2023-2024学年云南省文山州九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省文山州九年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知一元二次方程x2−2x+1=0，则它的二次项系数为( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
2.下列四个几何体中，主视图与俯视图相同的是( )
A. B. C. D.
3.二次函数y=(x−2)2−3的图象的顶点坐标是( )
A. (2,3)B. (−2,−3)C. (2,−3)D. (−2,3)
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.若CD=4，则AB的长为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
5.关于反比例函数y=−12x，下列说法正确的是( )
A. 图象关于原点中心对称B. 图象分别在一、三象限
C. 图象经过点(2,6)D. y随x的增大而增大
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，下列说法错误的是( )
A. 四边形ABCD是平行四边形
B. 若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
C. 若AC=BD，四边形ABCD是矩形
D. 若∠ABC=90°，四边形ABCD是正方形
7.下列是按一定规律排列的一组数：12，16，112，120，…，则第n个数是( )
A. 12nB. 1n2C. 1n(n+1)D. 1n(n−1)
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB等于( )
A. 34B. 45C. 74D. 35
9.在一个不透明的盒子里装有白球和红球共25个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有( )
A. 25个B. 20个C. 10个D. 5个
10.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( )
A. 23(1−x)2=18.63B. 18.63(1+x)2=23
C. 18.63(1−x)2=23D. 23(1−2x)=18.63
11.《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺.别立一表，长一尺五寸，影得五寸.问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于15尺，另外再有一根标杆，杆长1.5尺，量得标杆的影子为0.5尺，则木杆的长为( )
A. 5尺B. 15尺C. 30尺D. 45尺
12.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1,0)，则下列结论中，不正确的是( )
A. AB=4
B. b2−4ac>0
C. ab<0
D. a−b+c<0
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
13.若(a−1)x2+1=0是一元二次方程，则a的取值范围是______ ．
14.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE/​/BC，若DEBC=23，则S△ADES△ABC= ______ ．
15.如图，点A位于第一象限内，且在反比例函数y=kx(k为常数)的图象上，AB⊥y轴于点B，△AOB的面积为2，则k= ______ ．
16.将边长为6的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，则线段B′D的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(−1)2024+ 12−(π−1)0+(−12)−2−2cs30°．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且AD⋅AC=AE⋅AB．
求证：△ADE∽△ABC．
19.(本小题7分)
在多元智能理论的指导下，为了培养学生学习数学的浓厚兴趣，了解数学学科价值，营造良好的校园数学文化氛围，学校数学学科周活动正式启动，下表是第三周数学学科周研究课题记录：
根据以上测量数据，计算旗杆AB的高度.(结果保留根号)
20.(本小题7分)
太阳发出的光经过三棱镜折射后，可以形成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫等色光组成的光带，这是光的色散现象，说明太阳发出的白光是由不同色光组成的.自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”.在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏，如图所示是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘2次，记下两次指针指向的区域(若指针指向扇形分界线，则需要重新转动)，如果转出的两种颜色分别是红色和蓝色，则可以配成紫色．
(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)求转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率．
21.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x−2与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点A(2,n)，在第三象限交于点B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式2x−222.(本小题7分)
北国购物商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元；为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？利润是多少？
23.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是菱形，AB=10，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
(1)若EF=BD，求证：四边形EBFD是矩形；
(2)若EF⊥CD于点H，且CHDH=23，求线段OH的长．
24.(本小题8分)
已知抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为2，对称轴为直线x=1，M(m,t)与N(n,t)都在抛物线上，且m>n，MN=d．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：d2+2mn+2m2n+mn2−3m−3n=−1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：一元二次方程x2−2x+1=0的二次项系数为1．
故选：A．
