天津市红桥区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷+

这是一份天津市红桥区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷+，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，8cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．4cm，5cm，6cm
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3B．（ab2）3＝ab6
C．2ab2•（﹣3ab）＝﹣6ab3D．10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2b2
5．（3分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
6．（3分）计算的结果是（ ）
A．1B．x+1C．D．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2
B．（﹣x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．（2x﹣y）（x+2y）＝2x2﹣2y2
D．（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝x2﹣4y2
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x+2）2＝x2+4
B．（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2
C．（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+2y2
D．（2x+3y）2＝4x2+6xy+9y2
9．（3分）把多项式m2+mn﹣6n2分解因式，其结果是（ ）
A．（m+3n）（m+2n）B．（m+3n）（m﹣2n）
C．（m﹣3n）（m+2n）D．（m﹣3n）（m﹣2n）
10．（3分）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
12．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．有下列命题：
①若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC；
②若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE；
③若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC；
④若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题；每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（2m+1）（2m﹣1）﹣4m2的结果等于 ．
14．（3分）把多项式xy2﹣4x分解因式的结果为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E2．若∠B＝∠ADB，AB＝2，则DC的长是 ．
16．（3分）分式方程的解为 ．
17．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3．
（Ⅰ）△ABC的面积等于 ．
（Ⅱ）D为AB的中点，P是AC上的动点，连接PB，PD．当PB+PD取得最小值时，请在如图所示的短形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点P；并简要说明点P的位置是如何找到的．（保留作图痕迹，不要求证明）
三、解答题（本大题共6小题，共46分。解答应写出文字说明、演算步程或推理过程）
19．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（4，1），（﹣4，﹣2），（﹣1，﹣3）．若△A′B′C′与△ABC关于x轴对称，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．请在图中作出△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标．
20．（6分）如图，AB∥ED，AB＝ED，AF＝DC．求证：EF∥CB．
21．（8分）先化简，再求值：
（Ⅰ）（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y），其中，；
（Ⅱ），其中．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（Ⅰ）求证：DE＝DF；
（Ⅱ）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
23．（8分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（Ⅰ）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（Ⅱ）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
24．（10分）在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF．
【发现问题】如图①，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 ，∠BDC的度数为 ．
【类比探究】如图②，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由．
【拓展延伸】如图③，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2x﹣1≠0，
解得：x≠，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
2．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的美术字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的美术字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
3．（3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，8cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．4cm，5cm，6cm
【分析】根据两边之和大于第三边判断即可．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＝8，
∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+5＜10，
∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵4+5＞6，
∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3B．（ab2）3＝ab6
C．2ab2•（﹣3ab）＝﹣6ab3D．10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2b2
【分析】根据单项式的乘除法则一一计算判断即可．
【解答】解：A、a3•a3＝a6，本选项错误，不符合题意；
B、（ab2）3＝a3b6，本选项错误，不符合题意；
C、2ab2•（﹣3ab）＝﹣6a2b3，本选项错误，不符合题意；
D、10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2b2，本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式是混合运算法则．
5．（3分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【分析】根据中点得到OA＝OA′，OB＝OB′，再根据对顶角相等，得到△AOB≌△A′OB′，即可得解．
【解答】解：由题意，得：OA＝OA′，∠AOB＝∠A′OB′，OB＝OB′，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴AB＝A′B′；
∴理论依据是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
6．（3分）计算的结果是（ ）
A．1B．x+1C．D．
【分析】利用分式的减法法则计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝1，
故选：A．
【点评】本题考查分式的减法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2
B．（﹣x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．（2x﹣y）（x+2y）＝2x2﹣2y2
D．（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝x2﹣4y2
【分析】根据多项式乘多项式法则一一计算即可判断．
【解答】解：A、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，本选项错误，不符合题意；
B、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，本选项错误，不符合题意；
C、（2x﹣y）（x+2y）＝2x2+3xy﹣2y2，本选项错误，不符合题意；
D、（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝（﹣x）2﹣（2y）2＝x2﹣4y2，必须执行正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式是混合运算法则．
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x+2）2＝x2+4
B．（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2
C．（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+2y2
D．（2x+3y）2＝4x2+6xy+9y2
【分析】利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2将各式计算后进行判断即可．
【解答】解：（x+2）2＝x2+4x+4，则A不符合题意；
（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，则B符合题意；
（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，则C不符合题意；
（2x+3y）2＝4x2+12xy+9y2，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．（3分）把多项式m2+mn﹣6n2分解因式，其结果是（ ）
A．（m+3n）（m+2n）B．（m+3n）（m﹣2n）
C．（m﹣3n）（m+2n）D．（m﹣3n）（m﹣2n）
【分析】先利用十字相乘法分解m2+mn﹣6n2，根据分解结果得结论，
【解答】解：m2+mn﹣6n2＝（m+3n）（m﹣2n）．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的“十字相乘法”是解决本题的关键．
10．（3分）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
【解答】解：原方程去分母得：2x＝3﹣4（x﹣1），
去括号得：2x＝3﹣4x+4，
移项，合并同类项得：6x＝7，
系数化为1得：x＝，
检验：将x＝代入2（x﹣1）得2×（﹣1）＝≠0，
故原方程的解为x＝，
故选：C．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
11．（3分）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．
【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意；
B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；
C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；
