专题1.3 直线的交点坐标与距离公式（6类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc29381" 【考点1：两条直线的交点坐标】 PAGEREF _Tc29381 \h 1
\l "_Tc18602" 【考点2：方程组解的个数与两直线的位置关系】 PAGEREF _Tc18602 \h 3
\l "_Tc25467" 【考点3：两点间的距离公式】 PAGEREF _Tc25467 \h 5
\l "_Tc8117" 【考点4：点到直线的距离公式】 PAGEREF _Tc8117 \h 6
\l "_Tc12591" 【考点5：两条平行直线间的距离】 PAGEREF _Tc12591 \h 8
\l "_Tc9480" 【考点6：点、直线间的对称问题】 PAGEREF _Tc9480 \h 11
【考点1：两条直线的交点坐标】
【知识点：两条直线的交点坐标】
1．（2023春•儋州校级期中）直线2x+3y﹣k＝0和直线x﹣ky+12＝0的交点在x轴上，则k的值为（ ）
A．﹣24B．24C．6D．±6
2．（2022春•儋州校级期中）直线l经过原点，且经过直线2x+3y+8＝0和x﹣y﹣1＝0的交点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y＝0B．2x﹣y＝0C．x+2y＝0D．x﹣2y＝0
3．（2022春•云县期中）已知直线l1：ax+y+1＝0与l2：2x﹣by﹣1＝0相交于点M（1，1），则a+b＝ ．
4．（2022春•儋州校级期中）已知直线5x+4y＝2a+1与直线2x+3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是 ．
5．（2021秋•保定期末）已知直线l1：x﹣3y﹣2＝0，l2：3x﹣2y+1＝0，设直线l1，l2的交点为P．
（1）求P的坐标；
（2）若直线l过点P且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【考点2：方程组解的个数与两直线的位置关系】
【知识点：方程组解的个数与两直线的位置关系】
1．（2018秋•应县校级期中）直线2x﹣y+k＝0与4x﹣2y+1＝0的位置关系是（ ）
A．平行B．不平行
C．平行或重合D．既不平行也不重合
2．（2021•浦东新区校级开学）当m≠±1时，方程组mx+y=m+1x+my=2m的解的情况为（ ）
A．仅有唯一解B．有唯一解或无穷多解
C．无解或无穷多解D．有唯一解或无解
（多选）3．（2020春•鼓楼区校级期中）两直线（m+2）x﹣y+m＝0，x+y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
4．（2018秋•金山区期末）已知关于x、y的方程组mx+4y=2x+y=1有唯一解，则实数m的取值范围是 ．
5．（2019•闵行区校级开学）关于x，y的二元一次方程组mx+y=−13mx−my=2m+3无解，则m＝
【考点3：两点间的距离公式】
【知识点：两点间的距离公式】
1．（2022春•疏勒县校级期末）已知点A（2，4），B（5，4），那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8B．6C．3D．0
2．（2022春•吉林期末）已知平面直角坐标系中两个点坐标M（2，5），N（4，9），点P是M，N中点，则|MP→|=（ ）
A．3B．5C．7D．3
3．（2022春•高台县校级月考）在△ABC中，已知A（4，1）、B（7，5）、C（﹣4，7），则BC边的中线AD的长是（ ）
A．25B．35C．525D．725
【考点4：点到直线的距离公式】
【知识点：点到直线的距离公式】
1．（2022春•疏勒县校级期末）点（﹣1，1）到直线4x+2y﹣3＝0的距离为（ ）
A．52B．5C．455D．4
2．（2022•太和县校级开学）已知直线l过原点O，且点A（1，0），B（3，2）到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣y＝0B．x﹣2y＝0
C．x+y＝0或x+2y＝0D．x﹣y＝0或x﹣2y＝0
3．（2022春•凉州区校级期末）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2B．3C．32D．4
4．（2022春•金山区期中）已知A（﹣3，﹣2），B（﹣1，4）到直线l：x+ay+1＝0的距离相等，则实数a为 ．
5．（2021秋•邯郸期末）点A（3，﹣2）到直线l：kx﹣y+2＝0的最大距离为 ．
6．（2022春•巴宜区校级期末）已知直线l经过直线2x+y﹣5＝0与x﹣2y＝0的交点P，且斜率为2．
（1）求直线l的方程；
（2）求点A（5，0）到直线l的距离．
7．（2022春•疏勒县校级期末）求点P到下列直线l的距离：
（1）P（1，﹣2），l：3x+4y﹣10＝0；
（2）若点（2，﹣m）到直线5x+12y+6＝0的距离是4，求m的值．
【考点5：两条平行直线间的距离】
【知识点：两条平行直线间的距离】
1．（2022春•汉中期中）直线l1：x﹣2y﹣3＝0与l2：﹣3x+6y﹣1＝0之间的距离为（ ）
A．455B．253C．4515D．5
