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初中数学北师大版九年级下册5 三角函数的应用课文内容ppt课件
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这是一份初中数学北师大版九年级下册5 三角函数的应用课文内容ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了逐点学练，本节小结，作业提升，学习目标，本节要点，学习流程，知识点，感悟新知，常见的特殊角，三角函数的应用等内容，欢迎下载使用。
利用特殊角解直角三角形解决实际问题
特别提醒1.解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.2. 实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.3.物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓.
(1)方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的角，一般以“北偏…”“南偏…”的形式出现；(2)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可简记为“上仰下俯”.(3)坡角是坡面与水平面的夹角，坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大.
2. 利用特殊角解直角三角形解决问题的步骤(1)审题，弄清特殊角的类 型，将实际问题抽象为数学问题；(2)认真分析题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题；(3)结合特殊角，选用适当的锐角三角函数解直角三角形；(4)按照题目中的要求取值.
为了维护海洋权益，我国加大了在某海域的巡逻力度.一天，两艘海警船刚好在某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C 处海域. 如图1-5-1，AB=60( + )海里，在B 处测得C 在北偏东45°的方向上，在A 处测得C 在北偏西30°的方向上，在海岸线AB 上有一灯塔D，测得AD=120( － )海里.
解题秘方：建立数学模型后，用“化斜为直法”将斜三角形问题转化为解直角三角形问题求解.
(1)分别求出A 与C 及B 与C 的距离AC，BC(结果保留根号).
解：如图1-5-1，过点C 作CE ⊥ AB 于点E，可得∠ ACE=30°，∠ BCE=45°.
设AE=x 海里， 则在Rt △ ACE 中，CE= x 海里，AC=2x 海里， 在Rt △ BCE 中，BE=CE= x 海里，BC= x 海里.∵ AB=AE+BE，∴ x+ x=60( + )，解得x=60 ，∴ AC=120 海里，BC=120 海里.
(2)已知在灯塔D 周围100 海里范围内有暗礁群，在A 处的海警船沿AC 前往C 处盘查，途中有无触礁的危险(参考数据： ≈ 1.41， ≈ 1.73， ≈ 2.45)？
解：如图1-5-1，过点D 作DF ⊥ AC 于 点F，由题可知∠ DAF=60°. 在Rt △ AFD 中，DF=AD·sin 60°= AD，∴ DF= ×120( － )=60(3 － )≈106.8(海里)>100 海里，∴途中无触礁的危险.
1-1.[中考· 安徽] 如图， 为了测量河对岸A，B 两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B 均在C 的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90 m 至观测点D， 测得A 在D 的正北方向，B 在D 的北偏西53°方向上．求A，B 两点间的距离.(参考数据：sin 37°≈ 0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
如图1-5-2，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠ CAD=60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 m.
解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解.
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)；
解：∵在教学楼B 处观测旗杆底端D 的俯角是30°，∴∠ ADB=30°.在Rt △ ABD 中，∵∠ BAD=90°，∠ ADB=30°，AB=4 m， 即教学楼与旗杆的水平距离AD 是4 m.
(2)求旗杆CD 的高度.
解：在Rt △ ACD 中，∵∠ ADC=90°，∠ CAD=60°，AD=4 m，∴ CD=AD·tan 60°=4 × =12(m).即旗杆CD 的高度是12 m.
2-1. [中考·宿迁] 如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB 的高度为20 m，求信号塔的高度.(计算结果保留根号)
如图1-5-3，李明在大楼30 m 高(即PH=30 m)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ ，点P，H，B，C，A在同一个平面内，点H，B，C 在同一条直线上，且PH ⊥ HC.
解题秘方：将分散的条件集中到△ ABP 中求解.
(1)山坡坡角的度数等于_______ °；
(2)求A，B 两点间的距离(结果精确到0.1 m，参考数据： ≈ 1.732).
解：由题意，得∠ PBH=60°，∠ APB=60°－15°=45°.∵∠ ABC=30°，∴∠ ABP=90°，∴∠ BAP=45°，∴ PB=AB.
在Rt △ PHB 中，∴ AB=PB=20 ≈ 34.6 m.∴ A，B 两点间的距离约为34.6 m.
3-1. [中考·益阳] 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH=12 米，斜坡CD 的坡度i=1∶1.此处大堤的正上方有高压线穿过，PD 表示高压线上的点与堤面AD 的最近距离(P，D，H 在同一直线上)，在点C处测得∠ DCP=26°.
(1)求斜坡CD 的坡角α .
