北师大版七年级数学下学期期末考试好题汇编 专题08 生活中的轴对称（原卷版）

这是一份北师大版七年级数学下学期期末考试好题汇编 专题08 生活中的轴对称（原卷版），共52页。试卷主要包含了轴对称图形的识别，轴对称的性质，利用轴对称设计图案，利用轴对称性质求最值，角平分线的相关计算，垂直平分线的相关计算，等腰三角形与等边三角形等内容，欢迎下载使用。

考向一、轴对称图形的识别
1．（2022·山东东营·七年级期末）2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东烟台·七年级期末）下列图形中，是轴对称图形有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
考向二、轴对称的性质
1．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．（2021·湖北恩施·七年级期末）将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形，若，则∠AED的大小是（ ）
A．61°B．62°C．63°D．64°
3．（2022·四川遂宁·七年级期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠1＝57°，∠2＝20°，∠3的度数_____度
4．（2021·内蒙古赤峰市·八年级期末）如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P1、P2，P1、P2分别交OA、OB于点C、D，，则△PCD的周长是_______．
5．（2022·山西大同·七年级期末）如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，分．
(1)求的度数．
(2)若，求的度数．
考向三、利用轴对称设计图案
1．（2021·广东梅州·七年级期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次轴对称变换后得到△，图中标出了点C的对应点．
(1)在给定方格纸中画出变换后的△；
(2)画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE．
2．（2022·山东淄博·七年级期末）已知图形是一个正方形，图形由三个图形构成．请用图形与合拼成一个轴对称图形，并把它画出来，请画出两个轴对称图形．
3．（2020·吉林吉林市·八年级期末）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．按下列要求画图：在图①、图②、图③中各画一个以格点为顶点的三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，并将所画三角形涂上阴影．(注：所画三角形不能重复)
考向四、利用轴对称性质求最值
1．（2021·甘肃白银·七年级期末）如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·江苏·景山中学七年级期末）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A．55°B．56°C．57°D．58°
3.（2021•邗江区校级期末）如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（ ）
A．3B．6C．3D．6
4．（2021·广东佛山·七年级期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1
（2）△ABC的面积是_____________．
（3）在DE上画出点P，使PB1＋PC最小．
5．（2021·山西临汾·七年级期末）如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹）
考向五、角平分线的相关计算
1．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·八年级期末）如图，是的平分线上一点，于点，是射线上一个动点，若，则的最小值为______．
2.（2020秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，3DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
3.（2020秋•松山区期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AE+DE＝3cm，那么AC等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
考向六、垂直平分线的相关计算
1．（2021·山西长治市·八年级期末）如图所示的是学校行知苑中亭子的顶部，将其顶部抽象成一个三角形，在中，DE是AC的垂直平分线，厘米，的周长等于13厘米，则的周长是_________．
2．（2021·江西赣州市·八年级期末）如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则的度数是________．
3．（2021·河南安阳市·八年级期末）如图，在中，，，DE垂直平分AC，交BC于点E，，则_______．
4.（2020秋•偃师市期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点
考向七、等腰三角形与等边三角形
1．（2021·安徽芜湖市·八年级期末）等腰三角形的两边，满足，则它的周长是（ ）
A．17B．13或17C．13D．19
2．（2021·广东八年级期末）如图，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，则下列结论正确的有（ ）
①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江湖州市·八年级期末）如图，在等腰三角形中，，，是的中点，于点，延长至点，使，连接，则的度数为________°.
