重庆市江北区字水中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市江北区字水中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（ ）
A. 6B. C. 7D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点，根据抛物线方程，求得其准线方程，再利用抛物线定义求解.
【详解】设点，
因为抛物线方程为x2=8y，
所以其准线方程为，
又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，
由抛物线的定义得：，
解得，
所以点P的纵坐标为6，
故选：A
2. 已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ）
A. 2B. －2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先将椭圆方程化为标准形式，再根据椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍求解.
【详解】将椭圆化为标准形式为 ，
因为椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，
所以，
解得，
故选：C．
3. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线方程求出直线的斜率，通过斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，求出α的范围．
【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，则 ，∴，即
∴倾斜角的取值范围是．
故选：D
【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查学生计算能力，属于基础题．
4. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得
所以第二天织布的尺数为.
故选：C
5. 等差数列中，若，则（ ）
A. 42B. 45C. 48D. 51
【答案】C
【解析】
【分析】结合等差数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意是等差数列，
，
.
故选：C
6. 已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用直线的斜率和倾斜角的对应关系列方程，求得的值.利用点差法求得的关系式，结合求得的值，进而求得椭圆方程.
【详解】∵，∴，令，，则，
∴，，∴，.故选A.
【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆标准方程的求法，以及有关点差法的运用.题目给出直线和椭圆相交所得所得弦的中点坐标，还有直线的倾斜角，这里可以根据焦点的坐标列方程求得的值.点差法主要用在有关直线和圆锥曲线相交，所得弦的中点有关的题目.属于中档题.
7. 数列满足：，，记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件求出数列的通项公式，再求数列的前项和为及其范围，再由条件恒成立求的取值范围.
【详解】因为，，所以数列为首项为，公差为1的等差数列，所以，所以，
所以数列的前项和为，
所以，又，所以，
因为恒成立，所以，
故实数的取值范围是，
故选：C.
8. 已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率.
【详解】由题意可知即为等腰三角形，

故锐角三角形，只需，
将代入可得，
故中，，，
则，化简整理，得，
∴，∴，
又，∴，
故选：B.
二、多选题
9. 已知圆C和直线及轴都相切，且过点，则该圆的方程是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AB
【解析】
【分析】首先设出圆的方程，根据直线与圆相切以及圆经过的点，列出等量关系即可求解.
【详解】由题意设所求圆的方程为，圆与轴相切，.
依据其他条件则有，解得或，所以该圆的方程为
或
故选：AB
10. 设等比数列的前项积为 并满足，，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. 当时，取最大值D. 当时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先根据题意得到，从而得到，所以，即等比数列为递减数列.对选项A，根据数列的单调性即可判断A错误，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，根据即可判断C正确，对选项D，根据，当时，，即可判断D正确.
【详解】，所以，即.
所以.
因为，所以，即等比数列为递减数列.
对选项A，因为为递减数列，所以，故A错误.
对选项B，因为，
因为，所以，即，故B正确.
对选项C，因为等比数列为递减数列，，
所以，，即当时，取最大值，故C正确.
对选项D，，
又因为，，
所以当时，，当时，，故D正确.
故选：BCD
11. 在三棱锥中， 四点分别为棱的中点，则以下表述正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量的数量积的运算律可判断A;判断四边形为平行四边形，可得，判断B;判断判断四边形为菱形可判断C;根据向量的定义可判断D.
【详解】对于A：即即，
两式相减得，即，故A正确；
对于B：连接，如图， 四点分别为棱的中点，
则，且，
则四边形为平行四边形，故，故B正确；
对于C：由可知，平行四边形为菱形，故，故C正确；
对于D：，两向量所在直线为平行四边形
对角线所在直线，两向量不共线，故，故D错误．
故选： ．
12. 已知双曲线：和点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上在第一象限内的点，点为的内心，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为25B.
C. D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A，设的内切圆的半径为，利用面积公式及双曲线的定义计算即可判断B，设在上的垂足为，根据切线长定理可得，即可得到的坐标，记渐近线的倾斜角为，则，记则，利用临界值求出，即可求出的取值范围，即可判断C，延长交于点，由角平分线定理得到，即可求出、，即可判断D；
【详解】解：因为双曲线：，所以，，，则、，双曲线的渐近线为，因为，所以，所以，当且仅当、、在同一直线且在之间时取等号，故A错误；
设的内切圆的半径为，则，故B正确；
设在上的垂足为，根据双曲线的定义及切线长定理可得，又，所以，所以，记渐近线的倾斜角为，则，记，则，当，即，解得，所以，则，所以，故C正确；
延长交于点，由解得，由角平分线定理可知，所以，又由角平分线定理知，过点作交、分别于点、点，则，所以，所以，因为，所以又，解得，所以，故D错误；
故选：BC
三、填空题
13. 点关于平面对称点是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据关于什么对称什么不变来得答案.
