2021-2022学年上海市徐汇区高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年上海市徐汇区高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知直线过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线的条数为条(    )

A.  B.  C.  D.

2. 直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是(    )

A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心
C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点

3. 已知函数，则的导函数(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用、、、、、组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且和相邻，则这样的六位数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______．
6. 连续掷一颗骰子两次，已知第一次掷出的点数是偶数点，则第二次也掷出偶数点的概率为______．
7. 乘积的展开式的项数为______．
8. 设椭圆的焦距为，若，则椭圆的离心率为______．
9. 已知圆和圆内切，则的值为______．
10. 直线：与直线：夹角的大小为______．
11. 已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则该双曲线的方程为______．
12. 如图，已知直线是曲线在处的切线，则的值为______．

13. 以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程为______．
14. 编号为、、、的四名学生随机入座编号为、、、的座位，每个座位坐人，座位编号和学生编号一致时称为一个“配对”，用表示“配对”数，则的期望______．
15. 若直线是曲线的切线，则实数的值为______．
16. 已知定点到椭圆上的点的距离的最小值为，则的值为______．

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知函数．
    求的导函数以及驻点，并根据驻点与驻点所划分的区间列表；
    判断函数的单调性，并求出极值．
18. 本小题分
    已知是圆：外一点．
    过作圆的切线，求切线的方程；
    过任意作一条割线，交圆于两点，求弦的中点的轨迹方程．
19. 本小题分
    已知．
    求的值；
    当为何值时，该二项展开式中项的系数最大？
20. 本小题分
    已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距；地在地的北偏西方向，相距为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号．后地也发现该信号该信号传播速度为
    请建立适当的平面直角坐标系，判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；
    若地与地同时发现该信号，现从地炮击地，求准确炮击的方位角．
21. 本小题分
    设有两个罐子，罐中放有个白球，个黑球，罐中放有个白球，这些球的大小与质地相同．现从这两个罐子中各摸个球进行交换，用表示事件“交换次后，黑球还在罐中”．
    分别求这样交换次和次后，黑球还在罐中的概率和；
    试研究与具有怎样的递推关系，并在此基础上，求出关于的表达式．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当直线平行于轴即抛物线的时，直线与拋物线只有一个公共点，
直线与抛物线的轴不平行时，由于在抛物线的外部与焦点在不同区域，因此过点有的抛物线的切线有两条．
综上，符合要求的直线有条．
故选：．
根据直线与抛物线的位置关系判断．
本题考查直线与抛物线的综合，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

2.【答案】 

【解析】解：直线的斜率为，所以其倾斜角为，
则该直线绕原点按逆时针方向旋转后的直线的倾斜角为，
即直线的方程为，即，
由圆的方程可得圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切，
故选：．
由已知直线的方程可得斜率的值，进而求出倾斜角的大小，再由题意可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，可判断直线与圆的位置关系．
本题考查直线与圆的位置关系的判断及直线旋转的方程的求法，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
故选：．
根据导数的运算性质化简即可求解．
本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意分三步完成，
第一步：先将、排列，共有种排法；
第二步：再将、插空排列，共有种排法；
第三步：将、放到、、、形成的空中，共有种排法．
由分步乘法计数原理得共有种．
故选：．
利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将、排列，第二步：再将、插空排列，第三步：将、放到、、、形成的空中即可．
本题考查了排列组合的混合问题，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为双曲线的焦点在轴上，
又椭圆与双曲线有相同的焦点，
由题意得，，
，
．
故答案为：．
利用椭圆、双曲线几何量之间的关系，即可求出的值．
本小题考查双曲线与椭圆的关系，考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．
 

