重庆市江北区字水中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市江北区字水中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求得双曲线的焦点和顶点坐标求解.
【详解】双曲线的焦点坐标为，
顶点坐标为，
由题意得：椭圆的焦点为，
顶点坐标为，
所以椭圆的方程是，
故选：C.
2. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入27贯，全年（按12个月计）共入660贯”，则该人1月的入贯数为（ ）
A. 11B. 10C. 12D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得：月收入构成等差数列，根据等差数列通项公式和前项和公式即可求得.
【详解】设每个月的收入为等差数列，公差为，则，
即 ，解得，所以该人1月的入贯数为11.
故选：A.
3. 下列说法：①数列，，，与数列，，，是同一数列；②数列，，，的一个通项公式为；③数列，，，没有通项公式；④数列是递增数列，其中正确的是（ ）
A. ①③B. ②④C. ②③D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列的定义、数列与函数的关系，逐项判断正确与否.
【详解】解：命题①：数列是一列有序的数，故数列，，，与数列，，，是同一数列是错误的；
命题②：数列，，，的一个通项公式为，显然当时，的值为，，，，故命题②是正确的；
命题③：数列，，，的通项公式为，故命题③是错误的；
命题④：在区间上是增函数，故数列是递增数列，故命题④是正确的.
故选：B.
【点睛】本题考查了数列的定义、通项公式、数列的单调性等，数列单调性常见的解法是作差，或者借助对应的连续型函数来研究单调性.
4. 已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可得与，进而可得，，的关系，可得解.
【详解】由已知得，
设点，由轴，
则，代入双曲线方程可得，
即，
又，所以，
即，
整理可得，
故，
解得或（舍），
故选：C.
5. 若椭圆上的点到直线的最短距离是，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出平行于直线且与椭圆相切的直线方程，再分情况求出的最小值即可.
【详解】设与直线平行的直线为，
把直线代入椭圆，得，
由，解得，
因为椭圆上点到直线的最短距离为，则这两条平行线之间的距离为，
当时，有，，则，
当时，有，，则，
所以的最小值为.
故选：C
6. 设是椭圆的左焦点,焦距为,为椭圆上任一点,已知点,的最大值为,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为,由,可知为椭圆外一点,设右焦点为,,结合已知,即可求得答案.
【详解】,
又
为椭圆外一点
设右焦点为,
为椭圆上任一点,
根据椭圆定义可得:
,
即
根据两点间距离公式可得:
,
解得:,
.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率,解题关键是掌握椭圆的定义和椭圆离心率的的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
7. 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是
A. (－∞，2)B. (－∞，3)C. (－∞，4)D. (－∞，5)
【答案】A
【解析】
【详解】，，
因为单调递减，所以，
所以，且，
所以只需，，且，
所以，故选A．
8. 已知椭圆，焦点，.过作倾斜角为的直线L交上半椭圆于点A，以(O为坐标原点)为邻边作平行四边形，点B恰好也在椭圆上，则
A. B. C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】设，，根据四边形为平行四边形可得，利用椭圆方程可得，利用，且直线的倾斜角为60°可得，，即可得，代入椭圆方程并结合可得，从而可得结果.
【详解】依题意可知，，设，
因为四边形为平行四边形，所以，
又，，
所以，
又，且直线的倾斜角为，
所以，
因为，，
所以，，，
所以，将其代入，
得➀
又，
所以②
所以联立①②解得，.
故选：B.
【点睛】本题以椭圆为背景，考查了椭圆的性质，考查了斜率公式，考查了运算求解能力，属于中档题.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（ ）
A. a6＞0B.
C. Sn＜0时，n的最小值为13D. 数列中的最小项为第六项
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据，即可得到，从而判断选项A；
根据，，a3＝12，，列出和的方程组，从而判断选项B；
根据，判断出，再结合，从而判断选项C；
根据题意得到当时，；当时，；当时，，从而可判断选项D.
【详解】因为，所以，
因为，所以，故选项A正确；
因为，，a3＝12，，
所以，解得，故选项B正确；
因为，，所以Sn＜0时，n的最小值为13，选项C正确；
根据题意知：当时，，当时，；
当时，，当时，，
所以当时，，当时，，当时，，
所以数列中的最小项为第六项显然错误.
故选：ABC.
10. 已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 与所成角的余弦值为D. 动点P的轨迹长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则，
所以，
由平面，得，即，
化简可得：，
所以动点P在直线上，
对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；
对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；
对于选项C：，C选项正确；
对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；
故选：BCD.
11. 已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（ ）
A. 椭圆焦距为B. 椭圆方程为
C. 弦长D.
【答案】BC
【解析】
【分析】直线过椭圆右焦点得可以判断A；由的周长为8得可以判断B；由直线方程与椭圆方程联立求出弦长可以判断C；求出原点到直线的距离可得可判断D.
【详解】因为的周长为8，所以，得，
因为过右焦点F2，所以，所以，
所以椭圆焦距为，故A错误；所以椭圆方程为，故B正确；
设，
由得，解得，
，故C正确；
原点到直线的距离为，
所以，故D错误.
