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（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十二讲 二次函数及其图像与性质（强化训练）
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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第十二讲 二次函数及其图像与性质
考点一 二次函数的定义 2
考点二 二次函数的解析式 3
考点三 二次函数图形变换 5
考点四 二次函数与方程、不等式 5
考点五 二次函数系数间的关系 10
考点六 二次函数的应用 14
考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值 17
考点一 二次函数的定义
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
【解答】解：A．函数的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．函数是二次函数，故本选项符合题意；
D．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ax2+bx+c C．y＝t2﹣2t+2 D．y＝x2+
【解答】解：A、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝ax2+bx+c当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、s＝t2﹣2t+2是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝x2+分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x2﹣（x+4）（x+2） B．y＝2（x+1）（x﹣3）
C．y＝ax2+bx+c D．y＝
【解答】解：A、y＝x2﹣（x+4）（x+2）＝x2﹣x2﹣6x﹣8＝﹣6x﹣8，是一次函数，故本选项不合题意；
B、y＝2（x+1）（x﹣3）＝2（x2﹣2x﹣3）＝2x2﹣4x﹣6，是二次函数，故本选项符合题意；
C、y＝ax2+bx+c，不一定是二次函数，故本选项不合题意；
D、y＝ 的右边是分式，不是二次函数，故本选项不合题意；
故选：B．
考点二 二次函数的解析式
1．如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
∴函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，
点M坐标为（2，﹣3）；
（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），
因为AB＝5+1＝6，
且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，
所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC＝+＝36．
2．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．
【解答】解 （1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）
由题意得，解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+3，
把（1，﹣3）代入，得a（1+2）2+3＝﹣3，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（或y＝﹣x2﹣x+）．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；
（Ⅱ）求m的值；
（Ⅲ）当﹣1≤x≤5时，求y的最值（最大值和最小值）及此时x的值．
【解答】解：（Ⅰ）设y＝a（x﹣1）2﹣4，
将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得，
a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
∴这个二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4．
（Ⅱ）当x＝﹣2时，m＝（﹣2﹣1）2﹣4＝5．
（Ⅲ）当x＝1时，y有最小值为﹣4，
当x＝5时，y有最大值为（5﹣1）2﹣4＝16﹣4＝12．
4．将下列各二次函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
（1）y＝x2﹣6x﹣1（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6 （3）y＝x2+3x+10．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x﹣1＝x2﹣6x+9﹣9﹣1＝（x﹣3）2﹣10，
∴顶点（ 3，﹣10 ）；
（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6＝﹣2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝﹣2（x+1）2﹣4，
顶点（﹣1，﹣4 ）；
（3）y＝x2+3x+10＝（x2+6x+9﹣9）+10＝（x+3）2+，
顶点（﹣3， ）．
考点三 二次函数图形变换
1．把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝2x2+4x ．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
2．将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为 y＝﹣3（x+2）2﹣4 ．
【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，函数y＝﹣3x2﹣1的图象向左平移2个单位再向下平移3个单位所得到的图象的函数关系式是：y＝﹣3（x+2）2﹣4．
故答案为：y＝﹣3（x+2）2﹣4．
3．把抛物线y＝﹣x2+1向左平移3个单位，然后向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为 （﹣3，3） ．
【解答】解：将二次函数y＝﹣x2+1向左平移3个单位，然后向上平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式为：y＝﹣（x+3）2+1+2，即y＝﹣（x+3）2+3．
所以其顶点坐标是（﹣3，3）．
故答案为：（﹣3，3）．
4．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移 1或﹣3 个单位长度后经过点A（2，2）．
【解答】解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移后经过点A（2，2），
∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3﹣a）2﹣2（a为平移的单位），
则2＝（2﹣3﹣a）2﹣2，
解得：a＝1或a＝﹣3，
故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位或向右平移﹣3个单位后经过点A（2，2）．
