北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 组合第二课时课时作业

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 组合第二课时课时作业，共6页。

例1 现有10名学生，男生6人，女生4人．
(1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？
(2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？
(3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？
方法归纳
解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．
跟踪训练1 (1)有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有( )
A．70个 B．80个 C．82个 D．84个
(2)若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
题型二 有限制条件的组合问题
角度1 “至多”与“至少”问题
例2 (1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多一张，不同取法的种数为( )
A．232 B．252 C．472 D．484
(2)现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查，至少有1件是次品的抽法有________种．
方法归纳
“至多”“至少”问题的常用解题方法有两种：(1)直接分类法，注意分类要细、要全；(2)间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
跟踪训练2 从六位同学中选出四位参加一个座谈会，要求小张、小王两名同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )
A．9 B．14 C．12 D．15
角度2 “含”与“不含”问题
例3 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，各有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
方法归纳
“含……”或“不含……”是组合应用的常见题型．其解法一般为直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊元素去掉再取出，分步计数．
必要时，还需对元素进行分类，对题目中的元素分类后，要弄清被取出的元素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某个特殊元素，被取出的元素中含不含这个特殊元素，这是解题的关键．
当用直接法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
跟踪训练3 从6个人中选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有________种安排方法．
题型三 分配问题
例4 把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法．
(1)甲2本、乙2本、丙2本；
(2)甲1本、乙2本、丙3本；
(3)甲4本、乙1本、丙1本．
方法归纳
对于不等分组，只需将元素按要求依次分配给每个对象即可．
跟踪训练4 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
易错辨析 忽略元素无序，造成计数重复
例5 5本不同的书全部分给4名同学，每名同学至少一本，不同的分法种数为________．
解析：先把5本书分成4堆，然后分给4名同学．第1步，从5本书中任意取出2本捆绑成一个整体，有
＝240.
答案：240
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )
种 B．45种 C．54种种
2．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A．140种 B．120种 C．35种 D．34种
3．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )
A．5 040 B．36 C．18 D．20
4．某书店有11种杂志，20元1本的有8种，10元1本的有3种．小张用100元钱买杂志(每种至多买1本，100元钱刚好用完)，则不同买法的种数为________．(用数字作答)
5．有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？
第2课时 组合的应用
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)从6名男生中选2人的组合数是＝15种．
(2)分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合＝90种．
(3)从10名学生中选2名的组合数＝45种．
跟踪训练1 解析：(1)分两类分别求即可，共有＝30＋40＝70.
(2)第一步，安排周六有
＝140种．
答案：(1)A (2)140
例2 解析：(1)方法一 本题的解题关键是抓住有无红色卡片来讨论．若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有
×4＝472种．故选C.
(2)方法一 (直接法)分两类：
第1类，抽出1件次品，抽法种数为
＝56＋8＝64.
方法二 (间接法)从10件产品中任取3件的抽法有＝64.
答案：(1)C (2)64
跟踪训练2 解析：方法一 (直接法)分两类：
第1类，小张、小王两名同学都不参加，有
＝9.
方法二 (间接法)不同的选法种数为＝9.
答案：A
例3 解析：(1)从中任取5人是组合问题，不同的选法种数为＝792.
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，不同的选法种数为＝36.
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需要从另外的9人中选5人，不同的选法种数为＝126.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：
第1步，从甲、乙、丙中选1人，有
＝378.
跟踪训练3 解析：从6个人中选取1个人安排在第一天有＝6(种)方法，然后从余下的5个人中选取1个人安排在第二天有＝5(种)方法，再从剩余的4个人中选取2个人安排在第三天有＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理知不同的安排方法有6×5×6＝180(种)．
答案：180
例4 解析：(1)第一步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有
＝90种不同的分配方法．
(2)第一步，从6本不同的书中选1本书分配给甲，有
＝60种不同的分配方法．
(3)第一步，从6本不同的书中选4本书分配给甲，有
＝34(种)．
答案：D
3．解析：最高的站在中间，从余下6人中选3人站在左侧，由低到高只有一种站法，其余3人站在右侧，也只有一种站法，所以共有＝20种排法．
答案：D
4．解析：分两类情况：
(1)买5本20元的买法种数为.
(2)买4本20元的、2本10元的买法种数为
＝5 760＋7 200＝12 960种分派方案．
易错原因
纠错心得
解答此题时易得到如下错解：
先从5本书中取4本分给4名同学，有种方法，剩下的1本书可以给任意一名同学，有4种分法，不同的分法种数为＝480.
该解题过程中出现了重复选取的情况．设5本书分别为a，b，c，d，e，4名同学分别为甲、乙、丙、丁．按照上述分法可能有如下的表1和表2：
表1
甲
乙
丙
丁
a
b
c
d
e
表2
甲
乙
丙
丁
e
b
c
d
a
表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲．从结果上看以上两种情况是完全相同的，而在计数时把它们当成了不同的情况，造成重复计数．
对于元素无序的分配问题，一般不能采用分步计数，而是采取先选后排的方法，即可避免重复计数．