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2022-2023学年天津市红桥区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年天津市红桥区八年级（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市红桥区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 2x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥−12 B. x≥12 C. x≤−12 D. x≤12
2. 下列计算中正确的是( )
A. 3+ 7= 10 B. 2× 3= 6
C. 8=4 2 D. (−2)2=−2
3. 有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的( )
A. 方差 B. 中位数 C. 众数 D. 平均数
4. 已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和4，则它的斜边的长为( )
A. 4 B. 2 3 C. 2 5 D. 20
5. 如图，四边形OACB是矩形，A，B两点的坐标分别是(8,0)，(0,6)，点C在第一象限，则点C的坐标为( )
A. (6,0)
B. (0,8)
C. (6,8)
D. (8,6)
6. 将一次函数y=2x−1的图象沿y轴向上平移4个单位长度，所得直线的解析式为( )
A. y=2x−5 B. y=2x−3 C. y=2x+3 D. y=2x+4
7. 在“争创美丽校园”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况如表所示：
评分(分)
80
85
90
95
评委人数
1
2
5
2
则这10位评委评分的平均数是( )
A. 85 B. 87.5 C. 89 D. 90
8. 如图，▱ABCD的对角线交于点O，∠ACD=70°，BE⊥AC，则∠ABE的大小为( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
9. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC=4，∠BAD=120°，则该菱形的面积是( )
A. 8
B. 8 3
C. 16
D. 16 3
10. 已知点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3,y3)在一次函数y=−(m2+1)x−1(m为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
12. 关于函数y=(k−3)x+k(k为常数)，有下列结论：
①当k≠3时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点(−1,3)；
③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k<0；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 在▱ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的周长等于______ ．
14. 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，若∠C=60°，则∠D的大小为______ (度)．
15. 计算(3+ 2)(3− 2)的结果等于______ ．
16. 将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为______ ．
17. 若一个三角形的三边长分别为 5，3，2，则此三角形的面积为______ ．
18. 如图，一次函数y=x+2与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是AB，OB上的点，且∠OPC=45°，PC=PO，则点P的坐标为______．
三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：
(Ⅰ) 12−9 13+ 75；
(Ⅱ)( 2−1)2+2( 2−1)．
20. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，已知AB=5，BD=3，AD=4，AC=4 2．
(1)判断AD与BC的位置关系．并说明利用；
(2)求三角形ABC的面积．
21. (本小题6.0分)
某校为了解学生家中拥有移动设备的情况，随机调查了部分学生家中拥有移动设备的数量.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为______ ，图①中m的值为______ ；
(Ⅱ)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数．
22. (本小题6.0分)
已知一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象经过点A(−2,5)，B(1,−1)．
(Ⅰ)求该一次函数的解析式；
(Ⅱ)当−2≤x≤3时，求该一次函数的函数值y的取值范围．
23. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF.连接BE，BF，DE，DF．
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形DEBF为平行四边形．
24. (本小题8.0分)
甲、乙两家商场以同样的价格出售相同的商品.“五一”节期间两家商场都举行让利酬宾活动.在甲商场按累计购物金额的80%收费；在乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按70%收费.设在同一商场累计购物金额为x元，其中x>0．
(Ⅰ)根据题意，填写下表：
累计购物金额/元
100
400
在甲商场实际花费/元
80
在乙商场实际花费/元
100
340
(Ⅱ)设在甲商场的实际花费为y1元，在乙商场的实际花费为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数解析式；
(Ⅲ)当x>500时，顾客在哪家商场购物的实际花费少？
25. (本小题8.0分)
已知直线y=kx+b(k,b为常数，k≠0)分别与x轴，y轴交于点A(−3,0)，点B(0,6)．
(Ⅰ)求该直线的解析式；
(Ⅱ)若点C是y轴上一点，且△ABC的面积S=15．
①求点C的坐标；
②当点C在y轴的负半轴上时，是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由二次根式有意义的条件可知，2x+1≥0，
即x≥−12，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握负数没有平方根是正确解答的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、 3与 7不能合并，故A不符合题意；
B、 2× 3= 6，故B符合题意；
C、 8=2 2，故C不符合题意；
D、 (−2)2=2，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了统计量的选择，弄清方差表示的意义是解本题的关键．
根据各自的定义判断即可．
【解答】
解：有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择统计量中的方差，
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：∵一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和4，