1．（2021·山东烟台·七年级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东泰安·七年级期末）下列四个图形中，是轴对称图形的个数是（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（2021·湖南株洲·七年级期末）如图，是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1 号袋B．2 号袋C．3 号袋D．4 号袋
4．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，点P是内的一点，分别作点P关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则的周长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
5.（2020秋•腾冲市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在BC上，且BD＝AB，连接AD，则∠CAD等于（ ）
A．30°B．36°C．38°D．45°
6.（2020秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°
7.（2020秋•南安市期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°，则∠B的度数不可能是（ ）
A．80°B．60°C．50°D．20°
8.（2021•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
9.（2020春•南海区期末）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（2020秋•马鞍山期末）如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
11.（2020秋•中山市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．4B．6C．3D．12
12.（2019秋•永城市期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
13.（2020秋•承德县期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（ ）
A．6B．12C．32D．64
14.（2020秋•仓山区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AB边于点D，AC的垂直平分线交BC边于点N，AC边于点M，则∠NAE＝ 20° ．
15.（2020秋•丹徒区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是 16 ．
16．（2020秋•浦东新区期末）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ 40 °．
17．（2021·湖北武汉·七年级期末）如图，正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合，已知点E为正方形的边上一点，连接，将三角形沿折叠，点D落在点处，作平分．若，则的度数为____________
18．（2021·河南郑州·七年级期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；
（2）在直线l上找一点P，使得的周长最小；
（3）求的面积．
19．（2021·四川成都·七年级期末）在边长为的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图．
（1）在图中画出关于直线成轴对称的；
（2）求出的面积；
（3）在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积．
20.（2021•贵阳期末）如图，点P是△ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为 ．
21．（2021·内蒙古赤峰市·八年级期末）认真观察如图的四个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个特征
特征1： _____________；特征2： _______________．
（2）请在图中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
22．（2021·重庆万州·七年级期末）已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，
（1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MDOB(如图)，点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；
（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB=20，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．
23.（2020秋•丛台区校级期末）如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝ 20° ；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝ 70° ；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为 m＜17 ．
专题08 生活中的轴对称
考向一、轴对称图形的识别
考向二、轴对称的性质
考向三、利用轴对称设计图案
考向四、利用轴对称性质求最值
考向五、角平分线的相关计算
考向六、垂直平分线的相关计算
考向七、等腰三角形与等边三角形
考向一、轴对称图形的识别
1．（2022·山东东营·七年级期末）2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】
解：A、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
B、 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
C、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意；
D、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·七年级期末）下列图形中，是轴对称图形有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称，对各图形分析判断即可得解．
【详解】
解：根据轴对称的定义可以判断第一个和第二个图形是轴对称图形，故轴对称图形有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
考向二、轴对称的性质
1．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【解析】
【分析】
画出△ABC为轴对称图形时C点位置，解答即可．
【详解】
解：C点落在网格中的4个格点使△ABC为轴对称图形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．
2．（2021·湖北恩施·七年级期末）将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形，若，则∠AED的大小是（ ）
A．61°B．62°C．63°D．64°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质，得，根据补角的性质，通过计算即可得到答案．
【详解】
根据题意，得
∵
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称、补角的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解．
3．（2022·四川遂宁·七年级期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠1＝57°，∠2＝20°，∠3的度数_____度
【答案】23
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可知，，，然后对计算求解即可．
【详解】
解：由折叠的性质可知，，，
∵，
∴，
故答案为：23°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，角的计算．解题的关键在于找出角度的数量关系．
4．（2021·内蒙古赤峰市·八年级期末）如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P1、P2，P1、P2分别交OA、OB于点C、D，，则△PCD的周长是_______．
【答案】20cm
【分析】根据轴对称的性质可得PC=P1C，PD=P2D，从而求出△PCD的周长等于P1P2，从而得解．
【详解】解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，∴OA垂直平分PP1, OB垂直平分PP2
∴PC=P1C，PD=P2D，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=P1P2=20cm．故答案为：20cm．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟记性质得到相等的边是解题的关键．
5．（2022·山西大同·七年级期末）如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，分．
(1)求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)90°
(2)30°
【解析】
【分析】
（1）由翻折的性质可知，所以，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差关系解答即可；
