（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第九讲 一次函数及其图像与性质（强化训练）

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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第九讲 一次函数及其图像与性质
考点一 一次函数的定义 2
考点二 一次函数的图像与性质 2
考点三 一次函数解析式及函数上的点 5
考点四 一次函数与方程（组）不等式（组） 10
考点五 一次函数与几何综合 14















考点一 一次函数的定义

1．如果y＝kx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是 　k≠﹣1　．
【解答】解：∵y＝kx+x+k是一次函数，
∴k+1≠0．
故答案为：k≠﹣1．
2．要使函数y＝2xn﹣1+3是一次函数，则n的值为 　2　．
【解答】解：∵y＝2xn﹣1+n是一次函数，
∴n﹣1＝1，
∴n＝2．
故答案为：2．
3．若函数y＝（m+2）x|m|﹣1﹣5是一次函数，则m的值为 　2　．
【解答】解：根据题意得|m|﹣1＝1，
∴m＝±2，
又∵m+2≠0，
∴m≠﹣2，
∴m＝2．
故答案为：2．

考点二 一次函数的图像与性质

4．已知一次函数y1＝mx+n与正比例函数y2＝mnx（m，n为常数，mn≠0），则函数y1与y2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论一致，故本选项正确；
B、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不正确；
C、由一次函数的图象可知，m＞0，n＞0，故mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论不一致，故本选项不正确；
D、由一次函数的图象可知，m＞0，n＜0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不正确．
故选：A．
5．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣2kx+k在平面直角坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过一、二、四象限；
故选：C．
6．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣kx+k2的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，k2＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+k2的图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
7．已知y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则一次函数y＝2kx﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵y＝kx（k≠0）图象过第二、四象限，
∴k＜0，
∴一次函数y＝2kx﹣k的图象过第一、二、四象限，
故选：A．



考点三 一次函数解析式及函数上的点

1．直线y＝kx一定经过点　（0，0）　；若一次函数的图象经过原点，那么该一次函数的解析式可设为　y＝kx（k≠0）　．
【解答】解：∵y＝kx，
∴x＝0时，y＝k×0＝0，
∴直线y＝kx一定经过点（0，0）；
∵一次函数的图象经过原点，
∴该一次函数为正比例函数，
∴该一次函数的解析式可设为y＝kx（k≠0）．
故答案为（0，0）；y＝kx（k≠0）．
2．已知一次函数y＝kx+b的图象过（1，1）和（2，﹣1）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过两点A（1，1），B（2，﹣1），
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+3．

（2）∵y＝﹣2x+3与x轴、y轴交点的坐标分别为（，0）、（0，3），
∴与坐标轴围成的三角形的面积S＝×3×＝．
3．如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12．
（1）矩形OABC的周长为　16　；
（2）若C点坐标为（0，3），求线段DE所在直线的解析式．

【解答】解：（1）C△ECD＝EC+CD+DE＝4，C△EBA＝EA+AB+BE＝12，
由翻折的特性可知：DE＝DO，EA＝OA，
∴C矩形OABC＝EC+CD+DO+OA+AB+BE＝EC+CD+DE+EA+AB+BE＝C△ECD+C△EBA＝4+12＝16．
故答案为：16．
（2）∵C点坐标为（0，3），C矩形OABC＝16，
∴OC＝3，OA＝5．
设OD＝m（0＜m＜3），则DC＝OC﹣OD＝3﹣m．
在Rt△ABE中，AB＝OC＝3，EA＝OA＝5，
∴EB＝＝4，CE＝CB﹣EB＝OA﹣EB＝1．
在Rt△DCE中，DC＝3﹣m，CE＝1，DE＝OD＝m，
∴DE2＝DC2+CE2，即m2＝（3﹣m）2+12，
解得：m＝，
∴点D的坐标为（0，），点E的坐标为（1，3）．
设线段DE所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将D（0，）、E（1，3）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴线段DE所在直线的解析式为y＝x+．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3，0），点B（0，4），点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）直接写出结果：线段AB的长 　5　，点C的坐标 　（8，0）　；
（2）求直线CD的函数表达式；
（3）点P在直线CD上，使得S△PAC＝2S△OAB，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵点A（3，0），点B（0，4），
∴AB＝＝5，
∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝8，
∴C（8，，0）；
故答案为5，（8，0）；
（2）设D（0，t），则BD＝4﹣t，
∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，
∴DC＝DB＝4﹣t，
在Rt△OCD中，t2+82＝（4﹣t）2，解得t＝﹣6，
∴D（0，﹣6）；
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
把C（8，0），D（0，﹣6）分别代入得，解得，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣6；
（3）设P（m，m﹣6），
∵S△OAB＝×3×4＝6，
而S△PAC＝2S△OAB，
∴S△PAC＝12，
即×5×|m﹣6|＝12，解得m＝或，
∴P点坐标为（，﹣）或（，）．

