2023-2024学年云南省昆明八中长城红鑫校区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省昆明八中长城红鑫校区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，第三象限D．第二，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）在实数0，，，中，最小的数是
A．B．0C．D．
2．（2分）如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是
A．B．
C．D．
3．（2分）石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米．数据0.00000000034用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．（2分）如图，，于点，，则的大小为
A．B．C．D．
5．（2分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
6．（2分）代数式有意义时，应满足的条件为
A．B．C．D．
7．（2分）反比例函数的图象分别位于
A．第一、第三象限B．第一、第四象限
C．第二、第三象限D．第二、第四象限
8．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
9．（2分）已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是
A．7B．8C．9D．10
10．（2分）如图，面积为1的等边三角形中，，，分别是，，的中点，则的面积是
A．1B．C．D．
11．（2分）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为
A．B．
C．D．
12．（2分）如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为
A．米B．米C．米D．米
13．（2分）有一列按一定规律排列的式子：，，，，，，则第个式子是
A．B．C．D．
14．（2分）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
15．（2分）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画弧，则由图中阴影部分的扇形围成的圆锥的高为
A．B．C．D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）某地周六白天最高温度，与夜晚最低气温的温差是，则夜晚最低气温是 ．
17．（2分）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．若是等边三角形，则 ．
18．（2分）若，，则 ．
19．（2分）已知抛物线与轴有且只有一个交点，则 ．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
21．（6分）如图，是线段的中点，，．求证：．
22．（7分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：组“”， 组“”， 组“”， 组“”， 组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
23．（7分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
24．（8分）某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
25．（8分）如图，在四边形中，，，点是的中点，连接，过点作，垂足为，已知．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求线段的长．
26．（8分）如图，在中，，以为直径作与交于点，过点作，交延长线于点，垂足为点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
27．（12分）已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求的值．
（3）把抛物线向右平移个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．（2分）在实数0，，，中，最小的数是
A．B．0C．D．
【分析】先化简，然后根据正数大于0，负数小于0即可得出答案．
解：，
，
最小的数是，
故选：．
【点评】本题考查了实数的比较大小，绝对值，注意负数的绝对值等于它的相反数．
2．（2分）如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是
A．B．
C．D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体判定则可．
解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．（2分）石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米．数据0.00000000034用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000 000 000 ；
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，正确记忆一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题关键．
4．（2分）如图，，于点，，则的大小为
A．B．C．D．
【分析】先根据直角三角形的性质得出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
解：，
．
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
5．（2分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】、根据算术平方根的概念判断即可；、根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算判断即可；、根据完全平方公式判断即可；、根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算判断即可．
解：、，不合题意；
、，符合题意；
、，不合题意；
、，不合题意；
故选：．
【点评】此题考查的是算术平方根、零指数幂和负整数指数幂的运算、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方的运算，掌握它们的运算法则是解决此题的关键．
6．（2分）代数式有意义时，应满足的条件为
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
解：代数式有意义时，，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
7．（2分）反比例函数的图象分别位于
A．第一、第三象限B．第一、第四象限
C．第二、第三象限D．第二、第四象限
【分析】根据反比例函数的性质，可以得到该函数图象位于哪几个象限，本题得以解决．
解：反比例函数，，
该反比例函数图象位于第一、三象限，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确当，反比例函数图象位于第一、三象限．
8．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（2分）已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是
A．7B．8C．9D．10
【分析】利用多边形的外角和是，正多边形的每个外角都是，即可求出答案．
解：，所以这个正多边形是正十边形．
故选：．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
10．（2分）如图，面积为1的等边三角形中，，，分别是，，的中点，则的面积是
A．1B．C．D．
【分析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：，，分别是，，的中点，
，，，
，
，
，
等边三角形的面积为1，
的面积是，
故选：．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
11．（2分）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2分）如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为
A．米B．米C．米D．米
【分析】利用的正切值表示出，利用中点定义可得到所求的线段的长．
解：在中，
，米，
，
点是的中点，
米，
故电线杆的长可表示为米，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
13．（2分）有一列按一定规律排列的式子：，，，，，，则第个式子是
A．B．C．D．
【分析】根据观察，可发现规律：系数是，字母因式均为，可得答案．
解：由，，，，，，得出规律：
系数分别是，，，，，，
字母因式均为，
第个式子是；
故选：．
【点评】本题考查了单项式，观察式子发现规律是解题关键．
