浙江省杭州市名校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、已知向量,则( )
A.B.C.D.
2、圆的圆心和半径分别为( )
A.,2B.,4C.,2D.,4
3、在长方体中,M为棱的中点.若,,则等于( )
A.B.
C.D.
4、若过点的直线与以,为端点的线段相交,则直线的倾斜角取值范围为( )
A.B.
C.D.
5、已知直线,,若,则( )
A.1B.-1或-3C.1或3D.3
6、已知在正方体中,E,F分别为AD,AB的中点,点P在上运动,若异面直线EP,DF所成的角为,则的最大值为( )
A.B.C.D.
7、已知点在直线上的射影为点B,则点B到点距离的最大值为( )
A.B.5C.D.
8、已知圆O：和点,点,M为圆O上的动点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知直线,下列说法正确的是( )
A.若,则直线l的倾斜角为B.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则
C.,原点到直线l的距离为5D.直线l与直线垂直,则
10、如图,正方体的棱长为1,正方形ABCD的中心为O,棱,的中点分别为E,F,则( )

A.
B.
C.异面直线与EF所成角的余弦值为
D.点F到直线的距离为
11、已知曲线E的方程为,则( )
A.曲线E关于直线对称
B.曲线E围成的图形面积为
C.若点在曲线E上,则
D.若圆能覆盖曲线E,则r的最小值为
12、在正三棱柱中,,点P满足,其中,,则下列结论正确的是( )
A.当时,周长为定值
B.当时,三棱锥的体积为定值
C.当时,存在两点P,使得
D.当时,存在两点P,使得平面
三、填空题
13、已知向量,,则在上的投影向量为_________.（用坐标表示）
14、已知直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,且直线在y轴上的截距为-3,则直线的一般式方程为_________.
15、以三角形边BC,CA,AB为边向形外作正三角形,,,则,,三线共点,该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120º时,正等角中心点P满足以下性质：
（1）;（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为____________
16、正四棱柱中,,,E为AB的中点,点F满足,动点M在侧面内运动,且平面,则的取值范围是__________________．
四、解答题
17、已知三角形三顶点,,求：
（1）AC边上的高所在的直线方程;
（2）AB边的中线所在的直线方程.
18、在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABCD,,,,点P为棱DF的中点.
（1）求证：平面APC;
（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值.
19、设直线l的方程为
（1）求证：不论a为何值,直线l必过一定点P;
（2）若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点,,当面积为12时,求的周长;
20、已知圆C过点,,且圆心C在直线上.
（1）求圆C的方程;
（2）若从点发出的光线经过直线反射,反射光线恰好平分圆C的圆周,求反射光线所在直线的方程.
21、如图,四棱锥的底面为正方形,,平面ABCD,E,F分别是线段PB,PD的中点,G是线段PC上的一点.
（1）求证：平面平面PAC;
（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为,且G点不是线段PC的中点,求三棱锥体积.
22、如图,在三棱柱中,底面是边长为2的等边三角形,,D,E分别是线段AC,的中点,在平面ABC内的射影为D．
（1）求证：平面BDE;
（2）若点F为线段上的动点（不包括端点）,求锐二面角的余弦值的取值范围．
参考答案
1、答案：A
解析：.
故选：A.
2、答案：C
解析：由题可知：圆即
所以该圆的圆心为,半径为2
故选：C.
3、答案：A
解析：因为长方体中,M为棱的中点,
所以,
故选：A.
4、答案：D
解析：如图所示：
当点Q从点A向点B运动时,则直线PQ的倾斜角越来越大,
当点Q与点A重合时,直线PQ的倾斜角的最小值为,
由直线倾斜角与斜率的关系可知,
所以,
当点Q与点B重合时,直线PQ的倾斜角的最大值为,
由直线倾斜角与斜率的关系可知,
所以,
又注意到当点Q从点A向点B运动时,是连续变化的,
因此满足题意的直线PQ的倾斜角取值范围为.
故选：D.
5、答案：D
解析：,,,
当,即时,,此时与不平行,
当,即时,有,解得,
经检验符合题意.
.
故选：D.
6、答案：B
解析：以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
设,则,,,,
设,则,
所以．
令,则,因为,所以．
当时,;
当时,,
因为,所以当,即时,取得最大值,最大值为．
故选：B.
7、答案：C
解析：将直线l整理得到,
于是,解得,所以直线l恒过点,
因为点在直线上的射影为点B,
所以,则点B在以线段AC为直径的圆上,该圆的圆心坐标为,
半径大小为,
又,
所以点B到点距离的最大值为,
故选：C．
8、答案：C
解析：取,连接MF,MO,
则,又,
所以,
又,故,
故,从而,
所以,
当F,M,B三点共线时,取得最小值,
最小值为.
故选：C.
9、答案：AD
解析：对于A,若,直线l的方程为,即,
则斜率为-1,所以其倾斜角,故A正确;
对于B,当直线经过原点时,即,解得,则直线方程为,在两坐标轴上截距相等,都为,
当直线不经过原点时,则,即,
若直线l的在两坐标轴的截距相等,必有,解可得,符合题意,
故或,即B错误;
对于C,直线,即,
令,解得,直线l恒过点,
设,则,
所以原点到直线l的距离,不存在m满足条件,故C错误;
对于D,若直线l与直线垂直,则直线l的斜率,则有,解可得,故D正确;
故选：AD．
10、答案：ABD
解析：故以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
,,,,,,
,选项A正确;
,
,所以
根据三角函数两角正余弦关系解得：
,选项B正确;
,
,选项C错误;
点F到直线的距离为：,
而,
所以选项D正确;
故选：ABD.