∴它的斜边的长= 22+42=2 5，
故选：C．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：在矩形OACB中，∠CAO=∠AOB=∠CBO=90°，AC=OB，CB=OA，
∵A，B两点的坐标分别是(8,0)，(0,6)，
∴OA=8，OB=6，
∵点C在第一象限，
∴点C坐标为(8,6)，
故选：D．
根据矩形的性质可得，∠CAO=∠AOB=∠CBO=90°，AC=OB，CB=OA，根据点A和点B坐标可知OA=8，OB=6，进一步可得点C坐标．
本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：将一次函数y=2x−1的图象沿y轴向上平移4个单位长度，所得直线的解析式为y=2x−1+4.即y=2x+3．
故选：C．
根据函数图象上加下减的规律，可得答案．
本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：这10位评委评分的平均数是：80×1+85×2+90×5+95×21+2+5+2=89(分)．
故选：C．
根据加权平均数的计算方法列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ACD=∠EAB=70°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−70°=20°，
故选：A．
由平行四边的性质可知AB//CD，则结合已知条件可求出∠AEB的度数，进而可求出∠ABE的度数．
本题考查了平行四边形的性质以及垂直的定义，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AO=CO，AC⊥BD，BO=DO，AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC=4，
∴AO=2，AB=AC=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：DO=BO= AB2−AO2= 42−22=2 3，
∴BD=4 3，
∴菱形ABCD的面积S=12×AC×BD=12×4×4 3=8 3．
故选：B．
根据菱形的性质得出AB=BC，AO=CO，AC⊥BD，BO=DO，AD//BC，求出∠ABC=60°，求出△ABC是等边三角形，求出AB=4，根据勾股定理求出BO，求出BD，再求出菱形的面积即可．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=−(m2+1)x−1(m为常数)，k=−(m2+1)<0，
∴y随x的增大而减小，
∵−1<1<3，
∴y1>y2>y3，
即y3
根据一次函数的图象和性质进行判断即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握“一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，y随x的增大而增大，当k<0，y随x的增大而减小”是正确解答的前提．
11.【答案】D
【解析】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴AD=AB=8，∠DAB=90°，
∵点E在AB上且BE=2，
∴AE=6，
∴DE= AE2+AD2= 62+82=10，
∴△BFE的周长=10+2=12，
故选：D．
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案．
此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值，这是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：①根据一次函数定义：形如y=kx+b(k≠0)的函数为一次函数，
∴k−3≠0，
∴k≠3，
故①正确；
②∵y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，
∴无论k取什么值，函数图象必经过点(−1,3)，
故②正确；
③∵图象经过二、三、四象限，
∴k−3<0,k<0,
解不等式组得：k<0，
故③正确；
④令y=0时，则x=−kk−3，
∵函数图象与x轴的交点始终在正半轴，
∴−kk−3>0，
∴kk−3<0，
经分析知：
k>0,k−3<0,
解不等式组得：0
∴①②③④都正确，
故答案为D．
①根据一次函数定义即可求解；②y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，即可求解；③若图象经过二、三、四象限，则k−3<0，k<0，解关于k的不等式组即可；④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x>0.即可求解．
本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系．
13.【答案】14
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=3，
∴AB=CD=4，AD=BC=3，
∴四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2×(4+3)=14，
故答案为：14．
由平行四边形的性质可得AB=CD=4，AD=BC=3，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
14.【答案】120
【解析】解：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠D=180°−∠C=180°−60°=120°，
故答案为：120．
先证四边形ABCD是平行四边形，得AD//BC，再由平行线的性质得∠D+∠C=180°，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】7
【解析】解：(3+ 2)(3− 2)
=32−( 2)2
=9−2
=7．
故答案为：7．
根据平方差公式，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算方法，要熟练掌握，注意平方差公式的应用．
16.【答案】y=2x−2
【解析】解：直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为y=2(x−1)，
即y=2x−2．
故答案为y=2x−2．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】 5
【解析】解：∵( 5)2+22=5+4=9，32=9，
∴( 5)2+22=32，
∴三边长分别为 5，3，2的三角形是直角三角形，其中两条直角边为 5和2，
∴此三角形的面积=12× 5×2= 5，
故答案为： 5．
根据勾股定理的逆定理可得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
18.【答案】(− 2,2− 2)
【解析】解：∵一次函数y=x+2与坐标轴交于A、B两点，
y=x+2中，令x=0，则y=2；令y=0，则x=−2，
∴AO=BO=2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC=∠CPO=∠OAP=45°，
∴∠PCB+∠BPC=135°=∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB=∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
∠PBC=∠OAP∠PCB=∠OPAOP=PC，
∴△PCB≌△OPA(AAS)，
∴AO=BP=2，
∴Rt△BDP中，BD=PD=BP 2= 2，
∴OD=OB−BD=2− 2，
∵PD=BD= 2，
∴P(− 2,2− 2)，
故答案为：(− 2,2− 2).
