF，解得DF=21，
∴AF=28，CG=AG=33，
∵BG：CG=1：2.4，
∴BG=13.75，
∴AB=AF+GF-BG=28+5-13.75=19.25 (米)，
答：基站塔AB的高为19.25米．
【点睛】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用方法．
22．（2022·安徽黄山·统考二模）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．（参考数据：sin22°≈38,cs22°≈1516,tan22°≈25）
(1)求城门大楼的高度；
(2)每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上一条笔直的绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的绳子长度．
【答案】(1)12米
(2)32米
【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得A，B之间所挂彩旗的长度．
（1）（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如图所示，由题意可得，CD=EF=3米，∠B=22°，∠ADE=45°，BC=21米，DE=CF，∵∠AED=∠AFB=90°，．∴∠DAE=45°，∴∠DAE=∠ADE，∴AE=DE，设AF=a米，则AE=（a-3）米，∵tan∠B=AFBF ，∴tan22°=a21+(a-3) ，即25＝a21+(a-3)，解得，a=12，答：城门大楼的高度是12米；
（2）解：∵∠B=22°,AF=12,sin∠B=AFAB，，AB≈128=32即A，B之间所挂彩旗的绳子长度是32米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．