5．如图，已知直线l经过点A（0，﹣1）与点P（2，3）．
（1）求直线l的表达式；
（2）若在y轴上有一点B，使△APB的面积为5，求点B的坐标．

【解答】解：（1）设直线l表达式为y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），
把A（0，﹣1），P（2，3）代入得：，
解得：，
则直线l表达式为y＝2x﹣1；
（2）设B坐标为（0，m），则AB＝|1+m|，
∵△APB的面积为5，
∴AB•xP横坐标＝5，即|1+m|×2＝5，
整理得：|1+m|＝5，即1+m＝5或1+m＝﹣5，
解得：m＝4或m＝﹣6，
则B坐标为（0，4）或（0，﹣6）．
6．如图，点N（0，6），点M在x轴负半轴上，ON＝3OM，A为线段MN上一点，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C．
（1）点M的坐标为　（﹣2，0）　；
（2）求直线MN的表达式；
（3）若点A的横坐标为﹣1，求四边形ABOC的面积．

【解答】解：（1）∵N（0，6），ON＝3OM，
∴OM＝2，
∴M（﹣2，0）；
故答案为：（﹣2，0）；
（2）设直线MN的函数解析式为y＝kx+b，
把点（﹣2，0）和（0，6）分别代入上式解得：k＝3，b＝6
∴直线MN的函数解析式为：y＝3x+6；
（3）把x＝﹣1代入y＝3x+6，得y＝3×（﹣1）+6＝3
∴点A（﹣1，3），
∴点C（0，3），
∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，∠BOC＝90°，
∴四边形ABOC为矩形，OB＝1，OC＝3，
∴四边形ABOC的面积＝1×3＝3，
∴四边形ABOC的面积为3．


考点四 一次函数与方程（组）不等式（组）

1．如图，一次函数y＝x+1与y＝kx+b的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1与y＝kx+b的图象交于点P（1，2），则关于x，y的方程组的解是，
故选：A．
2．如图，函数y＝3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式3x＜ax+4的解集为（　　）

A．x＜ B．x＜1 C．x＞ D．x＞1
【解答】解：把A（m，3）代入y＝3x，得：3m＝3，解得：m＝1；
根据图象可得：不等式3x＜ax+4的解集是：x＜1．
故选：B．
3．如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式0＜ax+4＜2x的解集是（　　）

A．0＜x＜ B．＜x＜6 C．＜x＜4 D．0＜x＜3
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
代入y＝ax+4得，3＝a+4，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x+4，
令y＝0，则x＝6，
∴B（6，0），
∴0＜ax+4＜2x的解集为＜x＜6．
故选：B．
4．已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3．当x＜2时，y1＞y2，则k的取值范围是（　　）
A．﹣2≤k≤1且k≠0 B．k≤﹣2
C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3，当x＜2时，y1＞y2，
∴kx+3＞x﹣3，
∴kx﹣x＞﹣6，
∴k﹣1＜0且﹣≥2且k≠0，
当k﹣1＜0时，﹣≥2时，k≥﹣2，
所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0；
当k＝1时，也成立，
故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0，
故选：A．
5．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为（　　）

A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞﹣3 D．x＜0
【解答】解：∵函数y＝kx+b图像向左平移1个单位得到平移后的解析式为y＝k（x+1）+b，
∴A（﹣3，2）向左平移1个单位得到对应点为（﹣4，2），
关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为x＞﹣4，
故选：A．
二．填空题（共3小题）
6．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则关于x+y＝　3　．

【解答】解：∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2），
∴二元一次方程组的解为，
∴x+y＝1+2＝3．
故答案为3．
7．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为　（﹣4，2）　．
【解答】解：根据题意可知：
x＝﹣4，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．
则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
8．数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程组的解是　　．