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD 的安全距离不低于18 米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin 26°≈0.44，tan 26 ° ≈ 0.49，sin 71°≈ 0.95，tan 71°≈2.90)
利用特殊角解直角三角形解决实际问题
特别提醒1.解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.2. 实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.3.物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓.
(1)方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的角，一般以“北偏…”“南偏…”的形式出现；(2)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可简记为“上仰下俯”.(3)坡角是坡面与水平面的夹角，坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大.
2. 利用特殊角解直角三角形解决问题的步骤(1)审题，弄清特殊角的类 型，将实际问题抽象为数学问题；(2)认真分析题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题；(3)结合特殊角，选用适当的锐角三角函数解直角三角形；(4)按照题目中的要求取值.
为了维护海洋权益，我国加大了在某海域的巡逻力度.一天，两艘海警船刚好在某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C 处海域. 如图1-5-1，AB=60( + )海里，在B 处测得C 在北偏东45°的方向上，在A 处测得C 在北偏西30°的方向上，在海岸线AB 上有一灯塔D，测得AD=120( － )海里.
解题秘方：建立数学模型后，用“化斜为直法”将斜三角形问题转化为解直角三角形问题求解.
(1)分别求出A 与C 及B 与C 的距离AC，BC(结果保留根号).
解：如图1-5-1，过点C 作CE ⊥ AB 于点E，可得∠ ACE=30°，∠ BCE=45°.
设AE=x 海里， 则在Rt △ ACE 中，CE= x 海里，AC=2x 海里， 在Rt △ BCE 中，BE=CE= x 海里，BC= x 海里.∵ AB=AE+BE，∴ x+ x=60( + )，解得x=60 ，∴ AC=120 海里，BC=120 海里.
(2)已知在灯塔D 周围100 海里范围内有暗礁群，在A 处的海警船沿AC 前往C 处盘查，途中有无触礁的危险(参考数据： ≈ 1.41， ≈ 1.73， ≈ 2.45)？
解：如图1-5-1，过点D 作DF ⊥ AC 于 点F，由题可知∠ DAF=60°. 在Rt △ AFD 中，DF=AD·sin 60°= AD，∴ DF= ×120( － )=60(3 － )≈106.8(海里)>100 海里，∴途中无触礁的危险.
1-1.[中考· 安徽] 如图， 为了测量河对岸A，B 两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B 均在C 的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90 m 至观测点D， 测得A 在D 的正北方向，B 在D 的北偏西53°方向上．求A，B 两点间的距离.(参考数据：sin 37°≈ 0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
如图1-5-2，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠ CAD=60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 m.
解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解.
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)；
解：∵在教学楼B 处观测旗杆底端D 的俯角是30°，∴∠ ADB=30°.在Rt △ ABD 中，∵∠ BAD=90°，∠ ADB=30°，AB=4 m， 即教学楼与旗杆的水平距离AD 是4 m.
(2)求旗杆CD 的高度.
解：在Rt △ ACD 中，∵∠ ADC=90°，∠ CAD=60°，AD=4 m，∴ CD=AD·tan 60°=4 × =12(m).即旗杆CD 的高度是12 m.
2-1. [中考·宿迁] 如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB 的高度为20 m，求信号塔的高度.(计算结果保留根号)
如图1-5-3，李明在大楼30 m 高(即PH=30 m)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ ，点P，H，B，C，A在同一个平面内，点H，B，C 在同一条直线上，且PH ⊥ HC.
解题秘方：将分散的条件集中到△ ABP 中求解.
(1)山坡坡角的度数等于_______ °；
(2)求A，B 两点间的距离(结果精确到0.1 m，参考数据： ≈ 1.732).
解：由题意，得∠ PBH=60°，∠ APB=60°－15°=45°.∵∠ ABC=30°，∴∠ ABP=90°，∴∠ BAP=45°，∴ PB=AB.
在Rt △ PHB 中，∴ AB=PB=20 ≈ 34.6 m.∴ A，B 两点间的距离约为34.6 m.
3-1. [中考·益阳] 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH=12 米，斜坡CD 的坡度i=1∶1.此处大堤的正上方有高压线穿过，PD 表示高压线上的点与堤面AD 的最近距离(P，D，H 在同一直线上)，在点C处测得∠ DCP=26°.
(1)求斜坡CD 的坡角α .
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD 的安全距离不低于18 米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin 26°≈0.44，tan 26 ° ≈ 0.49，sin 71°≈ 0.95，tan 71°≈2.90)
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