2．（2022•泸县校级模拟）已知直线l1：（3+2λ）x+（4+λ）y+（﹣2+2λ）＝0（λ∈R），l2：x+y﹣2＝0，若l1∥l2，则l1与l2间的距离为（ ）
A．22B．2C．2D．22
3．（2021秋•东莞市期末）已知梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l．若AB和CD所在直线的方程分别是3x+4y﹣6＝0与3x+4y+9＝0，则直线l与CD所在直线的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022春•杨浦区校级期中）若直线l1：ax+2y+a﹣1＝0与直线l2：2x+ay+3﹣a＝0平行，则l1与l2之间的距离为 ．
5．（2021秋•龙门县校级月考）已知两条平行直线L1：x+2y+3＝0，L2：3x+by+c＝0间的距离为5，则b+c＝ ．
6．（2022春•杨浦区校级期中）设m∈R，已知直线l1：（m+1）x+my+2﹣m＝0，过点（1，2）作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 ．
7．（2022春•金山区期中）已知直线l1：ax+y+2＝0．
（1）若直线l1在x轴上的截距为﹣2，求实数a的值；
（2）直线l1与直线l2：2x﹣y+1＝0平行，求l1与l2之间的距离．
8．（2022春•崇明区校级期中）设常数a∈R，已知直线l1：（a+2）x+y+1＝0，l2：3x+ay+（4a﹣3）＝0．
（1）若l1⊥l2，求a的值；
（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离．
9．（2021春•黔东南州期末）已知斜率存在的两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．
（1）若l1与l2距离为4，求两直线的方程；
（2）若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
【考点6：点、直线间的对称问题】
【知识点：点、直线间的对称问题】
1．（2022•宝鸡模拟）直线3x﹣2y＝0关于点（13，0）对称的直线方程（ ）
A．2x﹣3y＝0B．3x﹣2y﹣2＝0C．x﹣y＝0D．2x﹣3y﹣2＝0
2．（2021秋•深圳期末）将一张坐标纸折叠一次，使点（2，0）与（﹣6，8）重合，求折痕所在直线是（ ）
A．x﹣y﹣6＝0B．x+y+6＝0C．x+y﹣6＝0D．x﹣y+6＝0
3．（2021秋•番禺区期末）直线3x﹣4y+5＝0关于x轴对称的直线方程为（ ）
A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0
4．（2021秋•无锡期末）在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x﹣y+1＝0的对称点为（ ）
A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（1，3）D．（3，1）
5．（2022春•长安区校级期末）直线l1：x+y﹣1＝0关于直线l2：3x﹣y﹣3＝0的对称直线的方程为 ．
6．（2022春•黄浦区校级月考）一条光线经过点A（3，5）射到直线x+y+1＝0上，被反射后经过点B（2，1），则入射光线所在直线的方程为 ．
7．（2021秋•银川校级期末）直线x﹣2y﹣3＝0关于定点M（﹣2，1）对称的直线方程是 ．
8．（2022春•自贡期末）在平面直角坐标系中，直线l过点A（1，2）．
（1）若直线l的倾斜角为π4，求直线l的方程；
（2）直线m：y＝2x+b，若直线m与直线l关于直线x＝1对称，求b的值与直线l的方程．
9．（2021秋•南山区校级期中）已知A（2，﹣3），直线l：x﹣y+1＝0．
（1）直线l关于点A的对称直线l1的方程；
（2）若光线沿直线2x﹣y﹣3＝0照射到直线l上后反射，求反射光线所在的直线l2的方程．
10．（2021秋•简阳市 校级期中）已知直线l：2x﹣y+1＝0，点A（3，0）．
（1）求点A关于直线l：2x﹣y+1＝0的对称点；
（2）求直线l：2x﹣y+1＝0，关于点A的对称直线m的方程．类型
条件
距离公式
两点间的距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
类型
条件
距离公式
点到直线的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
类型
条件
距离公式
两条平行直线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
点关于点对称
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解
直线关于点对称
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程
点关于直线对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)
直线关于直线对称
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解