高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册4.2 一元线性回归模型导学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册4.2 一元线性回归模型导学案，共6页。

教 材 要 点
要点一 回归分析
找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这条直线叫作________，这条直线的方程叫作____________．由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析．
如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y＝a＋bx来近似刻画，则称它为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数．
要点二 一元线性回归模型❶
当自变量x取值xi(i＝1，2，…，n)时，将根据回归直线方程估计出的与实际观测值yi的误差，即yi－＝yi－(xi)(i＝1，2，…，n)，称为随机误差，记作ei.把yi＝xi＋ei(i＝1，2，…，n)，这一描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差ei的方程称为一元线性回归模型．
批注❶ 由于所有的样本点不共线，而只是散布在某条直线的附近，因此一元线性回归模型反映了表示成对样本数据的点散布于直线y＝a＋bx附近的线性相关关系．
要点三 最小二乘法
用随机误差的平方和即作为总随机误差来刻画各估计值与实际值之间的误差．若总随机误差最小，则这条直线就是所要求的回归直线．由于平方又叫二乘方，所以这种使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法．
用最小二乘法求出的的计算公式为：
此时，用最小二乘法得到的回归直线方程为＝x❷，其中是回归直线在y轴上的截距，是回归直线的斜率❸
批注❷ 回归直线一定过样本中心()．
批注❸ 当>0时，一元线性回归模型刻画了正线性相关关系；当<0，一元线性回归模型刻画了负线性相关关系．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)线性回归方程适用于一切样本和总体．( )
(2)样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围．( )
(3)回归直线方程得到的预测值是预测变量的精确值．( )
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是( )
A．＝－10x＋200 B．＝10x＋200
C．＝－10x－200 D．＝10x－200
3．根据如下样本数据，得到回归直线方程为＝x，则( )
A.>0，>0 B．>0，<0
C.<0，>0 D．<0，<0
4．已知x与y之间的一组数据，则y与x的回归直线方程＝x＋必过点________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 求回归直线方程
例1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程：＝x＋.
方法归纳
求回归直线方程的基本步骤
巩固训练1 对于数据组：
(1)作散点图，你能直观上得到什么结论？
(2)求回归直线方程．
题型 2 回归分析
例2 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与误差平方和如下表：
哪位同学的试验结果拟合A，B两变量关系的精度高？( )
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
方法归纳
根据线性相关的知识可知，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持随机误差的平方和越小，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好．
巩固训练2 根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图分析x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为y＝－0.42x＋12，则在样本点(10，8.2)处的随机误差为( )
A．8.2 B．0.4 C．7.8 D．0.42
4．2.1 回归直线方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
回归直线 回归直线方程
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)×
2．解析：∵y与x负相关，∴排除B，D，又∵C项中x>0时，<0不合题意，∴C错．故选A.
答案：A
3．解析：根据表中数据可知，随着x的增加y减小，故y与x是负相关，故回归直线斜率为负，故<0；再结合散点图以及直线的性质，根据x＝4，5，6，7时y均为正可知回归直线当x＝0时与y轴截距为正，故>0.故选B.
答案：B
4．解析：由数据可知：＝＝6；＝＝4，故线性回归方程必过点(6，4)．
答案：(6，4)
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)依题意可得散点图如图所示：
(2)＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，＝＝4－0.7×9＝－2.3，
故回归直线方程为＝0.7x－2.3.
巩固训练1 解析：(1)
由图知：两个变量呈线性关系且正相关．
(2)由数据知：＝＝3.5，
＝＝5，
＝2×1.9＋3×4.1＋4×6.1＋5×7.9＝80，＝54，
所以＝＝＝2，令y＝x＋，则＝5－2×3.5＝－2，
综上，回归直线方程为y＝2x－2.
例2 解析：根据线性相关的知识可知，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持误差平方和越小，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好．因此，由试验结果知，丁精确度高一些．故选D.
答案：D
巩固训练2 解析：在回归直线方程y＝－0.42x＋12中，当x＝10时，y＝7.8，所以在样本点(10，8.2)处的随机误差为8.2－7.8＝0.4.故选B.
答案：Bx
4
5
6
7
8
9
y
5.0
3.5
0.5
1.5
－1.0
－2.0
x
2
5
7
10
y
1
3
5
7
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
x
2
3
4
5
y
1.9
4.1
6.1
7.9
项目
甲
乙
丙
丁
散点图
随机误
差平方和
115
106
124
103