故答案为：1或﹣3．
考点四 二次函数与方程、不等式
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+5﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围为 4≤t＜13 ．
【解答】解：∵y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+5，
∴一元二次方程x2+bx+5﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+5与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝8；
当x＝4时，y＝13；
函数y＝x2﹣2x+5在x＝1时有最小值4；
∴4≤t＜13．
故答案为4≤t＜13．
2．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ﹣3和1 ．
【解答】解：如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）．
所以一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣3和1．
故答案是：﹣3和1．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是 ②③ ．（填写序号）
【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
又∵c可以大于0，也可以小于0，
∴①不正确，
②∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，ac＜0，
∴b＝a+c，
∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣2ac＝（a﹣c）2＞0．
故②正确；
③∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，
∴抛物线的对称轴是x＝，
∴x1+x2＝﹣，
∴当x＝x1+x2时，y＝a（﹣）2+b（﹣）+c＝c．
故③正确．
故答案为：②③．
4．已知函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则m＝ 0或1或2 ．
【解答】解：（1）m＝0时，函数的图象是一条直线：y＝2x+2，
它与x轴、y轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＝0，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1；
（3）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＞0，
∴（m﹣1）2＞0，
此时函数的图象一定经过原点，
∴﹣m+2＝0，
解得m＝2；
综上，可得m的值为0或1或2．
故答案为：0或1或2．
5．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ﹣2＜x＜3 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，
观察函数图象可知：当x﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3，
即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．
故答案为﹣2＜x＜3．
6．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜1或x＞6 ．
【解答】解：由图可知，当x＜1或x＞6时，抛物线在直线的上方，
所以，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6．
故答案为：x＜1或x＞6．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，则其解析式为 y＝x2+x ．
【解答】解：y＝ax2+bx+c，对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，
∴对一切实数x恒有x≤ax2+bx+c≤2x2+，
∴当x＝0时，0≤c≤，
∵c为整数，
∴c＝0，
∴x≤ax2+bx≤2x2+，
当ax2+bx≥x时，可得ax2+（b﹣1）x≥0，
∴，
解得b＝1，
∴ax2+x≤2x2+，
∴（2﹣a）x2﹣x+≥0，
∴当a＝2时，﹣x+≥0不是对于一切x成立，故不符合题意；
当a≠2时，，
解得a≤1，
又∵a＞0且为整数，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2+x，
故答案为：y＝x2+x．
8．如图，已知二次函数y1＝x2﹣3x的图象与正比例函数y2＝x的图象在第一象限交于点A，与x轴正半轴交于点B，若y1＜y2，则x的取值范围是 0＜x＜4 ．
【解答】解：由，
解得或，
∵二次函数y1＝x2﹣3x的图象与正比例函数y2＝x的图象在第一象限交于点A，
∴A点坐标为（4，4），
若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
考点五 二次函数系数间的关系
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＜0，②2a+b＝0，③a+c＞b，④4ac﹣4a＜b2，⑤3a+c＜0中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，
对称轴x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以abc＜0，因此①正确；
对称轴为x＝1，即﹣＝1，即2a+b＝0，因此②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，因此③不正确；
由抛物线的顶点的位置可知，＞1，而a＜0，所以4ac﹣b2＜4a，即4ac﹣4a＜b2，因此④正确；
因为a﹣b+c＜0，2a+b＝0，所以3a+c＜0，因此⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，共4个，
故选：D．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【解答】解：由图象可知，a＜0，c＝1，
对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
①∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故正确；
②∵当x＝﹣1时，y＞1，
∴a﹣b+c＞1，故正确；
③abc＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故正确；
⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；
∴①②③④⑤正确，
故选：D．