（2）由，再根据解答即可．
(1)
由翻折的性质可知，
所以，
又因为平分，
所以，
因为，
所以；
(2)
因为
所以，
因为，
所以
【点睛】
本题考查了角的计算，主要利用翻折变换的性质、角平分线的定义，熟记知识点是解题的关键．
考向三、利用轴对称设计图案
1．（2021·广东梅州·七年级期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次轴对称变换后得到△，图中标出了点C的对应点．
(1)在给定方格纸中画出变换后的△；
(2)画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接CC′，线段CC′的垂直平分线即为对称轴，作出A，B的对应点A′，B′即可．
（2）根据三角形中线，高的定义画出图形即可．
(1)
如图，△'即为所求作；
(2)
如图，线段BD，AE即为所求作．
【点睛】
本题考查作图-轴对称变换知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2022·山东淄博·七年级期末）已知图形是一个正方形，图形由三个图形构成．请用图形与合拼成一个轴对称图形，并把它画出来，请画出两个轴对称图形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据轴对称的定义解答．
【详解】
解：如图所示，（答案不唯一）．

【点睛】
本题考查轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，熟练地掌握概念是解决问题的关键．
3．（2020·吉林吉林市·八年级期末）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．按下列要求画图：在图①、图②、图③中各画一个以格点为顶点的三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，并将所画三角形涂上阴影．(注：所画三角形不能重复)
【答案】见解析
【分析】可分别选折不同的直线当对称轴，得到相关图形即可．
【详解】图①以正方形左上到右下对角线所在直线为对称轴；②以正方形左右两边中间格点所在直线为对称轴；③以正方形左下到右上对角线所在直线为对称轴；④以正方形左右两边中间格点与下边两格点组成线段中点所在直线为对称轴；⑤以正方形上下两边中间格点所在直线为对称轴；
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质，选择不同的直线当对称轴是解题的关键．
考向四、利用轴对称性质求最值
1．（2021·甘肃白银·七年级期末）如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】
解：作点A关于直线的对称点，连接交直线 于一点，
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
故选：D
【点睛】
本题考查了最短问题、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．（2021·江苏·景山中学七年级期末）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A．55°B．56°C．57°D．58°
【答案】B
【解析】
【分析】
作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可．
【详解】
解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH，
则AM=MG，AN=NH，
∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，
由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，
∵∠BAE=152°，
∴∠G+∠H=28°，
∵AM=MG，AN=NH，
∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN，
∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键．
3.（2021•邗江区校级期末）如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（ ）
A．3B．6C．3D．6
【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可．
【答案】解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2
与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
△PMN的最小周长为PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长，
连结OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6，
又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6．故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置．
4．（2021·广东佛山·七年级期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1
（2）△ABC的面积是_____________．
（3）在DE上画出点P，使PB1＋PC最小．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据分割法把三角形面积转化为矩形面积减去三个三角形．
（3）直接连接CB1，与y轴的交点就是点P．
【详解】
解：（1）如图，的△A1B1C1即为所求．
（2）△ABC的面积＝2×3−，
故答案为：；
（3）如图，点P即为所求．
【点睛】
本题考查作图−轴对称变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，正确作出图形，属于中考常考题型．
5．（2021·山西临汾·七年级期末）如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹）
【答案】见解析．
【解析】
【分析】
直接利用轴对称求最短路线方法得出天然气站的位置．
【详解】
如图所示：首先作出A点关于汾河边L的对称点A′，再连接A′B，A′B与汾河边L的交点处就是P处，即天然气站位置．
．
【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图，在直线L上的同侧有两个点A，B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
考向五、角平分线的相关计算
1．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·八年级期末）如图，是的平分线上一点，于点，是射线上一个动点，若，则的最小值为______．
【答案】8
【分析】根据角平分线的性质定理解答．
【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ最小，
∵P是∠MON角平分线上的一点，PA⊥ON，PQ⊥OM，∴PQ=PA=8，故答案为：8．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2.（2020秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，3DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE＝CD，求出CD的长，再根据点到直线的距离的定义得出即可．
【解析】过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵AC＝8，3DC＝AD，
∴CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到AB的距离是2，
故选：C．
3.（2020秋•松山区期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AE+DE＝3cm，那么AC等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【分析】利用角平分线的性质可得DE＝EC，然后再利用线段的和差关系可得答案．
【解析】∵BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，
∴DE＝EC，
∵AE+DE＝3（cm），
∴AE+EC＝3（cm），
即：AC＝3cm，
故选：B．
考向六、垂直平分线的相关计算
1．（2021·山西长治市·八年级期末）如图所示的是学校行知苑中亭子的顶部，将其顶部抽象成一个三角形，在中，DE是AC的垂直平分线，厘米，的周长等于13厘米，则的周长是_________．
【答案】18厘米．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据△ABD的周长得出AB+BC=13厘米，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，
∵△ABD的周长等于13厘米，∴AD+BD+AB=CD+BD+AB=13厘米，即AB+BC=13厘米，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+5=18（厘米），故答案为：18厘米．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．（2021·江西赣州市·八年级期末）如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则的度数是________．
【答案】15°
【分析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠ABD=∠A，然后求∠DBC的度数即可．
【详解】∵AB=AC，∠A=50∘， ∴ ∠ABC=(180∘−∠A)=(180∘−50∘)=65∘，
∵MN垂直平分线AB，∴AD=BD，∴ ∠ABD=∠A=50∘， ∴ ∠DBC=∠ABC−∠ABD=65∘−50∘=15∘.
