新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究二方法五构造法

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A．c>b>aB．b>a>c
C．a>b>cD．a>c>b
(2)
如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
对接训练
9.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
C．(－∞，－1)
D．(0，1)
10．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个正四面体的表面积为________.
方法五 构造法
[例5] (1)解析：a－c＝－4sin＝1－－.不妨设f(x)＝1－x2－＝.令h(x)＝x－x3－sinx，则h′(x)＝1－x2－csx．令g(x)＝1－x2－csx，则g′(x)＝－3x＋sinx．当x∈时，sinx＜3x，所以当x∈时，g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递减，所以当x∈时，g(x)＜g(0)＝0，所以当x∈时，h′(x)＜0，所以h(x)在上单调递减．所以当x∈时，h(x)＜h(0)＝0，所以当x∈时，f(x)＜0，所以f＜0，即a＜c.结合四个选项，排除B，C，D.故选A.
(2)解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，
所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
答案：A
π
对接训练
9．解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝，
由题意知，当x>0时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0.
∴g(1)＝＝0，∴当x∈(0，1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0.
又∵g(－x)＝＝＝＝g(x)，(x≠0)
∴g(x)是偶函数，
∴当x∈(－∞，－1)时，g(x)<0，从而f(x)>0；
当x∈(－1，0)时，g(x)>0，从而f(x)<0.
综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)故选A.
答案：A
10．
解析：将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示．设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则πR3＝8π，得R＝.∵正四面体的外接球和正方体的外接球是同一个球，∴a＝2R＝2，∴a＝2，∵正四面体ABCD的每条棱长均等于正方体的面对角线长，∴正四面体ABCD的棱长为a＝4，因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin＝16.
答案：16
构造法就是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．