【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）
∴方程组的解是．
故答案为．

考点五 一次函数与几何综合

1．在平面直角坐标系中，原点为O，点P（m，n），已知一次函数的图象过点A（0，5），点B（﹣1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当n＝0时，求PA+PB距离最短时m的值．
（3）当点P经过直线AB时，且△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍时，求n的值．
【解答】解：（1）设这个一次函数的解析式是y＝kx+b，
把点A（0，5），点B（﹣1，4）的坐标代入得：，解得：，
所以这个一次函数的解析式是y＝x+5；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图1所示．
∵点A的坐标为（0，5），
∴点A′的坐标为（0，﹣5）．
设直线A′B的表达式为y＝ax+c，
将（﹣1，4）、（0，﹣5）代入y＝ax+c，得，
解得：，
∴直线A′B的表达式为y＝﹣9x﹣5．
当y＝0时，﹣9x﹣5＝0，
解得：x＝﹣，
∴PA+PB距离最短时m的值为﹣．
（3）如图2，∵当△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍，
∴×5×|m|＝2××1×5，
∴m＝2或m＝﹣2，
即P点的横坐标为2或﹣2，
当x＝2时，y＝x+5＝7，此时P（2，7）；
当x＝﹣2时，y＝x+5＝3，此时P（﹣2，3）；
综上所述，n的值为7或3．


2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点A（1，6）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：（1）∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，
∴k＝3，
又∵函数y＝3x+b的图象经过点A（1，6），
∴6＝3+b，
解得b＝3，
∴一次函数的解析式为y＝3x+3；
（2）在y＝3x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝﹣1；
∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴交于（0，3）和（﹣1，0），
∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 ×1×3＝．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，y＝﹣x+m的图象经过点A（4，1），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝　5　；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）直线y＝x与y＝﹣x+m交于点D，P为线段OD上的一点，过点P作EF∥y轴，交直线AB、AD于点E、F．若点P将线段EF分成1：2的两部分，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+m的图象经过点A（4，1），
∴1＝﹣4+m，
∴m＝5，
故答案为5；
（2）∵A（4，1），C为线段AB的中点，
∴，
∴yB＝﹣1，
∴B（0，﹣1），
设AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，1）、B（0，﹣1）代入得，解得，
∴AB的解析式为y＝x﹣1；
（3）设P点的横坐标是n，则P（n，n），E（n，n﹣1），F（n，﹣n+5），
∴PE＝n﹣（n﹣1）＝n+1，PF＝（﹣n+5）﹣n＝﹣2n+5，
点P将线段EF分成1：2的两部分：
当PF＝2PE时，﹣2n+5＝2（n+1），n＝1，
∴P（1，1）；
当PE＝2PF时，n+1＝2（﹣2n+5），n＝2，
∴P （2，2）．
∴P（1，1）或（2，2）．
4．如图1，直线与坐标轴分别交于A、C两点，过点C的直线交x轴于点．
（1）求直线BC的解析式并判定△ABC的形状；
（2）如图2，若点M（0，﹣3），P是直线BC上的一动点，连接PM、PA，当PM+PA的值最小时，求点P的坐标，并求出这个最小值；
（3）如图3，将直线AC向上平移a个单位，与坐标轴交于点E、F，分别以OF、EF为腰，点F为直角顶点分别在第一、二象限作等腰直角△FOH和等腰直角△FEG，连接GH交y轴于点N，求FN的长度．

【解答】解：（1）∵直线与坐标轴分别交于A、C两点，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵AC＝＝6，BC＝＝2，AB＝4，
∴AC2+BC2＝36+12＝48，AB2＝48，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
即△ABC为直角三角形．
（2）如图2，由（1）知，△ABC为直角三角形，

∴点A关于直线BC对称点A'在线段AC的延长线上，且A'C＝AC，
过点A'作A'D⊥y轴于点D，
∵∠A'CD＝∠ACO，∠A'DC＝∠AOC，A'C＝AC，
∴△A'DC≌△AOC（AAS），
∴A'D＝AO＝3，DC＝OC＝3，
∴A'（3，6），
∴PM+PA的最小值即为线段A'M的长：A'M＝＝＝6，
设直线A'M的解析式为：y＝mx+n，M（0，﹣3），
则，
解得：，
∴y＝x﹣3，
联立方程组，
解之得：
∴此时，点P（，0），
综上，PM+PA的最小值为6，此时点P（，0）；
（3）如图3，将AC向上平移a个单位后，

直线EF的解析式为：y＝x+3+a，
∴E（﹣3﹣a，0），F（0，3+a），
∴EO＝3+a，OF＝3+a，
过点G作GQ⊥y轴于点Q，
∵△FEG是以点F为顶点的等腰直角三角形，
∴EF＝FG，∠GFQ+∠EFO＝90°，
又∠FEO+∠EFO＝90°，
∴∠GFQ＝∠FEO，
∴△FQG≌△EOF（AAS），
∴FQ＝EO＝3+a，GQ＝FO＝3+a，
又∵∠GNQ＝∠FNH，∠GQN＝∠HFN，
∴△GQN≌△HFN（AAS），
∴QN＝FN，
∴NF＝FQ＝．
5．如图，已知点A（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8．
（1）直接写出b、k的值；
（2）若直线l1、l2与y轴分别交于点C、D，点P在线段BC上，满足S△BDP＝S△BDC，求出点P的坐标；
（3）若点Q是直线l2上一点，且∠BAQ＝45°，求出点Q的坐标．