故答案为:15∘.
【点睛】考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键.
3．（2021·河南安阳市·八年级期末）如图，在中，，，DE垂直平分AC，交BC于点E，，则_______．
【答案】4
【分析】根据垂直平分线性质，知AE=CE=8，从而求得∠AEB＝30°，利用直角三角形中，30°角对边等于斜边的一半求解即可.
【详解】解：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE=8，∴∠C＝∠CAE＝15°，
∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∴∠AEB＝30°，∵∠ABC＝90°，AE=8，∴AB=，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角和定理，直角三角形中，30°角对边等于斜边的一半，灵活运用上述知识是解题的关键.
4.（2020秋•偃师市期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【解析】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．
故选：D．
考向七、等腰三角形与等边三角形
1．（2021·安徽芜湖市·八年级期末）等腰三角形的两边，满足，则它的周长是（ ）
A．17B．13或17C．13D．19
【答案】A
【分析】根据绝对值和二次根式的性质求出a，b，再根据等腰三角形的性质判断即可；
【详解】∵，∴，解得，
∵a，b是等腰三角形的两边，
∴当为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系，此时三角形的周长；
当为腰时，三边为3，3，7，由于＜7，故不符合三角形的三边关系；
∴三角形的周长为17．故答案选A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．
2．（2021·广东八年级期末）如图，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，则下列结论正确的有（ ）
①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，可得出∠ABC＝∠ACB，再利用等角对等边可得出AB＝AC，可判断①；由∠A＝∠A，AB＝AC及∠ABE＝∠ACD，可证出△ABE≌△ACD（ASA），再利用全等三角形的性质可得出AD＝AE，CD＝BE，可判断②④；由AB＝AC，AD＝AE，可得出BD＝CE可判断③即可．
【详解】解：∵∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，∴∠ABE+∠EBC＝∠ACD+∠DCB，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，结论①正确；
在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD＝AE，CD＝BE，结论②④正确；∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解决问题．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．
4．（2021·浙江湖州市·八年级期末）如图，在等腰三角形中，，，是的中点，于点，延长至点，使，连接，则的度数为________°.
【答案】70
【分析】由，，是的中点，求解证明 再求解 证明 从而可得答案．
【详解】解： ，，是的中点，

,
，， 故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义与性质，掌握以上知识是解题的关键．
1．（2021·山东烟台·七年级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故该项符合题意；
B、是轴对称图形，故该项不符合题意；
C、是轴对称图形，故该项不符合题意；
D、是轴对称图形，故该项不符合题意；
故选：A
【点睛】
此题考查轴对称图形的概念，对于轴对称图形的判断问题，应严格把握定义中的对折、重合两个方面；对于轴对称图形的概念要从以下几个方面正确理解：轴对称图形中至少有一条对称轴；对称轴两旁的部分是指同一图形的两部分，而不是两个图形；这个图形在对称轴两侧的部分能够完全重合．
2．（2022·山东泰安·七年级期末）下列四个图形中，是轴对称图形的个数是（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用轴对称图形的定义判断得出即可．
【详解】
解：第一个是轴对称图形，符合题意；
第二个是轴对称图形，符合题意；
第三个是轴对称图形，符合题意；
第四个不是轴对称图形，不符合题意；
故是轴对称图形的个数是三个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿着对称轴折叠后可重合．
3．（2021·湖南株洲·七年级期末）如图，是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1 号袋B．2 号袋C．3 号袋D．4 号袋
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】
解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
故选C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．
4．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，点P是内的一点，分别作点P关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则的周长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．
【详解】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴P1M＝PM，P2N＝PN，
△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，∵P1P2=15，∴△PMN的周长为15．故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质，关键在于巧妙的将周长转换成一条线段．
5.（2020秋•腾冲市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在BC上，且BD＝AB，连接AD，则∠CAD等于（ ）
A．30°B．36°C．38°D．45°
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B，∠BAD，然后根据∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B（180°﹣∠BAC）（180°﹣108°）＝36°，
∵BD＝AB，
∴∠BAD（180°﹣∠B）（180°﹣36°）＝72°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝108°﹣72°＝36°．
故选：B．
6.（2020秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°
【分析】根据AB＝AD＝DC，∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，再根据三角形外角的性质得出∠AED＝β+γ，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得结论．