先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，依据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，即可得到点P的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．
19.【答案】解：(Ⅰ) 12−9 13+ 75；
=2 3−3 3+5 3
=4 3；
(Ⅱ)( 2−1)2+2( 2−1)
=2−2 2+1+2 2−2
=1．
【解析】(1)先化简，再进行二次根式的加减法运算即可；
(2)先算完全平方，去括号，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：(1)AD⊥BC，理由如下：
∵AB=5，BD=3，AD=4，
∴BD2+AD2=32+42=52=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC；
(2)在Rt△ACD中，CD= AC2−AD2= (4 2)2−42=4，
∴BC=BD+CD=3+4=7，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×7×4=14．
故△ABC的面积是14．
【解析】(1)根据AB=5，BD=3，AD=4，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，从而求解；
(2)利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
21.【答案】50人 32
【解析】解：(Ⅰ)4÷8%=50(人)，
16÷50×100%=32%，即m=32，
故答案为：50人，32；
(Ⅱ)由条形统计图所表示的数据可得，x−=1×4+2×10+3×14+4×16+5×650=3.2，
∴这组数据的平均数是3.2；
∵在这组数据中，4出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为4；
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是3，有3+32=3，
∴这组数据的中位数为3；
答：平均数是3.2，众数是4，中位数是3．
(Ⅰ)从两个统计图可知，样本中拥有移动设备的台数是1台的学生有4人，占调查学生人数的8%，由频率=频数总数可求出调查人数，进而求出拥有移动设备的台数是4台的学生所占的百分比，确定m的值；
(Ⅱ)根据平均数、众数、中位数的计算方法进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
22.【答案】解：(Ⅰ)∵点A，B在该一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象上，
∴−2k+b=5,k+b=−1.
解得k=−2,b=1.
∴一次函数的解析式为y=−2x+1．
(Ⅱ)∵k=−2<0，∴该一次函数的函数值y随x的增大而减小，
当x=3时，y=−6+1=−5，
当x=−2时，y=4+1=5，
∴当−2≤x≤3时，该一次函数的函数值y的取值范围是−5≤y≤5．
【解析】(Ⅰ)将A，B两点的坐标代入一次函数的解析式中，得到关于k，b的二元一次方程组，解出即可．
(Ⅱ)根据函数图象的性质及函数的解析式求出x的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键要理解函数图象上点的坐标与函数图象的关系．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)由(1)得：△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE//DF，
∴四边形DEBF为平行四边形．
【解析】(1)由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
(2)由全等三角形的性质得出BE=DF，∠AEB=∠CFD，则∠BEF=∠DFE，得出BE//DF，可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】解：(Ⅰ)在甲商场购买400元的金额时，实际花费是0.8×400=320(元)；
故答案是：320；
(Ⅱ)y1=0.8x(x>0)．
当0
(Ⅲ)当x>500时，有y1=0.8x，y2=0.7x+60．
∴y1−y2=0.8x−(0.7x+60)=0.1x−60．
记y=0.1x−60，由0.1>0，有y随x的增大而增大．
又y=0时，得x=600，
∴当x=600时，顾客在两家商场购物的实际花费相同；
当x>600时，有y>0，即y1>y2，
∴顾客在乙商场购物的实际花费少；
当500
【解析】(Ⅰ)根据“甲商场按累计购物金额的80%收费“即可求解；
(Ⅱ)根据题意即可得出y1，y2关于x的函数解析式；
(Ⅲ)利用(Ⅱ)所得代数式，列方程或不等式求解即可．
本题考查一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式，进行求解．
25.【答案】解：(Ⅰ)将A(−3,0)，点B(0,6)代入y=kx+b得−3k+b=0b=6，
解得k=2b=6，
∴该直线的解析式y=2x+6；
(Ⅱ)①如图：
设C(0,m)，BC=|6−m|，
∵△ABC的面积是S=12⋅|6−m|×3=15，
∴|6−m|=10，
解得m=16或m=−4，
∴C的坐标为(0,16)或(0,−4)；
②当点C在y轴的负半轴上时，点C(0,−4)．
设点D的坐标为D(m,n)．
(ⅰ)如图，当四边形ABDC是平行四边形时，
有AC//BD，AC=BD．
由平移知，m=3，n=6−4=2．
此时点D的坐标为(3,2)．
(ⅱ)如图，当四边形ACBD是平行四边形时，
有AD//CB，AD=CB．
由平移知，m=−3，n=6−(−4)=10．
此时点D的坐标为(−3,10)．
(ⅲ)如图，当四边形ABCD是平行四边形时，
有AD//BC，AD=BC．
由平移知，m=−3，n=−4−6=−10．
此时点D的坐标为(−3,−10)．
综上，存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．点D的坐标为(3,2)或(−3,10)或(−3,−10)．
【解析】(Ⅰ)用待定系数法即可求解；
