四川省乐山市峨眉第二中学2022-2023学年高二数学文科下学期期中试题（Word版附解析）

峨眉二中21级高二下半期考试文科数学试题

一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1. 设，是两个集合，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：若，对任意，则，又，则，所以，充分性得证，若，则对任意，有，从而，反之若，则，因此，必要性得证，因此应选充分必要条件．故选C．

考点：充分必要条件．

2. 曲线在点处的导数是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先利用公式对求导，在某点处的导数就是把该点横坐标代入导函数中，这里把代入即可.

【详解】解：因为，所以，

在点处的导数为.

故选：.

3. 下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入，则输出的为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】第1次执行循环体， ，不满足退出循环的条件；
第2次执行循环体， 不满足退出循环的条件；
第3次执行循环体， ，不满足退出循环的条件；
第4次执行循环体， ，满足退出循环的条件；
故输出的值为5．
故选D．

4. 某班共有52人，现根据学生学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(　　)

A. 10 B. 11 C. 12 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】由题计算出抽样的间距为13，由此得解．

【详解】由题可得，系统抽样的间距为13，

则在样本中．

故选D

【点睛】本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题．

5. 命题，，的否定应该是（    ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称命题的否定可得答案.

【详解】命题，，的否定是，，.

故选:C

6. 函数的单调递减区间为（    ）

A.  B.  C.  D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间.

【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减；

的减区间是；

故选：A.

7. 已知，．若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先解出，然后求出，，根据是的充分条件，得出关于的不等式即可求解.

【详解】

或，

或.

又因为是的充分条件，

所以，解之得.

故选：A

8. 已知函数 的导函数为，且满足，则 （   ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】求得函数的导数，令，即可求解.

【详解】由，可得，所以 ，则 .

故选：B.

9. 函数在处有极值为7，则

A. -3或3 B. 3或-9 C. 3 D. -3

【答案】C

【解析】

【分析】题意说明，，由此可求得

【详解】，

∴，解得或，

时，，当时，，当时，，是极小值点；

时，，不是极值点．

∴．

故选C．

【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点．

10. 函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.

详解】依题意可设，所以.

所以函数在上单调递增，又因为.

所以要使，即，只需要，故选B.

【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

11. 已知函数 有两个极值点，求的范围（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】原问题等价于导函数有2个零点，求导，参数分离，构造新函数，根据新函数的值域求解.

【详解】 ，有2个极值点等价于有2个零点，令 ，

有，令，则 ，

当时，单调递减，当时，单调递增， 在时，取得极大值也是最大值，

当x趋于时，趋于，当x趋于时，趋于0，函数大致图像如下图：

所以，a的取值范围是 ；

故选：B.

12. 已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.

【详解】设切点为，由可得，

所以在点处的切线的斜率为，

所以在点处的切线为：，

因为切线过点，所以，

即，即这个方程有三个不等根即可，

切线的条数即为直线与图象交点的个数，

设，

则

由可得，由可得：或，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，

的图象如下图，且，

要使与的图象有三个交点，则.

则的取值范围是:.

故选：A.

二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．

【答案】3

【解析】

【分析】根据命题得否命题、逆命题，逆否命题，再判断真假,(本题举反例说明为假命题)

【详解】若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.

【点睛】本题考查四种命题关系及其真假，考查简单应用以及判断能力.

14. 为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，三个年级学生人数之比依次为.已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为___________人.

【答案】360

【解析】

【分析】根据高一年级学生所占的比例，求出，得到高三年级抽取的人数．

【详解】由已知高一年级抽取的比例为，所以，得，

故高三年级抽取的人数为．

故答案为：360

15. 若函数有两个实根，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】参数分离，构造新函数，求解新函数的值域，运用几何解释求解.

