2023-2024学年云南省昆明市五华区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省昆明市五华区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. x−9=0B. x2+6x+5=0C. y=x2−1D. x2−2x−3
3.二次函数y=−(x−1)2+3的图象的顶点坐标是( )
A. (−1,3)B. (1,3)C. (−1,−3)D. (1,−3)
4.下列说法正确的是( )
A. “随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是必然事件
B. “画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件
C. “二氧化碳能使澄清石灰水变浑浊”是不可能事件
D. “短跑运动员1秒跑完100米”是随机事件
5.一元二次方程x2−4x+4=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
6.以下生活现象中，属于旋转变换得是( )
A. 钟表的指针和钟摆的运动B. 站在电梯上的人的运动
C. 坐在火车上睡觉D. 地下水位线逐年下降
7.把抛物线y=2x2−1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为( )
A. y=2(x+1)2−3B. y=2(x+1)2+1
C. y=2(x−1)2+1D. y=2(x−1)2−3
8.AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是( )
A. 25°
B. 35°
C. 15°
D. 20°
9.一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是( )
A. 24cm2B. 6 3cm2C. 12 3cm2D. 8 3cm2
10.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=34°，则∠AEO的度数是( )
A. 51°B. 56°C. 68°D. 78°
11.如图，P是⊙O外一点，射线PA、PB分别切⊙O于点A、点B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点D、点C，若PB=4，则△PCD的周长( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
12.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A. x(x+1)=28B. 12x(x−1)=28C. x(x−1)=28D. x(x−1)=28
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
13.若点A(−3,4)关于原点对称的点是点B，则点B的坐标为______ ．
14.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB=8，OD=3，那么⊙O的半径为______ ．
15.关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是1，则另一个根是______ ．
16.要制作一个高为8cm，底面圆直径是12cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是______ cm2．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：
(1)3(x−2)2=27；
(2)x2+2x−3=0．
18.(本小题7分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．
(1)请画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长.(结果保留根号和π)．
19.(本小题6分)
某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：
(1)求每次下降的百分率；
(2)若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？
20.(本小题6分)
如图，四边形OABC是平行四边形，AB=1，以点O为圆心，OC长为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D.求图中阴影部分的面积．
21.(本小题7分)
一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
(Ⅰ)请用列表法(或画树状图法)列出所有可能的结果；
(Ⅱ)求两次取出的小球标号相同的概率；
(Ⅲ)求两次取出的小球标号的和大于6的概率．
22.(本小题7分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点D是AC的中点，点E是AB延长线上的一点，连接CE，∠E=∠ADB．
(1)求证：CE是⊙O的切线，
(2)若∠ADB=60°，AD=4 2，求BC的长．
23.(本小题8分)
在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的关系式为：y=−30x+600．
(1)按照上述市场调查的销售规律，写出销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数解析式；
(2)为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元；
(3)若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润．
24.(本小题9分)
如图，抛物线y=−12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(−1,0)，C(0,2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求△BDC的面积；
(3)线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；
B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意；
C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是方程，不符合题意．
故选：B．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3.【答案】B
【解析】解：二次函数y=−(x−1)2+3为顶点式，其顶点坐标为(1,3)．
故选B．
根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
4.【答案】B
【解析】解：A、“随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是随机事件，故原说法不正确，不合题意；
B、“画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件，故原说法正确，符合题意；