(Ⅱ)①设C(0,m)，BC=|6−m|，可得12⋅|6−m|×3=15，即可解得C的坐标；
(Ⅲ)设D(m,n)，分三种情况：(ⅰ)如图，当四边形ABDC是平行四边形时；(ⅱ)如图，当四边形ACBD是平行四边形时；(ⅲ)如图，当四边形ABCD是平行四边形时，分别求解即可．
本题是一次函数的综合题，考查待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等，利用平行四边形的性质解决问题是解题的关键．
2022-2023学年天津市红桥区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 2x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥−12 B. x≥12 C. x≤−12 D. x≤12
2. 下列计算中正确的是( )
A. 3+ 7= 10 B. 2× 3= 6
C. 8=4 2 D. (−2)2=−2
3. 有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的( )
A. 方差 B. 中位数 C. 众数 D. 平均数
4. 已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和4，则它的斜边的长为( )
A. 4 B. 2 3 C. 2 5 D. 20
5. 如图，四边形OACB是矩形，A，B两点的坐标分别是(8,0)，(0,6)，点C在第一象限，则点C的坐标为( )
A. (6,0)
B. (0,8)
C. (6,8)
D. (8,6)
6. 将一次函数y=2x−1的图象沿y轴向上平移4个单位长度，所得直线的解析式为( )
A. y=2x−5 B. y=2x−3 C. y=2x+3 D. y=2x+4
7. 在“争创美丽校园”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况如表所示：
评分(分)
80
85
90
95
评委人数
1
2
5
2
则这10位评委评分的平均数是( )
A. 85 B. 87.5 C. 89 D. 90
8. 如图，▱ABCD的对角线交于点O，∠ACD=70°，BE⊥AC，则∠ABE的大小为( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
9. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC=4，∠BAD=120°，则该菱形的面积是( )
A. 8
B. 8 3
C. 16
D. 16 3
10. 已知点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3,y3)在一次函数y=−(m2+1)x−1(m为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
12. 关于函数y=(k−3)x+k(k为常数)，有下列结论：
①当k≠3时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点(−1,3)；
③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k<0；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 在▱ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的周长等于______ ．
14. 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，若∠C=60°，则∠D的大小为______ (度)．
15. 计算(3+ 2)(3− 2)的结果等于______ ．
16. 将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为______ ．
17. 若一个三角形的三边长分别为 5，3，2，则此三角形的面积为______ ．
18. 如图，一次函数y=x+2与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是AB，OB上的点，且∠OPC=45°，PC=PO，则点P的坐标为______．
三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：
(Ⅰ) 12−9 13+ 75；
(Ⅱ)( 2−1)2+2( 2−1)．
20. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，已知AB=5，BD=3，AD=4，AC=4 2．
(1)判断AD与BC的位置关系．并说明利用；
(2)求三角形ABC的面积．
21. (本小题6.0分)
某校为了解学生家中拥有移动设备的情况，随机调查了部分学生家中拥有移动设备的数量.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为______ ，图①中m的值为______ ；
(Ⅱ)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数．
22. (本小题6.0分)
已知一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象经过点A(−2,5)，B(1,−1)．
(Ⅰ)求该一次函数的解析式；
(Ⅱ)当−2≤x≤3时，求该一次函数的函数值y的取值范围．
23. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF.连接BE，BF，DE，DF．
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形DEBF为平行四边形．
24. (本小题8.0分)
甲、乙两家商场以同样的价格出售相同的商品.“五一”节期间两家商场都举行让利酬宾活动.在甲商场按累计购物金额的80%收费；在乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按70%收费.设在同一商场累计购物金额为x元，其中x>0．
(Ⅰ)根据题意，填写下表：
累计购物金额/元
100
400
在甲商场实际花费/元
80
在乙商场实际花费/元