【详解】，原问题等价于直线与曲线有2个交点，

，当时，单调递增，当时，单调递减，

在处，取得极小值也是最小值，，当时， ，

，当时，，当趋于时，趋于；

函数的大致图像如下：

所以，k的取值范围是 ；

故答案为：.

16. 若函数，则下列结论正确的有______．

①是周期函数        ②在 有4个零点

③在 上是增函数    ④的最小值为．

【答案】②③

【解析】

【分析】根据函数的对称性，单调性和周期性逐项分析.

【详解】对于①,不存在实数T，使得，不是周期函数，错误；

对于②， ，是偶函数，

区间关于原点对称，当时， ，令，

当时，解得，由对称性知：在内有4个零点，正确；

对于③，当时， ，当时，

是增函数，正确；

对于④，时， ，令 ，

当时，取得最小值，错误；

故答案为：②③.

三．解答题（共6小题，第17题10分，第18~22题每小题12分，共70分）

17. 某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．

（1）求的值；

（2）现用分层抽样在全校抽取48名学生，则高三年级抽取多少名？

【答案】（1）380；（2）12.

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件，根据分层抽样是等比抽样，即可求得；

（2）根据（1）中所求，求得高三年级人数，再根据抽样比即可求得结果.

【详解】（1）∵，∴．

（2）高三年级人数为：，

现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：

人．

18. 已知：存在，，：任意，．

（1）若为假命题，求实数的取值范围；

（2）若为真，为假，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）先求出、为真命题时的取值范围，为假命题，则、都为假命题，列不等式组求解即可.

（2）为真，为假，则、一真一假，分类讨论列不等组求解.

【小问1详解】

解：真：恒过，显然不成立，开口向下，

真：，解得

为假，则假假

【小问2详解】

，一真一假

假真则有，

真假则有

综上：或

19. 已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．

（Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

（Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

【答案】（I）；（II）.

【解析】

【详解】试题分析：（I）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得的取值范围.

试题解析：．

（Ⅰ）由题意得，解得．

（Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，

∴关于的方程有两个不相等的实数根，

∴即

∴

∴a的取值范围是

考点：导数的几何意义.

20. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．

（1）证明：AE⊥PB；

（2）当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）在等腰梯形ABCD中连接BD，结合已知条件可证BD⊥AE，由△ADE翻折后，根据线面垂直判定证AE⊥面POB，再由线面垂直的性质可证AE⊥PB；（2）由，点C到平面PAB的距离为以面为底的高，而即可求出C到平面PAB的距离.

【详解】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，

∵AB∥CE，AB＝CE，

∴四边形ABCE为平行四边形，

∴AE＝BC＝AD＝DE，

∴△ADE为等边三角形，

∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，BD⊥BC，

∴BD⊥AE.

如图，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，

又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，

∴AE⊥平面POB，

∵PB⊂平面POB，

∴AE⊥PB.

（2）当四棱锥P­ABCE的体积最大时，有平面PAE⊥平面ABCE；又面PAE∩面ABCE＝AE，PO⊂面PAE，PO⊥AE，

∴OP⊥平面ABCE.

∵OP＝OB＝，

∴PB＝，

∵AP＝AB＝1，

∴，

连接AC，则，

设点C到平面PAB的距离为d，

∵，

∴.

【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质证明异面直线垂直，应用等体积法求点面距，属于基础题.

21. 已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.

【解析】

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.

【详解】（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.

22. 已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：时，．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）先对求导，再对分类讨论即可得出函数的单调性；

（2）时，将所证不等式转化为，令，，分别根据导数求出的最小值和的最大值即可证明不等式.

【详解】解：（1），，

.

当时，，函数在上单调递减；

时，由，得，由，得，

此时函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）证明：时，要证，

即要证：，，

令，则，

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

可得时，函数取得最小值，.

令，，

当时，，此时为增函数，

当时，，此时为减函数，

所以时，函数取得最大值，.

与不同时取得，因此，即，.

故原不等式成立.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论方法、等价转化方法，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.