【详解】点关于平面对称点是
故答案为：
14. 在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ________ .
【答案】27
【解析】
【分析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案
【详解】设公比为，插入的三个数分别为，
因为，所以，得，
所以，
故答案为：27
15. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，A(t，1)是抛物线第一象限上的点，，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则_________．
【答案】40
【解析】
【分析】根据题意可得，，联立直线AF与抛物线的方程可求得点B的坐标，进而可求以及O到直线的距离．
【详解】∵，则
∴抛物线方程为
把A(t，1)代入抛物线方程得：且，则
∵,则直线AF的斜率
∴直线AF方程：即
联立方程，解得或
即，则
O到直线的距离
∴
故答案为：40．
16. 若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________
【答案】
【解析】
【详解】∵点(1，)在圆外，过点(1，)与圆相切的一条直线为x＝1，且直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1，设点P(1，)，连接OP，则OP⊥AB，∵kOP＝，∴kAB＝－2．又直线AB过点(1,0)，∴直线AB的方程为2x＋y－2＝0，∵点(0，b)在直线AB上，∴b＝2，又c＝1，∴a2＝5，故椭圆方程是＋＝1．
四、解答题
17. 在平面内，，，C为动点，若，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)代入法即可求得轨迹方程为圆.
(2)由直线l过点(1,2)在圆内即可得到弦长最小值.
【小问1详解】
设，，，
，
得.
【小问2详解】
，点（1，2）在圆内，当直线l为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直时，截得弦长CD最短，即，.
故最短弦长为.
18. 设数列满足，且．等差数列的公差d大于0．已知，且成等比数列．
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列得定义证明等于一个定值即可得证，从而可求得数列的通项，再利用累加法即可求出的通项公式；
（2）先求出数列的通项，再利用裂项相消法即可得出答案.
【小问1详解】
证明：因为，
所以，
又，
所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
则，
当则
，n=1成立
所以；
【小问2详解】
解：由，得，
又成等比数列，使用，
即，解得（舍去），
所以，
则，
所以.
19. 如图，直角梯形AEFB与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，，M为AD中点.
（1）证明：直线面DEF；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面平面ABCD，可得平面ABCD，连接BD，可得，以为原点，为轴，竖直向上为轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算与平面的法向量的数量积为0即可得证；
（2）分别计算出平面和平面的法向量，然后利用向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
证明：因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，且，
所以平面ABCD，连接BD，则为等边三角形，所以，
以为原点，为轴，竖直向上为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设为平面的法向量，
因为，则有， 取，
又因为，所以，
因为平面，所以平面；
【小问2详解】
解：分别设为平面和平面的法向量，
因为，则有，取，
因为，则有，取，
所以，由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
20. 设数列的前项和为，已知，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，是否存在正整数，使得对任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件有，根据等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求出及，进而可得，利用二次函数的性质即可求解的最小值，从而可得答案.
【小问1详解】
证明：因为，所以，又因为，所以，
所以数列是首项为2公比为2的等比数列；
【小问2详解】
解：由（1）知，，所以，所以，检验时也满足上式，所以,
所以，令，所以，
故当即时，取得最小值， 所以.
21. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，，点为棱上一点，且.
（1）若平面，求实数的值；
（2）若平面，求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，表达出，求出平面的法向量，从而，列出方程，求出；
（2）求出平面的法向量，结合第一问得到的，列出方程组，求出，从而利用线面角的正弦值求解公式得到答案.
【小问1详解】
因为底面，平面，
所以BC，AB，
又因为，
所以两两垂直，
以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，，，
所以，设，
故，解得：，
故，，
设平面的法向量为，
则，
令，解得：，
故，
由题意得：，即，
解得：；
【小问2详解】
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，
由于平面，所以，设，
即，解得：，
故，
由（1）得：平面的法向量为，
设直线和平面所成角的正弦值为，
故，
直线和平面所成角正弦值为.
22. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．
【答案】(1);
(2)证明见解析,定直线的方程为: x=1.
【解析】
【分析】(1) 由题意知:即可求出a,b即可;
(2) 由椭圆对称性知G在上,由特殊点求出x=1,再求出一般性也成立即可.
【详解】解:
(1)因为,所以c=1,
由题意知:,解得,
则椭圆的方程为:.
(2)由椭圆对称性知G在上,假设直线 l过椭圆上顶点,则,
则,而,
其交点,
所以G在定直线x=1上;
当M不在椭圆顶点时,设,
由,整理得:,
则,
当x=1时,,
得,
得,
得,
上式显然成立,