6.【答案】 

【解析】解：设“第一次抛出偶数”为事件，“第二次抛出偶数”为事件，
则可得事件发生的概率，同时发生的概率为，
由条件概率可知．
故答案为：．
由古典概型可得，由事件的独立性可得，进而由条件概率可得，代入计算可得答案．
本题主要考查条件概率，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据组合数的运算性质可得展开式共有项，
故答案为：．
利用组合数的运算性质即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到组合数的运算性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在椭圆中，，
因为，所以，
又，所以，解得或舍，
所以椭圆的离心率为．
故答案为：．
结合已知条件与，可得关于的一元二次方程，解之即可．
本题考查椭圆的几何性质，熟练掌握椭圆中，，的关系以及离心率的定义式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，圆心在轴上，
两圆内切时，圆在圆中，则，可得，
即，解得，
故答案为：．
由两圆的方程可得其圆心坐标及半径，再由两圆内切，可得圆心距等于半径之差，可得的值．
本题考查两圆内切的性质的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：的斜率分别为：，，
设两条直线的夹角，则，
所以夹角的大小为，
故答案为：
由两条直线的方程可得两条直线的斜率，由夹角公式求出就觉得正切值，进而求出夹角的大小．
本题考查求两条直线的夹角公式的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，要求双曲线的渐近线方程为，设其方程为，
又由双曲线经过点，
则，则，
则双曲线的方程为：．
故答案为：．
根据题意，设出双曲线的方程，将点的坐标代入方程，计算可得的值，将方程变形即可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，关键是由双曲线的渐近线方程设出其方程．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可知直线过点，，
则直线的斜率为，
根据导数的几何意义可得，
故答案为：．
根据图求出直线过的定点，进而求出直线的斜率，再根据导数的几何意义即可求解．
本题考查了导数的几何意义，涉及到直线的斜率，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，可设抛物线的标准方程为，
代入点，有，解得，
所以抛物线的标准方程为．
故答案为：．
设抛物线的标准方程为，代入点的坐标，求出的值，即可．
本题考查抛物线标准方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：的可能取值为，，，，全排列为，
当时，先安排的第一人由种选择，比如说先安排“”号人，可以选择，，座位，
如果安排在号位，则“”号人也可以由种选择，比如是安排在号位，
则“”号人只能在号位，“”号人只能在号位；如果是安排在号位，
则“”号人只能在号位，“”号人只能在号位，如果安排在号位也是类似，
所以有 种排法，；
当时，先从人中选一人安排在对应的位置上，由 种选法，
比如选“”号人安排在号位，则“”号人有种选法，如果选，则“”号人只能选，“”号人只能；如果选，则“”号人只能只能选，“”号人只能选；
所以有种排法，；
当时，先从人中选人安排在对应的位置，有种选法，比如先安排“”号人和“”号人，分别安排在号和号位置，则“”号人和“”号人只能由种排法；
所以总共有种排法，；
当时，只有种排法，；
其数学期望为．
故答案为：．
根据的可能取值，运用计数原理和古典概型逐项分析计算即可．
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题．
 

15.【答案】或 

【解析】解：设切点为，
的导数为，
可得切线的斜率为，
又，
联立解得或．
实数的值为或．
故答案为：或．
设出切点，求得原函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得与的值．
本题考查导数的几何意义及应用，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】或 

【解析】解：设椭圆上任一点为，
则，
当时，有，
当时，，
得舍，
当时，有，
当且仅当时，，
故或，
综上得或．
故答案为：或．
设椭圆上任一点为，求出的解析式，再利用二次函数的性质分析解答得解．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，
令，得，
驻点；
又当，，当，，
将的变化情况，的变化情况及的单调情况列表如下：

由知，在上单调递减，在上单调递增，极小值． 

【解析】求导得，令，可求得驻点，进而将驻点所划分的区间列表即可；
由驻点与驻点所划分的区间列表可得的单调性及极值．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：直线，过点且与圆相切；
当斜率存在时，设方程为，即，
由，可得，所以方程为；
设弦中点坐标为，则，即，
与圆方程联立，可得，代入圆方程可得，
或，
弦中点的轨迹方程为． 

【解析】分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线方程；
设出弦中点坐标为，利用斜率关系可得方程，与圆方程联立，可得范围．
本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：令，则；
展开式的通项公式为，，，，，
设第项的系数最大，则，
解得，所以或时，展开式的项的系数最大，
此时． 

【解析】令，由此即可求解；求出展开式的通项公式，然后令第项的系数最大，根据通项公式建立不等式，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：如图，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立坐标系，
则、、，
又，故在以、为焦点的双曲线右支上，
设，则双曲线方程为；
因为，
所以点在线段的垂直平分线上，
因为，中点，
所以直线的方程为，
由知点还在上，联立方程解得，，
所以，因此，
故炮击的方位角为北偏东． 

【解析】依题意，建系如图，由在以、为焦点的双曲线右支上，写出双曲线方程；
点在线段的垂直平分线上，可写出中垂线的方程，由联立方程组，解出交点的坐标，可求得由，于是可得炮击地的方位角．
本题考查了直线与双曲线方程的应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：一次交换后黑球还在罐中，即从罐中摸到的是白球，所以，
两次交换后黑球还在罐中，则可能是第一次从罐中摸到的是白球，第二次从罐中摸到的还是白球，或第一次从从罐中摸到的是黑球，第二次从罐中摸到的是黑球，所以；
事件的发生分成两个互斥事件：发生的情况下，从罐中摸到的是白球，或者是不发生时，从罐中摸到的是黑球，
所以，
所以，而，
所以是等比数列，首项为，公比为，
所以，． 

【解析】一次交换后黑球还在罐中，从罐中摸到的只能是白球，而两次交换后黑球还在罐中，则可能是第一次从从罐中摸到的是白球，第二次从罐中摸到的还是白球，或第一次从从罐中摸到的是黑球，第二次从罐中摸到的是黑球，由此可计算出；根据与的关系可得与的关系，由互斥事件概率公式可得，根据所得式子凑配出等比数列后可得通项公式．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．