3．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则下列结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＜0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞0时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＞0时，y先随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：D．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜，其中正确结论的个数是（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑤
【解答】解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，故③错误；
由图可知，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0，故④错误；
当x＝0时，y＝c＝1，
∵a+b+c＜0，b＝2a，
∴3a+1＜0，
∴a＜﹣
∴a+c＜，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是①②⑤．
故选：B．
考点六 二次函数的应用
1．某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数y（辆）与定价x（元）（x取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？最大获利多少？
【解答】解：（1）设y与x的一次函数式为y＝kx+b，由题意可知：
，解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣3x+105；
（2）设汽车美容店每天获利润为w元，由题意得：
w＝xy﹣200
＝x（﹣3x+105）﹣200
＝﹣3（x﹣17.5）2+718.75，
∵15≤x≤50，且x为整数，
∴当x＝17或18时，w最大＝718（元）．
∴定价为17元或18元时，该汽车清洗店每天获利最大，最大获利是718元．
2．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，
将点（3，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：
，
解得：．
∴函数关系式为y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x1＝40，x2＝70．
∵单价不低于成本价，且不高于50元销售，
∴x2＝70不符合题意，舍去．
∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
（3）由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+160）
＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝﹣2（50﹣55）2+1250＝1200．
∴销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1200元．
3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【解答】解：（1）∵y＝﹣5x2+20x，
∴令y＝0，得0＝﹣5x2+20x，
解得x1＝0，x2＝4，
∵4﹣0＝4（s），
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s．
（2）y＝﹣5x2+20x
＝﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x＝2时，y取得最大值，最大值为20．
∴在飞行过程中，在2s时小球飞行高度最大，最大高度是20m．
4．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣×（10﹣5）2+6＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．
又∵≈1.83＞1.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．
（1）抛物线的解析式为： y＝﹣x2+2x+3 ；
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
又∵CO＝3AO，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）由﹣x2+2x+3＝0，得B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B（3，0），C（0，3）代入得，，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），
∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝．
∴当时，PD有最大值．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？
【解答】解：（1）依题意得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x﹣3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴y＝x﹣3．
设P点坐标为（n，n﹣3），N点的坐标为（n，n﹣3），
∴PN＝n，
∵PM⊥BC，PD⊥AB，
∴∠PMN＝∠PDB，
∵∠PNM＝∠BND，
∴∠MPN＝∠OBC，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∴PM＝PN•cos∠MPN＝PN•cos∠OBC＝PN，
∴PM+PN＝PN＝﹣n＝﹣．
即当n＝2时，PM+PN的值最大，此时P点坐标为（2，﹣3）．
3．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+交y轴于点A，顶点为B．
（1）如图1，点C在抛物线上，横坐标为﹣10，求线段BC的长；
（2）在（1）的条件下，设E、F分别是x轴、y轴上的动点，当四边形BCEF周长最小时，作直线EF，设G是直线y＝﹣x上的动点，H是OG的中点，以HG为斜边构造如图2所示的等腰Rt△HRG，当△HRG与△OEF重叠部分为四边形时，求重叠四边形面积的最大值；
【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥x轴于点F，如图1，
∵y＝﹣，
∴B（﹣2，4）．
∴OD＝2，BD＝4．
∵当x＝﹣10时，y＝﹣×100﹣×（﹣10）+＝2，
∴C（﹣10，2）．
∴OF＝10，CF＝DE＝2，
∴CE＝DF＝OF﹣OD＝10﹣2＝8，BE＝BD﹣DE＝2．
在Rt△BCE中，
BC＝
（2）如图2，KR交EF于K，GH交EF于S，
作C点关于x轴对称点I，
∴I（﹣10，﹣2），作B点关于y轴的对称点J，
∴J（2，4），
连接IJ，交x轴，y轴分别于E、F，
则四边形BCEF的周长最小，
设直线EF：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
∴E （﹣6，0），F （0，3），
由x+3＝﹣x得，
x＝﹣2，
∴EF与GH的交点式（﹣2，2），
设G（x，﹣x），则H（，），R（x，﹣），
∴RH＝﹣，
当R在EF上时，
，
x＝﹣3，
∴当﹣3＜x＜﹣2时
重合的图形是四边形，设为S，
S＝S△RGH﹣S△GSK，
S△GSK＝＝x2，
∵K（x，），
∴GK＝﹣x﹣（）＝﹣x﹣3，