100
340
(Ⅱ)设在甲商场的实际花费为y1元，在乙商场的实际花费为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数解析式；
(Ⅲ)当x>500时，顾客在哪家商场购物的实际花费少？
25. (本小题8.0分)
已知直线y=kx+b(k,b为常数，k≠0)分别与x轴，y轴交于点A(−3,0)，点B(0,6)．
(Ⅰ)求该直线的解析式；
(Ⅱ)若点C是y轴上一点，且△ABC的面积S=15．
①求点C的坐标；
②当点C在y轴的负半轴上时，是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由二次根式有意义的条件可知，2x+1≥0，
即x≥−12，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握负数没有平方根是正确解答的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、 3与 7不能合并，故A不符合题意；
B、 2× 3= 6，故B符合题意；
C、 8=2 2，故C不符合题意；
D、 (−2)2=2，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了统计量的选择，弄清方差表示的意义是解本题的关键．
根据各自的定义判断即可．
【解答】
解：有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择统计量中的方差，
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：∵一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和4，
∴它的斜边的长= 22+42=2 5，
故选：C．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：在矩形OACB中，∠CAO=∠AOB=∠CBO=90°，AC=OB，CB=OA，
∵A，B两点的坐标分别是(8,0)，(0,6)，
∴OA=8，OB=6，
∵点C在第一象限，
∴点C坐标为(8,6)，
故选：D．
根据矩形的性质可得，∠CAO=∠AOB=∠CBO=90°，AC=OB，CB=OA，根据点A和点B坐标可知OA=8，OB=6，进一步可得点C坐标．
本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：将一次函数y=2x−1的图象沿y轴向上平移4个单位长度，所得直线的解析式为y=2x−1+4.即y=2x+3．
故选：C．
根据函数图象上加下减的规律，可得答案．
本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：这10位评委评分的平均数是：80×1+85×2+90×5+95×21+2+5+2=89(分)．
故选：C．
根据加权平均数的计算方法列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ACD=∠EAB=70°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−70°=20°，
故选：A．
由平行四边的性质可知AB//CD，则结合已知条件可求出∠AEB的度数，进而可求出∠ABE的度数．
本题考查了平行四边形的性质以及垂直的定义，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AO=CO，AC⊥BD，BO=DO，AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC=4，
∴AO=2，AB=AC=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：DO=BO= AB2−AO2= 42−22=2 3，
∴BD=4 3，
∴菱形ABCD的面积S=12×AC×BD=12×4×4 3=8 3．
故选：B．
根据菱形的性质得出AB=BC，AO=CO，AC⊥BD，BO=DO，AD//BC，求出∠ABC=60°，求出△ABC是等边三角形，求出AB=4，根据勾股定理求出BO，求出BD，再求出菱形的面积即可．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=−(m2+1)x−1(m为常数)，k=−(m2+1)<0，
∴y随x的增大而减小，
∵−1<1<3，
∴y1>y2>y3，
即y3
根据一次函数的图象和性质进行判断即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握“一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，y随x的增大而增大，当k<0，y随x的增大而减小”是正确解答的前提．
11.【答案】D
【解析】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴AD=AB=8，∠DAB=90°，
∵点E在AB上且BE=2，
∴AE=6，
∴DE= AE2+AD2= 62+82=10，
∴△BFE的周长=10+2=12，
故选：D．
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案．
此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值，这是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：①根据一次函数定义：形如y=kx+b(k≠0)的函数为一次函数，
∴k−3≠0，
∴k≠3，
故①正确；
②∵y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，
∴无论k取什么值，函数图象必经过点(−1,3)，
故②正确；
③∵图象经过二、三、四象限，
∴k−3<0,k<0,
解不等式组得：k<0，
故③正确；
④令y=0时，则x=−kk−3，
∵函数图象与x轴的交点始终在正半轴，
∴−kk−3>0，
∴kk−3<0，
经分析知：
k>0,k−3<0,
解不等式组得：0
∴①②③④都正确，
故答案为D．