根据二次项系数的定义解决问题．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的一般式．
2.【答案】B
【解析】解：A、圆柱体主视图是长方形，俯视图是圆，选项不符合题意；
B、球体主视图、俯视图都是圆，选项符合题意；
C、圆锥体主视图是三角形，俯视图是圆，故不符合题意；
D、三棱柱的主视图与俯视图是矩形和三角形，故不符合题意．
故选：B．
根据主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形解答即可．
此题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3.【答案】C
【解析】解：y=(x−2)2−3，
∴二次函数y=(x−2)2−3的图象的顶点坐标为(2,−3)，
故选：C．
根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=12AB．
∴AB=2CD=2×4=8．
故选：D．
根据直角三角形的性质(直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半)解决此题．
本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=−12x，
∴当x=2时，y=−6，即点(2,−6)在它的图象上，故选项C不正确；
它的图象在第二、四象限，故选项B不正确；
它的图象关于原点中心对称，故选项A正确；
在每个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，故选项D不正确；
故选：A．
利用反比例函数的性质解答．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6.【答案】D
【解析】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项A不符合题意；
B、若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、若AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、若∠ABC=90°，则平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及正方形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题知，
12=11×2；
16=12×3；
112=13×4；
120=14×5；
…，
所以第n个数为1n(n+1)．
故选：C．
根据所给数，发现分母的变化规律即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能根据所给的数发现分母的变化规律是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴sinB=ACAB=35，
故选：D．
根据锐角三角函数的正弦定义进行解答即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切定义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，
∴袋中白球约有25×0.4=10(个)，
故选：C．
根据题意和题目中的数据可知白球出现的频率为0.25，从而可以计算出白球的个数．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10.【答案】A
【解析】解：根据题意得：23(1−x)2=18.63．
故选：A．
利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价×(1−该款汽车这两月售价的月平均降价率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：设竹竿的长度为x尺，
∴x15=1.50.5，
解得x=45，
故选：D．
根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1,0)，
∴A(−3,0)，
∴AB=1−(−3)=4，所以选项A正确，不合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，所以选项B正确，不合题意；
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a>0，
∴ab>0，所以选项C不正确，符合题意；
∵x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，所以D正确，不合题意．
故选：C．
用抛物线的对称性可确定A点坐标为(−3,0)，则可对选项A进行判断；利用根的判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对选项B进行判断；由抛物线开口向下得到a>0，再利用对称轴方程得到b=2a>0，则可对选项C进行判断；利用x=−1时，y<0，即a−b+c<0和a>0可对选项D进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
13.【答案】a≠1
【解析】解：∵(a−1)x2+1=0是一元二次方程，
∴a−1≠0，
∴a≠1．
故答案为：a≠1．
根据一元二次方程的定义得出a−1≠0，再求出答案即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出a−1≠0是解此题的关键．
14.【答案】49
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
而DEBC=23，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=49．
故答案为：49．
首先证明△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质即可求解．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用面积比和相似比的关系．
15.【答案】4
【解析】解：设点A的坐标为(x,y)，
∴AB=x，OB=y，
∴S△AOB=12AB⋅OB=12xy=2，
∴xy=4，
即k=4，
故答案为：4．
设点A的坐标为(x,y)，根据三角形的面积和反比例函数的几何意义求出k的值．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质．
16.【答案】6
【解析】解：如图，∵将边长为6的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，
∴∠BAB′=30°，AD=AB′，
∴∠DAB′=∠DAB−∠BAB′=90°−30°=60°，
∴△ADB′为等边三角形，
∴B′D=AD=6．
故答案为：6．
首先根据旋转的性质可以得到∠BAB′=30°，然后利用已知条件可以证明△ADB′为等边三角形即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了正方形的性质，解题的关键是根据旋转的性质确定△ADB′为等边三角形．