∴﹣S△GSK＝（﹣x﹣3）•（﹣2﹣x），
＝x2+3x+3，
∴S＝x2﹣（x2+3x+3）
＝﹣x2﹣3x﹣3，
∴当x＝﹣时，S最大＝；
备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第十二讲 二次函数及其图像与性质
考点一 二次函数的定义 2
考点二 二次函数的解析式 3
考点三 二次函数图形变换 5
考点四 二次函数与方程、不等式 5
考点五 二次函数系数间的关系 10
考点六 二次函数的应用 14
考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值 17
考点一 二次函数的定义
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
【解答】解：A．函数的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．函数是二次函数，故本选项符合题意；
D．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ax2+bx+c C．y＝t2﹣2t+2 D．y＝x2+
【解答】解：A、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝ax2+bx+c当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、s＝t2﹣2t+2是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝x2+分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x2﹣（x+4）（x+2） B．y＝2（x+1）（x﹣3）
C．y＝ax2+bx+c D．y＝
【解答】解：A、y＝x2﹣（x+4）（x+2）＝x2﹣x2﹣6x﹣8＝﹣6x﹣8，是一次函数，故本选项不合题意；
B、y＝2（x+1）（x﹣3）＝2（x2﹣2x﹣3）＝2x2﹣4x﹣6，是二次函数，故本选项符合题意；
C、y＝ax2+bx+c，不一定是二次函数，故本选项不合题意；
D、y＝ 的右边是分式，不是二次函数，故本选项不合题意；
故选：B．
考点二 二次函数的解析式
1．如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
∴函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，
点M坐标为（2，﹣3）；
（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），
因为AB＝5+1＝6，
且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，
所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC＝+＝36．
2．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．
【解答】解 （1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）
由题意得，解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+3，
把（1，﹣3）代入，得a（1+2）2+3＝﹣3，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（或y＝﹣x2﹣x+）．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；
（Ⅱ）求m的值；
（Ⅲ）当﹣1≤x≤5时，求y的最值（最大值和最小值）及此时x的值．
【解答】解：（Ⅰ）设y＝a（x﹣1）2﹣4，
将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得，
a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
∴这个二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4．
（Ⅱ）当x＝﹣2时，m＝（﹣2﹣1）2﹣4＝5．
（Ⅲ）当x＝1时，y有最小值为﹣4，
当x＝5时，y有最大值为（5﹣1）2﹣4＝16﹣4＝12．
4．将下列各二次函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
（1）y＝x2﹣6x﹣1（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6 （3）y＝x2+3x+10．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x﹣1＝x2﹣6x+9﹣9﹣1＝（x﹣3）2﹣10，
∴顶点（ 3，﹣10 ）；
（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6＝﹣2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝﹣2（x+1）2﹣4，
顶点（﹣1，﹣4 ）；
（3）y＝x2+3x+10＝（x2+6x+9﹣9）+10＝（x+3）2+，
顶点（﹣3， ）．
考点三 二次函数图形变换
1．把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝2x2+4x ．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
2．将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为 y＝﹣3（x+2）2﹣4 ．
【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，函数y＝﹣3x2﹣1的图象向左平移2个单位再向下平移3个单位所得到的图象的函数关系式是：y＝﹣3（x+2）2﹣4．
故答案为：y＝﹣3（x+2）2﹣4．
3．把抛物线y＝﹣x2+1向左平移3个单位，然后向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为 （﹣3，3） ．
【解答】解：将二次函数y＝﹣x2+1向左平移3个单位，然后向上平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式为：y＝﹣（x+3）2+1+2，即y＝﹣（x+3）2+3．
所以其顶点坐标是（﹣3，3）．
故答案为：（﹣3，3）．
4．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移 1或﹣3 个单位长度后经过点A（2，2）．
【解答】解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移后经过点A（2，2），
∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3﹣a）2﹣2（a为平移的单位），
则2＝（2﹣3﹣a）2﹣2，
解得：a＝1或a＝﹣3，
故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位或向右平移﹣3个单位后经过点A（2，2）．
故答案为：1或﹣3．
考点四 二次函数与方程、不等式
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+5﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围为 4≤t＜13 ．