C、“二氧化碳能使澄清石灰水变浑浊”是必然事件，故原说法不正确，不合题意；
D、“短跑运动员1秒跑完100米”是不可能事件，故原说法不正确，不合题意．
故选：B．
直接利用随机事件以及必然事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，进而分析得出答案．
此题主要考查了随机事件以及必然事件，正确把握相关定义是解题关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出Δ=0.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负情况确定方程解的个数是关键．
将方程的系数代入根的判别式中，得出Δ=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．
【解答】
解：在方程x2−4x+4=0中，Δ=(−4)2−4×1×4=0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选B．
6.【答案】A
【解析】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选：A．
根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定作圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象．
7.【答案】D
【解析】解：抛物线y=2x2−1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为y=2(x−1)2−1−2，即y=2(x−1)2−3，
故选：D．
直接根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠CAB=25°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=25°，
故选：A．
根据直径得出∠ACB=90°，进而得出∠CAB=25°，进而解答即可．
本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵正六边形内接于半径为2cm的圆内，
∴正六边形的半径为2cm，
∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a=2cm；
∴正六边形的面积S=6×12×2×2sin60°=6 3cm2．
故选B．
根据正六边形的边长等于半径进行解答即可．
本题考查的是正六边形的性质，熟知正六边形的边长等于半径是解答此题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了弧与圆心角的关系，考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，属于基础题．
由题可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】
解：∵BC=CD=DE，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°−∠EOD−∠COD−∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=12×(180°−78°)=51°．
故选A．
11.【答案】C
【解析】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=4，BC=EC，AD=ED，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+BC+PD+AD=PB+PA=4+4=8，
即△PCD的周长为8，
故选：C．
由切线长定理可求得PA=PB，BC=CE，AD=ED，则可求得答案．
本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA=PB、BC=CE和AD=ED是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：12x(x−1)=4×7．
故选：B．
关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
13.【答案】(3,−4)
【解析】解：∵点A(−3,−4)关于原点对称点为点B，
∴点B的坐标为(3,−4)．
故答案为：(3,−4)．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题是解题关键．
14.【答案】5
【解析】解：连接OB，
∵OC⊥AB于点D，AB=8，
∴BD=12AB=4，
在Rt△BOD中，
∵OB2=OD2+BD2
=32+42
=25，
∴OB=5，
故答案为：5．
连接OB，先根据垂径定理求出BD的长，在Rt△BOD中根据勾股定理求解即可．
本题考查的是垂径定理，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15.【答案】−2
【解析】解：设另一个根为m，
∵关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是1，
∴1+m=−1，
解得m=−2，
故答案为：−2．
设另一个根为m，根据根与系数的关系可得1+m=−1，进一步求解即可．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
16.【答案】60π
【解析】解：圆锥的半径为12÷2=6cm，高为8cm，
∴圆锥的母线长为10cm．
∴所需纸板的面积为π×6×10=60πcm2．
易得圆锥的底面半径是6，那么利用勾股定理可得圆锥的母线长为10，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．
考查圆锥的侧面展开图公式；用到的知识点为：圆锥的底面半径，母线长，高组成直角三角形，可利用勾股定理求解．
17.【答案】解：(1)3(x−2)2=27；
(x−2)2=9，
x−2=±3，
x−2=3或x−2=−3，
x1=5，x2=−1；
(2)x2+2x−3=0，
(x+3)(x−1)=0，
x+3=0或x−1=0，
x1=−3，x2=1．
【解析】(1)两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(2)分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开方法和因式分解法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图；

(2)A2的坐标(4,0)；
(3)路径长=90×π× 13180= 132π，
答：路径长为 132π．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可；
(3)利用弧长公式l=nπ⋅r180求解即可．
本题考查作图−旋转变换，轴对称变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换的性质，记住弧长公式．
19.【答案】解：(1)设每次下降的百分率为x，