【解析】∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
7.（2020秋•南安市期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°，则∠B的度数不可能是（ ）
A．80°B．60°C．50°D．20°
【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数即可确定正确的选项．
【解析】当∠A为顶角，
∴∠B50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°，
故选：B．
8.（2021•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，∴×4•CE＝8，∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
9.（2020春•南海区期末）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】作DE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DP＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ODQ．
【解析】作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DP＝4，
∴S△ODQ3×4＝6．
故选：D．
10．（2020秋•马鞍山期末）如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
【分析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，利用角平分线的性质得到PD＝PE＝PF，再利用三角形面积公式得到S1•AB•PD，S2•BC•PF，S3•AC•PE，然后根据三角形三边的关系求解．
【解析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1•AB•PD，S2•BC•PF，S3•AC•PE，
∴S2+S3•（AC+BC）•PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
11.（2020秋•中山市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．4B．6C．3D．12
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝6，即可得出选项．
【解析】∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝6，
∴DP的最小值是6，
故选：B．
12.（2019秋•永城市期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】由平角的性质可得∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，将∠1+∠2＝120°代入可求解．
【解析】如图，
∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，
∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝60°，
故选：B．
13.（2020秋•承德县期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（ ）
A．6B．12C．32D．64
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得到A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A732，再根据勾股定理即可解答．
【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2＝2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A732，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7＝90°，
∴B6B732．
故选：C．
14.（2020秋•仓山区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AB边于点D，AC的垂直平分线交BC边于点N，AC边于点M，则∠NAE＝ 20° ．
【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质得到EA＝EB，NA＝NC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，通过计算得到答案．
【解析】∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，
∴∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，
＝100°﹣80°
＝20°，
故答案为：20°．
15.（2020秋•丹徒区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是 16 ．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC10，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，
故答案为：16．
16．（2020秋•浦东新区期末）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ 40 °．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解析】∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°，
故答案为：40．
17．（2021·湖北武汉·七年级期末）如图，正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合，已知点E为正方形的边上一点，连接，将三角形沿折叠，点D落在点处，作平分．若，则的度数为____________
【答案】或
【解析】
【分析】
设，由折叠的性质可得，分两种情况，①当点在AC的下方时，②当点在AC的上方时，由角的关系分别求解即可．
【详解】
解：设，
∵正方形ABCD的四个角都为90°，若沿AC折叠，则点D会与点B重合，
∴，
①当点在AC的下方时，如图1所示：
则，
∴，
∵AF平分
∴
∵
∴，解得；
②当点在AC的上方时，如图2所示：
则，
∵AF平分
∴
∵
∴，解得；
综上所述，的度数为或
故答案为：或
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、分类讨论等知识，熟练掌握翻折变换的性质和角平分线的性质是解题的关键．
18．（2021·河南郑州·七年级期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；
（2）在直线l上找一点P，使得的周长最小；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据轴对称的性质分别作出点A，B，C的对应点即可；
（2）连接，则与轴的交点即为所求；
（3）运用分割法即矩形的面积减去周围三个小三角形的面积即为所求．
【详解】
（1）如图，即所求
（2）如图，点P即所求
（3）
.