17.【答案】解：(−1)2024+ 12−(π−1)0+(−12)−2−2cs30°
=1+2 3−1+4−2× 32
=1+2 3−1+4− 3
=4+ 3．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18.【答案】证明：∵AD⋅AC=AE⋅AB，
∴ADAB=AEAC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
【解析】由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
19.【答案】解：设AB=x m，
∵∠ADC=45°，∠B=90°，
∴∠BAD=45°，
∴AB=CD=x m，
∵CD=6m，
∴BC=(x−6)m，
在直角三角形ABC中，∵tan60°=ABBC=xx−6= 3，
∴x=9+3 3，
∴AB=(9+3 3)m，
答：计算旗杆AB的高度为(9+3 3)m．
【解析】设AB=x m，易证△ABC为等腰直角三角形，则BD=AB=x m，CD已知，进而可表示出BC的长，在直角三角形ABC中利用60°的正切值即可建立方程，解方程求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，通过设未知数列方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)列表如下：
由表格可知，共有9种等可能的结果．
(2)由表格可知，转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果有2种，
∴转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率为29．
【解析】(1)根据题意直接列表即可．
(2)由表格可得出所有等可能的结果数以及转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵直线y=2x−2与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点A(2,n)，
∴n=4−2=2，
∴k=2n=2×2=4，
∴此反比例函数的解析式为：y=4x；
(2)解y=2x−2y=4x得x=2y=2或x=−1y=−4，
∴B(−1,−4)，
由函数图象可知，当0∴不等式2x−2【解析】(1)根据点A(2,n)在直线y=2x−2上求出n的值即可得出反比例函数的解析式；
(2)联立方程求得B的坐标，然后直接根据两函数的图象即可得出不等式2x−2本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意分别求出点A、B的坐标是解答此题的关键．
22.【答案】解：(1)设每件衬衫应降价x元，根据题意，
得：(40−x)(20+2x)=1200，
解得：x=10或x=20，
∵商场要尽快减少库存，
∴x=20，
答：每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价20元；
(2)设每套降价x元，商场平均每天赢利y元，
则y=(40−x)(20+2x)=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250，
当x=15时，y有最大值为1250元，
答：当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多．
【解析】(1)根据：每件的实际利润×降价后的销售量=每天利润，列出方程解方程，再结合题意取舍可得；
(2)根据：每件的实际利润×降价后的销售量=每天利润，列出函数关系式，配方成二次函数顶点式，结合函数性质可得最值情况．
本题主要考查二次函数的实际应用能力，准确抓住题目中的相等关系列出方程或函数关系式是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△EAO和△FCO中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△EAO≌△FCO(ASA)，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF=BD，
∴四边形EBFD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COH+∠DOH=90°，
∵EF⊥CD，
∴∠COH+∠OCH=90°，
∴∠OCH=∠DOH，
∴△OCH∽△DOH，
∴CHOH=OHHD，
∴OH2=CH⋅HD，
∵CHDH=23，CD=10，CH+DH=10．
∴CH=4，DH=6，
∴OH= CH⋅HD=2 6．
【解析】(1)根据菱形的性质，得AO=OC，AD//BC，则∠EAO=∠FCO；根据全等三角形的判定得△EAO≌△FCO(ASA)得OE=OF，根据平行四边形的判定，矩形的判定即可得到结论；
(2)根据菱形的性质，AC⊥BD，则∠COH+∠DOH=90°，根据EF⊥CD，得∠COH+∠OCH=90°，根据等量代换∠OCH=∠DOH，根据相似三角形的判定得△OCH∽△DOH；根据相似三角形的性质得到OH2=CH⋅HD，求出CH=4，DH=6，即可得到答案．
本题考查了菱形的性质、矩形得判定、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质
24.【答案】解：(1)抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为2，对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点为(0,0)，(2,0)，
∴抛物线的解析式为y=x(x−2)，即y=x2−2x；
(2)∵M(m,t)与N(n,t)都在抛物线上，且m>n，MN=d．
∴m+n2=1，m−n=d，
∴m+n=2，
∴d2+2mn+2m2n+mn2−3m−3n
=(m−n)2+2mn+2mn(m+n)−3(m+n)
=m2+n2+2mn(m+n)−3(m+n)
=(m+n)2−2mn+2(m+n)(mn−3)
=4−2mn+22(mn−3)
=6−2mn2mn−6
=−1．
【解析】(1)根据题意求得抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点为(0,0)，(2,0)，利用交点式即可求得抛物线的解析式；
(2)由M(m,t)与N(n,t)都在抛物线上，且m>n，MN=d，得到m+n2=1，m−n=d，则m+n=2，代入d2+2mn+2m2n+mn2−3m−3n=(m−n)2+2mn+2mn(m+n)−3(m+n)=(m+n)2−2mn+2(m+n)(mn−3)即可证得结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．研究课题
利用三角函数测量旗杆的高度
研学人员
九年级数学兴趣小组
测量工具
卷尺、角度测量仪
测量步骤
①在旗杆的正前方标记一点C，在C处测得旗杆顶端A的仰角为60°；
②继续往前走6m到达点D；
③在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°；
(A、B、C、D在同一平面内，B、C、D在同一水平线上)
模型图
红
绿
蓝
红
(红，红)
(红，绿)
(红，蓝)
绿
(绿，红)
(绿，绿)
(绿，蓝)
蓝
(蓝，红)
(蓝，绿)
(蓝，蓝)