【解答】解：∵y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+5，
∴一元二次方程x2+bx+5﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+5与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝8；
当x＝4时，y＝13；
函数y＝x2﹣2x+5在x＝1时有最小值4；
∴4≤t＜13．
故答案为4≤t＜13．
2．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ﹣3和1 ．
【解答】解：如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）．
所以一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣3和1．
故答案是：﹣3和1．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是 ②③ ．（填写序号）
【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
又∵c可以大于0，也可以小于0，
∴①不正确，
②∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，ac＜0，
∴b＝a+c，
∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣2ac＝（a﹣c）2＞0．
故②正确；
③∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，
∴抛物线的对称轴是x＝，
∴x1+x2＝﹣，
∴当x＝x1+x2时，y＝a（﹣）2+b（﹣）+c＝c．
故③正确．
故答案为：②③．
4．已知函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则m＝ 0或1或2 ．
【解答】解：（1）m＝0时，函数的图象是一条直线：y＝2x+2，
它与x轴、y轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＝0，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1；
（3）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＞0，
∴（m﹣1）2＞0，
此时函数的图象一定经过原点，
∴﹣m+2＝0，
解得m＝2；
综上，可得m的值为0或1或2．
故答案为：0或1或2．
5．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ﹣2＜x＜3 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，
观察函数图象可知：当x﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3，
即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．
故答案为﹣2＜x＜3．
6．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜1或x＞6 ．
【解答】解：由图可知，当x＜1或x＞6时，抛物线在直线的上方，
所以，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6．
故答案为：x＜1或x＞6．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，则其解析式为 y＝x2+x ．
【解答】解：y＝ax2+bx+c，对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，
∴对一切实数x恒有x≤ax2+bx+c≤2x2+，
∴当x＝0时，0≤c≤，
∵c为整数，
∴c＝0，
∴x≤ax2+bx≤2x2+，
当ax2+bx≥x时，可得ax2+（b﹣1）x≥0，
∴，
解得b＝1，
∴ax2+x≤2x2+，
∴（2﹣a）x2﹣x+≥0，
∴当a＝2时，﹣x+≥0不是对于一切x成立，故不符合题意；
当a≠2时，，
解得a≤1，
又∵a＞0且为整数，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2+x，
故答案为：y＝x2+x．
8．如图，已知二次函数y1＝x2﹣3x的图象与正比例函数y2＝x的图象在第一象限交于点A，与x轴正半轴交于点B，若y1＜y2，则x的取值范围是 0＜x＜4 ．
【解答】解：由，
解得或，
∵二次函数y1＝x2﹣3x的图象与正比例函数y2＝x的图象在第一象限交于点A，
∴A点坐标为（4，4），
若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
考点五 二次函数系数间的关系
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＜0，②2a+b＝0，③a+c＞b，④4ac﹣4a＜b2，⑤3a+c＜0中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，
对称轴x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以abc＜0，因此①正确；
对称轴为x＝1，即﹣＝1，即2a+b＝0，因此②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，因此③不正确；
由抛物线的顶点的位置可知，＞1，而a＜0，所以4ac﹣b2＜4a，即4ac﹣4a＜b2，因此④正确；
因为a﹣b+c＜0，2a+b＝0，所以3a+c＜0，因此⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，共4个，
故选：D．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【解答】解：由图象可知，a＜0，c＝1，
对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
①∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故正确；
②∵当x＝﹣1时，y＞1，
∴a﹣b+c＞1，故正确；
③abc＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故正确；
⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；
∴①②③④⑤正确，
故选：D．
3．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则下列结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＜0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞0时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＞0时，y先随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：D．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜，其中正确结论的个数是（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑤
