浙江省杭州市名校2023-2024学年高二上学期12月阶段联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省杭州市名校2023-2024学年高二上学期12月阶段联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A.B.C.D.
2．直线和直线垂直,则( )
A.1B.C.1或D.1或
3．已知在等比数列中,,则的值是( )
A.4B.C.D.16
4．如图,在三棱台中,且,设,,,点D在棱上,满足,若,则( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
5．已知等差数列的前n项和为,且,,则下列说法错误的是( )
A.B.
C.数列是递减数列D.中最大
6．已知圆,直线,圆上恰有3个点到直线的距离等于1,则圆与圆的位置关系是( )
A.内切B.相交C.外切D.相离
7．已知圆上有一动点P,双曲线的左焦点为F,且双曲线的右支上有一动点Q,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．阅读材料:空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,阅读上面材料,解决下面问题:已知平面的方程为,点,则点Q到平面距离为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知直线,圆,点P为圆C上的任意一点,下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.直线l与圆C恒有两个公共点
C.直线l被圆C截得最短弦长为
D.当时,点到直线l距离最大值是
11．已知数列,满足,是的前n项和,下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则为等差数列
C.若,则为等差数列
D.若,则
12．已知抛物线的焦点为F,准线l与x轴交于点M,过M的直线l与抛物线C相交于,两点,点D是点关于轴的对称点,则下列说法正确的是( )
A.B.的最小值为10
C.B,F,D三点共线D.
三、填空题
13．在空间直角坐标系中,已知点,,则__________.
14．过点作圆的两条切线,切点为A,B,则劣弧长__________.
15．如图,已知正方形的边长为2,分别取边,,,的中点,,,,并连接形成正方形,继续取边,,,的中点,,,,并连接形成正方形,继续取边,,,的中点,,,,并连接形成正方形,依此类推;记的面积为,的面积为,…,依此类推,的面积为,若,则__________.
16．设,是椭圆的左､右焦点,点P,Q为椭圆C上的两点,且满足,,则椭圆C的离心率为__________.
四、解答题
17．如图,在长方体中,,点分别为棱的中点,
（1）求证:平面BCF;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知数列满足,点在直线上.
（1）求证:数列是等比数列,并求出的通项公式;
（2）求满足的n的取值构成的集合.
19．已知动点P与两个定点,的距离的比是2.
（1）求动点P的轨迹C的方程;
（2）直线过点,且被曲线C截得的弦长为,求直线的方程.
20．已知等差数列前n项和为,满足,.数列满足,,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）设数列满足,,求数列的前n项和.
21．如图,在四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD为正方形,E,F分别为的中点.
（1）求平面CEF与底面ABCD所成角的余弦值;
（2）求平面CEF与四棱锥表面的交线围成的图形的周长.
22．已知双曲线C的中心为坐标原点,上顶点为,离心率为.
（1）求双曲线C的渐近线方程;
（2）记双曲线C的上､下顶点为,,P为直线上一点,直线与双曲线C交于另一点M,直线与双曲线C交于另一点N,求证:直线MN过定点,并求出定点坐标.
参考答案
1．答案：D
解析：,又抛物线开口向下,所以抛物线的方程为,
D正确.
2．答案：C
解析：或,
C正确.
3．答案：C
解析：,,
C正确.
4．答案：A
解析：
,
又,,,,A正确.
5．答案：D
解析：,则
所以数列单调递减,中最大.
D正确.
6．答案：B
解析：圆上3个点到直线的距离是1,则圆心到直线的距离应是,,则,
圆的圆心为,半径是2,圆的圆心为,半径是1,则,所以两圆的位置关系是相交.B正确.
7．答案：D
解析：圆心,取双曲线的左焦点,
,,则
的最小值为,
D正确.
8．答案：A
解析：平面的法向量,在平面上任取一点,则,,
A正确.
9．答案：ACD
解析：,选项A正确,,选项B错误;
,选项C正确;
,,选项正确,
正确答案是A.C.D
10．答案：ABD
解析：直线,所以恒过定点.选项A正确;
因为定点在圆C内,所以直线l与圆C恒有两个公共点.选项B正确;
l被圆C截得的最短弦长,选项C错误;
当时,,点P到直线l的距离的最大值是,选项正确.
正确答案是A.B.D
11．答案：ABD
解析：当,则,所以,选项A正确;
已知,当时,,
当时,,则,(时也成立),所以为等差数列,选项B正确;
已知,当时,,
当时,,则,,(时不成立),所以不是等差数列,选项C不正确;
已知,当时,,
当时,,则,(时不成立,所
以
当时,,
时,
所以,时也成立,选项D正确.
正确答案是A.B.D
12．答案：CD
解析：设直线,联立方程组
,,则,
选项A不正确;
,所以
当且仅当时等号成立,所以的最小值为9,选项不正确;
,设,联立方程组,,则,所以,
即直线BD过点F,选项正确;
对于选项,,,
,选项正确.
正确答案是C.D
13．答案：
解析：,.
14．答案：
解析：圆,
,,故劣弧长.
15．答案：10
解析：由题意可知三角形的面积构成首项为,公比为的等比数列,
,.
16．答案：
解析：如图,
过作,连接,因为,
所以,设,则
,,,,
在中,,
即,化简得,,,
所以,所以离心率.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）方法一:因为F是的中点,所以,和是等腰直角三角形,所以,
,
因为平面,平面,所以,
BC,平面,平面BCF
方法二:以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,
,,,,,,,
所以,,平面BCF;
（2）,,设平面的法向量为,
则,所以取,
又,
.
直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由已知得,,
且,
所以数列是等比数列,
,则
（2）因为,所以,
得,又因为,所以的取值构成的集合是.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设点,则,
化简得,所以动点P的轨迹C的方程为;
（2）由（1）可知点P的轨迹C是以为圆心,2为半径的圆,可计算得圆心到直线l的距离,
①当直线l的斜率不存在时,圆心到直线l的距离是3,不符合条件,
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,即,
所以,化简得,解得或,
所以直线l的方程是或.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设数列的公差为d,,
解得,,.
,,且,所以是等比数列,
,
（2）,
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）以A为原点,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,
平面ABCD的法向量为,
,,,,,设平面CEF的法向量为,所以,所以取,
所以,
所以平面CEF与底面ABCD所成角的余弦值为;
（2）由对称性可知平面与棱交于一点,
设交点,,,,
又,
所以围成的图形的周长为
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设双曲线方程为,由上顶点坐标可知,
则由可得,,
双曲线的渐近线方程为.
（2）由（1）可得,,设,,
设直线MN的方程为,
与联立可得,且,
则,,
,
设,,,
,,得
,,化简得.