①根据一次函数定义即可求解；②y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，即可求解；③若图象经过二、三、四象限，则k−3<0，k<0，解关于k的不等式组即可；④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x>0.即可求解．
本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系．
13.【答案】14
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=3，
∴AB=CD=4，AD=BC=3，
∴四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2×(4+3)=14，
故答案为：14．
由平行四边形的性质可得AB=CD=4，AD=BC=3，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
14.【答案】120
【解析】解：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠D=180°−∠C=180°−60°=120°，
故答案为：120．
先证四边形ABCD是平行四边形，得AD//BC，再由平行线的性质得∠D+∠C=180°，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】7
【解析】解：(3+ 2)(3− 2)
=32−( 2)2
=9−2
=7．
故答案为：7．
根据平方差公式，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算方法，要熟练掌握，注意平方差公式的应用．
16.【答案】y=2x−2
【解析】解：直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为y=2(x−1)，
即y=2x−2．
故答案为y=2x−2．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】 5
【解析】解：∵( 5)2+22=5+4=9，32=9，
∴( 5)2+22=32，
∴三边长分别为 5，3，2的三角形是直角三角形，其中两条直角边为 5和2，
∴此三角形的面积=12× 5×2= 5，
故答案为： 5．
根据勾股定理的逆定理可得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
18.【答案】(− 2,2− 2)
【解析】解：∵一次函数y=x+2与坐标轴交于A、B两点，
y=x+2中，令x=0，则y=2；令y=0，则x=−2，
∴AO=BO=2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC=∠CPO=∠OAP=45°，
∴∠PCB+∠BPC=135°=∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB=∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
∠PBC=∠OAP∠PCB=∠OPAOP=PC，
∴△PCB≌△OPA(AAS)，
∴AO=BP=2，
∴Rt△BDP中，BD=PD=BP 2= 2，
∴OD=OB−BD=2− 2，
∵PD=BD= 2，
∴P(− 2,2− 2)，
故答案为：(− 2,2− 2).
先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，依据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，即可得到点P的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．
19.【答案】解：(Ⅰ) 12−9 13+ 75；
=2 3−3 3+5 3
=4 3；
(Ⅱ)( 2−1)2+2( 2−1)
=2−2 2+1+2 2−2
=1．
【解析】(1)先化简，再进行二次根式的加减法运算即可；
(2)先算完全平方，去括号，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：(1)AD⊥BC，理由如下：
∵AB=5，BD=3，AD=4，
∴BD2+AD2=32+42=52=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC；
(2)在Rt△ACD中，CD= AC2−AD2= (4 2)2−42=4，
∴BC=BD+CD=3+4=7，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×7×4=14．
故△ABC的面积是14．
【解析】(1)根据AB=5，BD=3，AD=4，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，从而求解；
(2)利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
21.【答案】50人 32
【解析】解：(Ⅰ)4÷8%=50(人)，
16÷50×100%=32%，即m=32，
故答案为：50人，32；
(Ⅱ)由条形统计图所表示的数据可得，x−=1×4+2×10+3×14+4×16+5×650=3.2，
∴这组数据的平均数是3.2；
∵在这组数据中，4出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为4；
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是3，有3+32=3，
∴这组数据的中位数为3；
答：平均数是3.2，众数是4，中位数是3．
(Ⅰ)从两个统计图可知，样本中拥有移动设备的台数是1台的学生有4人，占调查学生人数的8%，由频率=频数总数可求出调查人数，进而求出拥有移动设备的台数是4台的学生所占的百分比，确定m的值；
(Ⅱ)根据平均数、众数、中位数的计算方法进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
22.【答案】解：(Ⅰ)∵点A，B在该一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象上，
∴−2k+b=5,k+b=−1.