故选：BC.

12. 已知正四棱柱，，，点为点中点，点为底面上的动点，下列四个结论中正确的为（ ）
A. 当且点位于底面的中心时，四棱锥外接球的表面积为
B. 当时，存在点满足
C. 当时，存在唯一的点满足
D. 当时，满足的点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，结合球的截面小圆性质求出球半径计算判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断B，C，D作答.
【详解】在正四棱柱中，取底面的中心H，即四边形ABCD外接圆圆心，连接PH，BH，如图，
四棱锥是正四棱锥，底面，，
显然四棱锥的外接球球心O在直线PH上，连BO，令球半径为R，则，
由得：，解得，
所以四棱锥外接球的表面积为，A正确；
在正四棱柱中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，当时，

则，延长至点，使，
连接交底面于点，连接，则点，
因平面，则线段被平面垂直平分，即有，，
，当且仅当点与重合时取等号，
因此，B不正确；
设，，
，
因，则当且仅当，即点时，成立，
所以存在唯一的点满足，C正确；
当时，，即，而，
因此点的轨迹是以点与点为端点的线段，其长度为，D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 过点的圆的切线方程为___________.
【答案】或.
【解析】
【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．
【详解】已知圆圆心坐标为，半径为，易知直线是圆的切线，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，切线方程为，即．
故答案为或．
14. 在正方体中,分别为的中点,为侧面的中心,则异面直线与所成角的余弦值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,以为坐标原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系算出和的坐标,即可求得答案.
【详解】如图,以为坐标原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,
不妨令
则,,,
故,
故异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了向量法异面直线夹角,解题关键是掌握向量法求异面直线夹角的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
15. 等差数列的前项之和为，若，，则______．
【答案】90
【解析】
【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出，再利用等差数列前项和公式计算作答.
【详解】由得：，整理得，由得：，整理得，
而，即，于是得，
所以.
故答案为：90
16. 对于实数表示不超过的最大整数，如.已知数列的通项公式，前项和为，则___________.
【答案】54
【解析】
【分析】由，利用裂项相消法求得，再由的定义求解.
【详解】由已知可得：，
，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，；；
所以.
故答案为：54.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，是双曲线的两个焦点，且.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点P在双曲线的右支上，且，求P的坐标.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用渐近线与直线垂直，推出，关系，结合焦点坐标，求解，，得到双曲线方程．
（2）设点，，则，通过，得，然后联立求解的坐标即可．
【详解】解析（1）双曲线的，由题意，
且，解得，
.
（2）设点，则，
有，
由，则，得，结合，，
得，故点或.
18. 已知数列满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式；
（2）分析可知应用错位相减法求数列的和．
【详解】（1）由知，数列是等差数列，
设其公差为，
则，
所以，
，
即数列的通项公式为．
（2），
，
，
两式相减得：，
整理得：，
所以．
19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面，
，，，又，平面．所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，．
由题设（）．
因为，
所以，所以．
[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，此时．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．
作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．
设，过作交于点G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
则，
所以，当时，．
[方法三]：投影法
如图，联结，
在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．
设，在中，．
在中，，过D作的平行线交于点Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．
20. 正项等差数列{an}满足a1＝4，且a2，a4+2，2a7﹣8成等比数列，{an}的前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，数列{bn}的前n项和Tn，求使的最大的n的值．
【答案】（1），（2）1345
【解析】
【分析】（1）设等差数列公差为（），由题意可得，求出，从而可䣇得通项公式，
（2）由（1）可求出，则可得，利用裂项求和求出，然后解方程可求得结果
【详解】（1）设等差数列的公差为（），则，
因为a2，a4+2，2a7﹣8成等比数列，
所以，即，
化简得，，解得或（舍去），
所以，
（2）由（1）得，
所以，
所以，
由，得，
，
得，，
因为为正整数，
所以的最大值为1345
21. 如图，在棱长为的正方体中，为中点．
（1）求二面角的大小；
（2）探究线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）点为线段上靠近点的三等分点
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出点的坐标，求出两个平面的法向量代入公式求解即可；
（2）假设存在，设，利用相等向量求出坐标，利用线面平行的向量法代入公式计算即可.
【小问1详解】
如下图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，．所以，
设平面的法向量，所以，即，
令，则，，所以，
连接，因为，，，平面，
平面，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
所以，
由图知，二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
【小问2详解】
假设在线段上存在点，使得平面，
设，，
，
因为平面，所以，即
所以，即解得
所以在线段上存在点，使得平面，
此时点为线段上靠近点的三等分点．
22. 已知双曲线的离心率为，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率为可得，然后算出，然后可求出答案；
（2）设，，联立消元，弦长公式算出，设，，联立得，同理，然后算出，然后可得，即可得到答案.
【小问1详解】
因为双曲线的离心率为，
则，，可得，
由已知，将代入，可得，
由，即，
所以，故双曲线的方程为；
【小问2详解】
依题意，设，，
由可得，
所以解得，且
所以，
设，，
由得，同理，
所以，
所以，其中，
因为，故的取值范围是