【解答】解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，故③错误；
由图可知，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0，故④错误；
当x＝0时，y＝c＝1，
∵a+b+c＜0，b＝2a，
∴3a+1＜0，
∴a＜﹣
∴a+c＜，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是①②⑤．
故选：B．
考点六 二次函数的应用
1．某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数y（辆）与定价x（元）（x取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？最大获利多少？
【解答】解：（1）设y与x的一次函数式为y＝kx+b，由题意可知：
，解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣3x+105；
（2）设汽车美容店每天获利润为w元，由题意得：
w＝xy﹣200
＝x（﹣3x+105）﹣200
＝﹣3（x﹣17.5）2+718.75，
∵15≤x≤50，且x为整数，
∴当x＝17或18时，w最大＝718（元）．
∴定价为17元或18元时，该汽车清洗店每天获利最大，最大获利是718元．
2．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，
将点（3，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：
，
解得：．
∴函数关系式为y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x1＝40，x2＝70．
∵单价不低于成本价，且不高于50元销售，
∴x2＝70不符合题意，舍去．
∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
（3）由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+160）
＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝﹣2（50﹣55）2+1250＝1200．
∴销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1200元．
3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【解答】解：（1）∵y＝﹣5x2+20x，
∴令y＝0，得0＝﹣5x2+20x，
解得x1＝0，x2＝4，
∵4﹣0＝4（s），
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s．
（2）y＝﹣5x2+20x
＝﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x＝2时，y取得最大值，最大值为20．
∴在飞行过程中，在2s时小球飞行高度最大，最大高度是20m．
4．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣×（10﹣5）2+6＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．
又∵≈1.83＞1.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．
（1）抛物线的解析式为： y＝﹣x2+2x+3 ；
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
又∵CO＝3AO，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）由﹣x2+2x+3＝0，得B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B（3，0），C（0，3）代入得，，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），
∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝．
∴当时，PD有最大值．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？
【解答】解：（1）依题意得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x﹣3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴y＝x﹣3．
设P点坐标为（n，n﹣3），N点的坐标为（n，n﹣3），
∴PN＝n，
∵PM⊥BC，PD⊥AB，
∴∠PMN＝∠PDB，
∵∠PNM＝∠BND，
∴∠MPN＝∠OBC，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∴PM＝PN•cos∠MPN＝PN•cos∠OBC＝PN，
∴PM+PN＝PN＝﹣n＝﹣．
即当n＝2时，PM+PN的值最大，此时P点坐标为（2，﹣3）．
3．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+交y轴于点A，顶点为B．
（1）如图1，点C在抛物线上，横坐标为﹣10，求线段BC的长；
（2）在（1）的条件下，设E、F分别是x轴、y轴上的动点，当四边形BCEF周长最小时，作直线EF，设G是直线y＝﹣x上的动点，H是OG的中点，以HG为斜边构造如图2所示的等腰Rt△HRG，当△HRG与△OEF重叠部分为四边形时，求重叠四边形面积的最大值；
【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥x轴于点F，如图1，
∵y＝﹣，
∴B（﹣2，4）．
∴OD＝2，BD＝4．
∵当x＝﹣10时，y＝﹣×100﹣×（﹣10）+＝2，
∴C（﹣10，2）．
∴OF＝10，CF＝DE＝2，
∴CE＝DF＝OF﹣OD＝10﹣2＝8，BE＝BD﹣DE＝2．
在Rt△BCE中，
BC＝
（2）如图2，KR交EF于K，GH交EF于S，
作C点关于x轴对称点I，
∴I（﹣10，﹣2），作B点关于y轴的对称点J，
∴J（2，4），
连接IJ，交x轴，y轴分别于E、F，
则四边形BCEF的周长最小，
设直线EF：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
∴E （﹣6，0），F （0，3），
由x+3＝﹣x得，
x＝﹣2，
∴EF与GH的交点式（﹣2，2），
设G（x，﹣x），则H（，），R（x，﹣），
∴RH＝﹣，
当R在EF上时，
，
x＝﹣3，
∴当﹣3＜x＜﹣2时
重合的图形是四边形，设为S，
S＝S△RGH﹣S△GSK，
S△GSK＝＝x2，
∵K（x，），
∴GK＝﹣x﹣（）＝﹣x﹣3，
∴﹣S△GSK＝（﹣x﹣3）•（﹣2﹣x），
＝x2+3x+3，
∴S＝x2﹣（x2+3x+3）
＝﹣x2﹣3x﹣3，
∴当x＝﹣时，S最大＝；
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