11、答案：ABC
解析：曲线E上任意点有：,该点关于的对称点有,即曲线E上任意点关于直线的对称点仍在曲线E上,故选项A正确;
因为点在曲线上,点,点也都在曲线E上,则曲线E关于x轴,y轴对称,当,时,曲线E的方程为,
表示以点为圆心,为半径的圆在直线上方的半圆（含端点）,
因此,曲线E是四个顶点为,,,的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成,如图,
所以曲线围成的图形的面积是,故选项B正确;
点,在曲线E上,则,,
,,解得,故选项C正确;
曲线E上的点到原点距离最大值为,圆能覆盖曲线E,
则,故选项D不正确．
故选：ABC．
12、答案：BC
解析：易知,点P在矩形内部（含边界）．
对于A,当时,,即此时线段,周长不是定值,故A错误;
对于B,当时,,故此时P点轨迹为线段,而,平面,则有P到平面的距离为定值,所以其体积为定值,故B正确．
对于C,当时,,取BC,中点分别为Q,H,则,所以P点轨迹为线段QH,不妨建系解决,建立空间直角坐标系如图,,,,则,,,所以或．故H,Q均满足,故C正确;
对于D,当时,,取,中点为M,N．,所以P点轨迹为线段MN．设,因为,所以,,所以,此时P与N重合,故D错误．
故选：BC.
13、答案：
解析：因为,,则,
所以,,
所以,在上的投影向量为
.
故答案为：.
14、答案：
解析：由题意可知：直线的斜率为,即,
则直线的斜率,
所以直线的方程为,即.
故答案为：.
15、答案：
解析：根据题意,在平面直角坐标系中,令点,,,
则表示坐标系中一点到点A、B、C的距离之和,
因为是等腰三角形,,
所以点在x轴负半轴上,所以与x轴重合,
令的费马点为,则P在上,则,
因为是锐角三角形,由性质（1）得,
所以,所以,所以,
到A、B、C的距离分别为,,
所以的最小值,
即为费马点P到点A、B、C的距离之和,则．
故答案为：．
16、答案：
解析：因为是正四棱柱,
以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,
设,,,,
因为,所以F是四等分点（靠近C）,
所以,所以,
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,则,故,
又,平面D1EF,
所以,即,
所以,所以,
故,
因为,,所以,故,
因为,所以在上单调递减,
所以当时,取最大值,
所以的最大值为,
当x＝2时,取最小值,所以的最小值为,
所以的取值范围是．
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）AC边所在直线的斜率为,
AC边上的高所在的直线的斜率为2.
AC边上的高所在的直线方程为,即.
（2）易知AB边的中点为,则边的中线过点和.
所以AB边的中线所在直线方程为,即.
18、答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）连接BD交AC与点O,连接OP,
ABCD为矩形,O为BD的中点,
P为DF的中点, ,
平面APC,平面APC,
平面APC.
（2）如图,以A为原点,分别以AB,AD,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
,,,,,
,,,
设平面BCF的法向量为,
,令,则,,所以,
设直线ED与平面BCF所成角为,则.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：将整理成,
令,解得,,
所以定点P为,
故不论a为何值,直线l必过一定点;
（2）由题意知,,由,
当时,,当时,,
由,得,
所以面积,解得,
此时,,,
所以的周长为,
故当面积为12时,的周长为.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）AB的斜率为,中点坐标为,
由题意得圆心C在AB的垂直平分线上,
,解得,故,半径为,
圆C的方程为;
（2）如图所示,过与直线垂直的直线方程为,
由得,两直线交于点,
则关于直线的对称点为,
由题意得反射光线过圆心C,直线的斜率为,
故直线的方程为,即.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接BD,
E,F分别是线段PB,PD的中点,,
底面四边形ABCD为正方形,,
平面ABCD,平面ABCD,,
又,PA,平面PAC,平面PAC,
,平面PAC,
又平面EFG,平面平面PAC.
（2）以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
设,,
则,,,
设平面AEF的一个法向量为,
则,令,解得：,,;
设直线AG与平面AEF所成角为,
,
解得：或（舍）,,
平面ABCD,平面ABCD,;
,,PA,平面PAB,平面PAB,
G到平面PAB的距离为,
.
22、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接,
因为为等边三角形,D是线段AC的中点,所以,
又因为平面,平面ABC,所以,
,AC,平面,所以平面,
平面,所以,
由题设可知,四边形为菱形,所以,
因为D,E分别是线段AC,的中点,所以,
所以,
又因为,BD,平面BDE,所以平面BDE.
（2）
以,,为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
设,
则所以,
平面BDE的一个法向量,
设平面FBD的一个法向量为,
所以,设,则,
所以,
设,
所以,
因为,所以二次函数在单调递增,
所以,所以,
所以锐二面角的余弦值的取值范围．