【点睛】
本题考查了轴对称－作图，能够准确作出对称图形是解此题的关键．
19．（2021·四川成都·七年级期末）在边长为的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图．
（1）在图中画出关于直线成轴对称的；
（2）求出的面积；
（3）在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积．
【答案】（1）见详解；（2）8；（3）图见详解
【解析】
【分析】
（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点即可；
（2）利用分割法把三角形面积看成长方形面积减去周围三个三角形面积即可；
（3）过点B作AC的平行线交直线m于点P，点P即为所求．
【详解】
解：（1）如图，即为所求；
（2）连接，，
；
（3）过点B作AC的平行线交直线m于点P，则点P即为所求，如图示．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形、三角形面积及等高模型等知识，解题的关键是学会利用等高模型解决面积问题．
20.（2021•贵阳期末）如图，点P是△ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为 ．
【分析】利用轴对称图形的性质得出PE＝EP1，PD＝DP2，进而利用DE＝4cm，得出P1D的长，即可得出P1P2的长．
【答案】解：∵点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，∴PE＝EP1，PD＝DP2，
∵PE＝2.5cm，PD＝3cm，DE＝4cm，∴P2D＝3cm，EP1＝2.5cm，
即DP1＝DE﹣EP1＝4﹣2.5＝1.5（cm），则线段P1P2的长为：P1D+DP2＝1.5+3＝4.5（cm）．故答案为4.5．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PE＝EP1，PD＝DP2是解题关键．
21．（2021·内蒙古赤峰市·八年级期末）认真观察如图的四个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个特征
特征1： _____________；特征2： _______________．
（2）请在图中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
【答案】（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：阴影部分的面积都相等；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；
（2）应画出既是中心对称图形，又是轴对称图形，且面积为4的图形；
【详解】解：（1）特征1：都是轴对称图形；
特征2：阴影部分的面积都相等（其他特征只要正确即可）
（2）如：以下几种均符合题意（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，解答本题需要我们熟练掌握轴对称的定义，难度一般．
22．（2021·重庆万州·七年级期末）已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，
（1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MDOB(如图)，点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；
（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB=20，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．
【答案】（1）∠MCN =2∠MEN，理由见解析；（2）∠OPM+∠OQN．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质以及平行线的性质得到∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4，利用三角形的外角性质得到2∠2+∠MCN=2∠O①和∠2+∠MCN =∠O+∠MEN②，计算可得∠MCN =2∠MEN；
（2）过作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连接M1N1交OA于点Q，交OB于点P，根据轴对称的性质得到PM+PQ+NQ的最小值为M1N1，利用轴对称的性质和三角形的外角性质即可计算得到∠OPM+∠OQN．
【详解】
解：（1）∠MCN =2∠MEN，理由如下：
如图，
∵NE是∠MNC的平分线，MDOB，∠O=∠OMN，
∴∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4，
在△OMN中，∠MNB=∠O+∠OMN，
∴∠1+∠2+∠MCN=2∠O，即2∠2+∠MCN=2∠O①，
又∠3=∠2+∠MCN =∠4+∠MEN，即∠2+∠MCN =∠O+∠MEN②，
由①②得：∠MCN =2∠MEN；
（2）如图，过作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连接M1N1交OA于点Q，交OB于点P，
∴PM+PQ+NQ=PM1+PQ+QN1，
由两点之间，线段最短，可得PM+PQ+NQ的最小值为M1N1，
由对称的性质，知：∠MPO=∠M1PO，∠NQA=∠N1QA，
设∠OQP=，∠ONQ=，
由对顶角的性质得∠MPO=∠M1PO=∠QPN，∠NQA=∠N1QA=∠OQP=，
在△OQN中，∠NQA=∠O+∠ONQ，即，
在△OPQ中，∠QPN =∠O+∠OQP，即∠OPM，
∠OQN=180°-∠NQA=180°，
∴∠OPM+∠OQN=160°．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路径问题，平行线的性质，角平分线的定义，掌握轴对称-最短路径的确定方法是解题的关键．
23.（2020秋•丛台区校级期末）如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝ 20° ；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝ 70° ；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为 m＜17 ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AN＝CN，根据三角形内角和定理计算即可；
（3）根据三角形的周长公式得到△AEN的周长＝BC，根据三角形的三边关系、勾股定理计算，得到答案．
【解析】（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝20°；
（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
∵∠ADF＝∠AMF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；
（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，
当∠BAC＝90°时，BC，
在△ABC中，AB＝8，AC＝9，
∴BC＜9+8，
∴m＜17．
故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）m＜17．