依题意，得：2500(1−x)2=1600，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)．
答：每次下降的百分率为20%．
(2)1600×(1−20%)=1280(元)．
答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元．
【解析】(1)设每次下降的百分率为x，根据该种品牌手机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之，再根据实际情况取值即可得出结论；
(2)根据该种品牌手机9月份的售价=该种品牌手机8月份的售价×(1−下降率)，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】解：连接OB，如图所示：

∵⊙O与AB相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵四边形OABC为平行四边形，且AB=1，
∴OC=AB=1，
即⊙O的半径为1，
∴OB=1，
∴OB=AB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴S△OAB=12AB⋅OB=12×1×1=12，S扇形OBD=45π×12360=π8，
∴S阴影=S△OAB−S扇形OBD=12−π8=4−π8．
【解析】连接OB，根据切线的性质得∠ABO=90°，再根据平行四边形的性质得OC=AB=1，进而得OB=AB=1，则△OAB为等腰直角三角形，由此得∠AOB=45°，然后分别求出△OAB的面积，扇形OBD的面积，进而可得阴影部分的面积．
此题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，扇形的面积，理解切线的性质，熟练掌握平行四边形的性质，扇形的面积计算公式是解决问题的关键．
21.【答案】解：(Ⅰ)画树状图得：
(Ⅱ)∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球的标号相同的有4种情况，
∴两次取出的小球标号相同的概率为416=14；
(Ⅲ)∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于6的有3种结果，
∴两次取出的小球标号的和大于6的概率为316．
【解析】(Ⅰ)根据题意可画出树状图，由树状图即可求得所有可能的结果．
(Ⅱ)根据树状图，即可求得两次取出的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
(Ⅲ)根据树状图，即可求得两次取出的小球标号的和大于6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：如图，

∵AB=AB，
∴∠ADB=∠ACB，
∵∠E=∠ADB，
∴∠E=∠ACB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠E=90°，
∴∠ACE=90°，即：AC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线，
(2)解：连接DO，
∵点D是AC的中点，AC是⊙O的直径，
∴AD=CD，
∴∠AOD=90°，AD=4 2，
在Rt△AOD中，设AO=DO=x，
由勾股定理可得：AD2=AO2+DO2，(4 2)2=x2+x2，
解得：x=4，
∴AC=2AO=8，
∵∠ACB=∠ADB=60°，∠ABC=90°，
∴∠CAB=30°，则有BC=12AC=12×8=4，
故BC的长为4．
【解析】(1)首先根据等量代换得到∠E=∠ACB，然后根据同角的余角相等得到∠ACE=90°，进而证明即可；
(2)连接DO，首先根据点D是AC的中点得到∠AOD=90°，然后根据勾股定理求出AC=2AO=8，最后利用30°角直角三角形的性质求解即可．
此题考查了切线的证明，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23.【答案】解：(1)由题意可得，w=(x−6)(−30x+600)=−30x2+780x−3600，
∴函数解析式为w=−30x2+780x−3600；
(2)由(1)得销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数解析式为y=−30x2+780x−3600
当获利为1200元时，−30x2+780x−3600=1200，
解得：x1=16或x2=10，
答：为了方便顾客，售价定10元时可获利1200元．
(3)
∵w=−30x2+780x−3600=−30(x−13)2+1470，
∵a=−30<0，
∴图象开口向下，
∴当x=−13时，w有最大值，最大值为1470．
即：当售价定为13元时，获得的利润最大，最大利润为1470元．
【解析】(1)根据题意可知销售利润等于销售成本减去进货成本，从而可以得到销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数解析式，
(2)由(1)得利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数解析式，进而可以求得为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元；
(3)根据题意可以列出相应的不等式，将w关于x的函数化为顶点式，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24.【答案】解：(1)抛物线y=−12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A(−1,0)，C(0,2)．
∴−12−m+n=0n=2，
解得：m=32n=2，
故抛物线解析式为：y=−12x2+32x+2；
(2)∵A(−1,0)，C(0,2)，
∴OA=1，OC=2，
∵对称轴为x=32，
∴OD=32，AD=BD，
∴AD=OA+OD=1+32=52，
∴BD=52，
∴S△BDC=12BD×OC=12×52×2=52；
(3)令y=0，则−12x2+32x+2=0，
解得x1=−1，x2=4，
∴B(4,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入得：
4k+b=0b=2，
解得k=−12b=2，
∴直线BC的解析式为y=−12x+2，
设P(m,−12m+2)，则Q(m,−12m2+32m+2)，
则PQ=(−12m2+32m+2)−(−12m+2)=−12m2+2m=−12(m−2)2+2，
此时PQ的最大值为2．
【解析】(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
(2)分别求得BD、OC，然后利用三角形面积计算公式解答即可；
(3)根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，设P(m,−12m+2)；则Q(m,−12m2+32m+2)，进而表示出PQ的长度，利用二次函数的最值求出即可．
此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的解析式和二次函数的最值问题，求得解析式是解题关键．