14．（2分）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数与一次函数的图象，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
解：观察函数图象可知：，，，
二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴负半轴．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键．
15．（2分）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画弧，则由图中阴影部分的扇形围成的圆锥的高为
A．B．C．D．4
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可．
解：正六边形的外角和为，
每一个外角的度数为，
正六边形的每个内角为．
设这个圆锥底面圆的半径是，
根据题意得，，
解得，．
圆锥的高为，
故选：．
【点评】本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．此题难度不大．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）某地周六白天最高温度，与夜晚最低气温的温差是，则夜晚最低气温是 ．
【分析】根据白天最高温度降低就是夜晚最低温度列式计算即可．
解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了有理数的减法，掌握温差最高温度最低温度是解题的关键．
17．（2分）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．若是等边三角形，则 30 ．
【分析】根据垂直平分线的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，从而可得的度数．
解：垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：30．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到．
18．（2分）若，，则 1 ．
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
解：，
．
，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式是解题关键．
19．（2分）已知抛物线与轴有且只有一个交点，则 9 ．
【分析】利用判别式△即可得出结论．
解：抛物线与轴有且只有一个交点，
方程有唯一解．
即△，
解得：．
故答案为：9．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点知识，明确△决定抛物线与轴的交点个数是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】直接利用分式的加减运算法则化简，再利用分式的混合运算法则计算，进而得出答案．
解：
，
当时，
原式
．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．（6分）如图，是线段的中点，，．求证：．
【分析】根据判定定理直接判定两个三角形全等．
【解答】证明：点为线段的中点，
，
，
，
，
，
在与中，
，
．．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
22．（7分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：组“”， 组“”， 组“”， 组“”， 组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 100 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【分析】（1）根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
解：（1）这次调查的样本容量是：，
组的人数为：，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，组的圆心角是：，
本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在组，
中位数落在组，
故答案为：72，；
（3）（人，
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（7分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：
所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有，，，，，，，，，共10种，
故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：，
，
这个游戏对两人不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
24．（8分）某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
【分析】（1）设每个乙款篮球的进价为元，则每个甲款篮球的进价为元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该商店本次购进甲款篮球个，则购进乙款篮球个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于的一元一次不等式组，解之求出的取值范围，再设商店共获利元，利用总利润每个的利润销售数量（购进数量），得出关于的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设每个乙款篮球的进价为元，则每个甲款篮球的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；
（2）设该商店本次购进甲款篮球个，则购进乙款篮球个，
根据题意得：，
解得：，
设商店共获利元，
则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，
答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，列出一元一次不等式和一次函数关系式．
25．（8分）如图，在四边形中，，，点是的中点，连接，过点作，垂足为，已知．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求线段的长．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
（2）由勾股定理得，再由菱形的性质得，然后证，则，即可得出答案．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：，，，
，
点是的中点，
，
由（1）得：，四边形是菱形，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
即线段的长为12．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
26．（8分）如图，在中，，以为直径作与交于点，过点作，交延长线于点，垂足为点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）利用直角三角形的边角关系，勾股定理以及相似三角形的性质可求出圆的半径，再根据相似三角形的性质可求出．
【解答】（1）证明：如图，连接，，
是的直径，
，即，
，
，
又，
是的中位线，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：由于，可设，则，
，
，，
，
，
，
，
即，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
，
，
，
，
即，
解得．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
27．（12分）已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求的值．
（3）把抛物线向右平移个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求的取值范围．
【分析】（1）把代入即可解得抛物线的函数表达式为；
（2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线，顶点为，关于原点的对称点为，代入可解得的值为4；
（3）把抛物线向右平移个单位得抛物线为，根据点，都在抛物线上，当时，，可得，即可解得的取值范围是．
解：（1）把代入得：
，
解得，
；
答：抛物线的函数表达式为；
（2）抛物线的顶点为，
将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为，
而关于原点的对称点为，
把代入得：
，
解得，
答：的值为4；
（3）把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为，
点，都在抛物线上，
，
，
当时，，
，
，
整理变形得：，
，
，
，
，
，
解得，
的取值范围是．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．1
2
3
4
1
2
3
4