D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到△OCM≌△ODM（SSS）．
12．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．有下列命题：
①若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC；
②若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE；
③若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC；
④若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
①CD＝BE，∠ABC和∠ACB分别是DC和BE的对角，不能判定△BDC和△CEB全等，因此∠DCB和∠EBC不一定相等，故①不符合题意；
②④∠DCB＝∠EBC，而BC＝CB，∠DCB＝∠EBC，由ASA判定△BDC≌△CEB，得到CD＝BE，BD＝CE，故②④符合题意；
③BD＝CE，∠ABC＝∠ACB，BC＝CB，由SAS判定△BDC≌△CEB，得到∠DCB＝∠EBC，故③符合题意．
∴正确命题的个数是3个．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，命题与定理，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
二、填空题（本大题共6小题；每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（2m+1）（2m﹣1）﹣4m2的结果等于 ﹣1 ．
【分析】本题是平方差公式的应用，先把（2m+1）（2m﹣1）计算，然后合并同类项即可．
【解答】解：（2m+1）（2m﹣1）﹣4m2
＝4m2﹣1﹣4m2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要平方差公式，运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
14．（3分）把多项式xy2﹣4x分解因式的结果为 x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E2．若∠B＝∠ADB，AB＝2，则DC的长是 2 ．
【分析】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．
【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（3分）分式方程的解为 x＝4 ．
【分析】利用解分式方程的方法解方程即可．
【解答】解：原方程去分母得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2），
去括号得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3x+6，
移项，合并同类项得：2x＝8，
系数化为1得：x＝4，
检验：将x＝4代入（x﹣2）得4﹣2＝2≠0，
故原方程的解为x＝4，
故答案为：x＝4．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3．
（Ⅰ）△ABC的面积等于 6 ．
（Ⅱ）D为AB的中点，P是AC上的动点，连接PB，PD．当PB+PD取得最小值时，请在如图所示的短形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点P；并简要说明点P的位置是如何找到的．（保留作图痕迹，不要求证明）
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解；
（2）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，
∴△ABC的面积为：＝6．
故答案为：6；
（2）如图，作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，点P即为所求．
【点评】本题考查了三角形的面积以及尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法．
三、解答题（本大题共6小题，共46分。解答应写出文字说明、演算步程或推理过程）
19．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（4，1），（﹣4，﹣2），（﹣1，﹣3）．若△A′B′C′与△ABC关于x轴对称，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．请在图中作出△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标．
【分析】根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求．
点A′（4，﹣1），B′（﹣4，2），C′（﹣1，3）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（6分）如图，AB∥ED，AB＝ED，AF＝DC．求证：EF∥CB．
【分析】由平行线的性质得∠A＝∠D，再证AC＝DF，然后证△ABC≌△DEF（SAS），得∠ACB＝∠DFE，即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+CD＝DC+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴EF∥CB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（8分）先化简，再求值：
（Ⅰ）（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y），其中，；
（Ⅱ），其中．
【分析】（Ⅰ）先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
（Ⅱ）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（Ⅰ）（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y）
＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣2xy+6xy﹣3y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+2xy﹣6xy+3y2
＝8xy+12y2，
当，时，原式＝8××（﹣）+12×（﹣）2＝﹣+12×＝﹣+3＝；
（Ⅱ）
＝•
＝•
＝•
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6，
当时，原式＝﹣2×（﹣）﹣6＝7﹣6＝1．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（Ⅰ）求证：DE＝DF；
（Ⅱ）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）由角平分线定义得∠EAD＝∠FAD，再证△ADE≌△ADF（SAS），即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得∠EAD＝∠BAC＝40°，AD⊥BC，∠AED＝∠ADE，再由三角形内角和定理求出∠ADE＝70°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
由作图可知，AE＝AF＝AD，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠BAC＝40°，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
由作图可知，AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠EAD）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°，
即∠BDE的度数为20°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
23．（8分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（Ⅰ）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（Ⅱ）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
【分析】（Ⅰ）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；
（Ⅱ）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，根据购买总费用不超过26万元且且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各购买方案，再由两种机床的单价之间的关系可找出购买方案总费用最少的方案及最少总费用．
【解答】解：（Ⅰ）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，
根据题意得：
＝，
解得x＝0.9，
经检验x＝0.9是原方程的解，
∴x＝0.9．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；
（Ⅱ）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，
根据题意，得：，
解得：≤m≤．
∵m为整数，
∴m＝14，15，16．
∴该停车场有3种购买机床方案，
方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；
方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；
方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型机床的单价低于B型机床的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）．
【点评】本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（10分）在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF．
【发现问题】如图①，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 BE＝CF ，∠BDC的度数为 30° ．
【类比探究】如图②，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由．
【拓展延伸】如图③，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；
（3）利用SAS证明△ABE≌和△ACF，可得BE＝CF，再由等腰直角三角形的性质可得AM＝EM＝FM，即EF＝2AM，根据BF＝BE+EF，等量代换可得BF＝CF+2AM．
【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，
理由如下：如图1所示，设AC与BD交于点O，
∵∠BAC＝∠EAF＝30°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，
∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACF+∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°．
故答案为：BE＝CF，30°；
（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，
理由如下：如图2，
∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC，
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；
（3）【拓展延伸】BF＝CF+2AM，
理由如下：如图3，
∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌和△ACF（SAS），
∴BE＝CF，
∵AE＝AF，∠EAF＝90°，AM⊥EF，
∴AM＝EM＝FM，即EF＝2AM，
∵BF＝BE+EF，
∴BF＝CF+2AM．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．