解得k=−2,b=1.
∴一次函数的解析式为y=−2x+1．
(Ⅱ)∵k=−2<0，∴该一次函数的函数值y随x的增大而减小，
当x=3时，y=−6+1=−5，
当x=−2时，y=4+1=5，
∴当−2≤x≤3时，该一次函数的函数值y的取值范围是−5≤y≤5．
【解析】(Ⅰ)将A，B两点的坐标代入一次函数的解析式中，得到关于k，b的二元一次方程组，解出即可．
(Ⅱ)根据函数图象的性质及函数的解析式求出x的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键要理解函数图象上点的坐标与函数图象的关系．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)由(1)得：△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE//DF，
∴四边形DEBF为平行四边形．
【解析】(1)由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
(2)由全等三角形的性质得出BE=DF，∠AEB=∠CFD，则∠BEF=∠DFE，得出BE//DF，可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】解：(Ⅰ)在甲商场购买400元的金额时，实际花费是0.8×400=320(元)；
故答案是：320；
(Ⅱ)y1=0.8x(x>0)．
当0
(Ⅲ)当x>500时，有y1=0.8x，y2=0.7x+60．
∴y1−y2=0.8x−(0.7x+60)=0.1x−60．
记y=0.1x−60，由0.1>0，有y随x的增大而增大．
又y=0时，得x=600，
∴当x=600时，顾客在两家商场购物的实际花费相同；
当x>600时，有y>0，即y1>y2，
∴顾客在乙商场购物的实际花费少；
当500
【解析】(Ⅰ)根据“甲商场按累计购物金额的80%收费“即可求解；
(Ⅱ)根据题意即可得出y1，y2关于x的函数解析式；
(Ⅲ)利用(Ⅱ)所得代数式，列方程或不等式求解即可．
本题考查一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式，进行求解．
25.【答案】解：(Ⅰ)将A(−3,0)，点B(0,6)代入y=kx+b得−3k+b=0b=6，
解得k=2b=6，
∴该直线的解析式y=2x+6；
(Ⅱ)①如图：
设C(0,m)，BC=|6−m|，
∵△ABC的面积是S=12⋅|6−m|×3=15，
∴|6−m|=10，
解得m=16或m=−4，
∴C的坐标为(0,16)或(0,−4)；
②当点C在y轴的负半轴上时，点C(0,−4)．
设点D的坐标为D(m,n)．
(ⅰ)如图，当四边形ABDC是平行四边形时，
有AC//BD，AC=BD．
由平移知，m=3，n=6−4=2．
此时点D的坐标为(3,2)．
(ⅱ)如图，当四边形ACBD是平行四边形时，
有AD//CB，AD=CB．
由平移知，m=−3，n=6−(−4)=10．
此时点D的坐标为(−3,10)．
(ⅲ)如图，当四边形ABCD是平行四边形时，
有AD//BC，AD=BC．
由平移知，m=−3，n=−4−6=−10．
此时点D的坐标为(−3,−10)．
综上，存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．点D的坐标为(3,2)或(−3,10)或(−3,−10)．
【解析】(Ⅰ)用待定系数法即可求解；
(Ⅱ)①设C(0,m)，BC=|6−m|，可得12⋅|6−m|×3=15，即可解得C的坐标；
(Ⅲ)设D(m,n)，分三种情况：(ⅰ)如图，当四边形ABDC是平行四边形时；(ⅱ)如图，当四边形ACBD是平行四边形时；(ⅲ)如图，当四边形ABCD是平行四边形时，分别求解即可．
本题是一次函数的综合题，考查待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等，利用平行四边形的性质解决问题是解题的关键．
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