【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，
解得：b＝﹣9，
∴直线l1的解析式为y＝2x﹣9，
将x＝8代入y＝2x﹣9中，
解得：y＝7，
∴点B的坐标为（8，7），
将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，得
7＝8k﹣1，
解得：k＝1，
综上：b＝﹣9，k＝1；
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥y轴于F，

∵点B的坐标为（8，7），
∴BE＝8，
∵S△BDP＝S△BDC，
∴S△CDP＝S△BDC，
∴CD•PF＝×CD•BE，
∴×8PF＝×8×8，
∴PF＝6，即点P的横坐标为6，
将x＝6代入y＝2x﹣9中，
解得：y＝3，
∴点P的坐标为（6，3）；
（3）过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作EG⊥FG于G，

∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，
∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，
∴∠EQG＝∠QAF，
∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴EQ＝QA，
在△EGQ和△QFA中，
，
∴△EGQ≌△QFA（AAS），
∴EG＝QF，QG＝AF，
设Q（a，a﹣1），
∵A（2，﹣5），
∴AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，
∴点E坐标（2a+4，1），
把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，
得4a+8﹣9＝1，解得：a＝，
∴点Q的坐标为（，﹣）．
6．在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点M（x1，y1），点N（x2，y2），则线段MN的中点坐标可以表示为（，），如图，直线y＝x+2与x轴交于A点，与y轴交于B点，点C是线段AB的中点．
（1）求点C的坐标．
（2）点D在y轴上，且CD⊥AB，求直线CD的表达式．
（3）在平面直角坐标系内，直线AB下方是否存在一点E，使得△ABE是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点E的坐标，不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与x轴交于A点，与y轴交于B点，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∴C（，），
∴C（﹣2，1）；
（2）如图，

∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
在Rt△OAB中，AB＝＝2，
∵点C是线段AB的中点，
∴BC＝，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB＝90°，
∵∠DBC＝∠ABO，
∴△DBC∽△ABO，
∴，即BD，
∴BD＝5，
∵OB＝2，
∴OD＝3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
设直线CD的表达式为y＝kx﹣3，将C（﹣2，1）代入得：﹣2k﹣3＝1，解得：k＝﹣2，
∴直线CD的表达式为y＝﹣2x﹣3；
（3）分别过点A，点B作AB的垂线，在直线AB下方截取AE1＝AB，BE2＝AB，连接BE1，AE2交于E3，

∵AE1⊥AB，BE2⊥AB，AE1＝AB，BE2＝AB，
∴△ABE1、△ABE2是等腰直角三角形，
∴∠ABE1＝∠BAE2＝45°，
∴AE3＝BE3，∠AE3B＝90°，
∴△ABE3是等腰直角三角形，
过点E1，E2作E1M⊥x轴于M，E2N⊥y轴于N，
∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵AE1＝AB，∠AME1＝∠AOB＝90°，
∴△AME1≌△BOA（AAS），
∴ME1＝OA＝4，AM＝OB＝2，
∴OM＝2，
∴点E1的坐标（﹣2，﹣4），
同理点E2的坐标（2，﹣2），
∵A（﹣4，0），
∴点E3的坐标（，），即E3（﹣1，﹣1），
综上，点E的坐标为（﹣2，﹣4）或（2，﹣2）或（﹣1，﹣1）．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|＝0．
（1）a＝　﹣2　；b＝　4　．
（2）点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°；
①若点P在x轴上，则点P的坐标为 　（4，0）　；
②若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．

【解答】解：（1）a2+4a+4+|2a+b|＝（a+2）2+|2a+b|＝0，
即：a＝﹣2，b＝4，
故答案为：﹣2，4；
（2）①由（1）知，b＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4．
∵点P在直线AB的右侧，P在x轴上，∠APB＝45°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（4，0）．
故答案为：（4，0）；
②由（1）知 a＝﹣2，b＝4，
∴A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
当∠BAP＝90°时，过点P作PH⊥x轴于H，

∴∠HAP+∠BAH＝90°，∠ABO+∠BAH＝90°，
∴∠OBA＝∠HAP，∠AOB＝∠AHP＝90°，
又∠APB＝45°，
∴AP＝AB，
∴△OBA≌△AHP（AAS），
∴PH＝AO＝2，AH＝OB＝4，OH＝AH﹣AO＝2，
故点P的坐标为（2，﹣2）；
当∠ABP＝90°时，
同理可得：点P的坐标为（4，2），
故点P的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．