03三角函数与解三角形-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份03三角函数与解三角形-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2024上·上海静安·高三统考期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第三象限
C．第一象限或第三象限D．第二象限或第四象限
2．（2019上·上海嘉定·高三统考期末）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2019上·上海静安·高三统考期末）某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（ ）
A．265米B．279米C．292米D．306米
4．（2019上·上海嘉定·高三统考期末）某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型（）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）
A．16时B．17时C．18时D．19时
5．（2019上·上海浦东新·高三统考期末）动点在圆上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间时，点的坐标是，则动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）
A．B．C．D．
6．（2018上·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）在中，若，则角的大小为
A．B．C．D．
7．（2019上·上海黄浦·高三统考期末）下列关于函数与的命题中正确的是．
A．它们互为反函数B．都是增函数
C．都是周期函数D．都是奇函数
8．（2018上·上海松江·高三统考期末）将函数的图像向下平移个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知，则 ．
10．（2023上·上海虹口·高三统考期末）已知函数，的部分图象如图所示，则 ．
11．（2023上·上海虹口·高三统考期末）双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为 ．
12．（2023上·上海虹口·高三统考期末）已知，且x为第三象限的角，则 ．
13．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则 ．
14．（2023上·上海松江·高三统考期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ．
15．（2023上·上海松江·高三统考期末）已知，，则的值为
三、解答题
16．（2024上·上海静安·高三统考期末）记，其中为实常数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值．
17．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙AB的长度为12米，（已有两面墙的可利用长度足够大），
(1)若，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；
(2)为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，△ABC的面积尽可能大.如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积.
18．（2022上·上海宝山·高三统考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)在中，角、、的对边分别为、、．若，，求的面积的最大值．
19．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）在中，角的对边分别为，.
(1)求角；
(2)若为钝角三角形，且，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解.
【详解】因为是第一象限的角，
所以，，
所以，
当时，，为第一象限角；
当时，，为第三象限角.
故选：C
2．A
【分析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解．
【详解】解：选项A.的值域为，选项B. 的值域为，选项C. 的值域为R，选项D. 的值域为．
故选：A．
【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题．
3．C
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．
【详解】如图所示，
△ABC中，AB＝1000，∠ACB＝21°+39°＝60°，∠ABC＝90°﹣39°＝51°；
由正弦定理得，，
所以AC；
Rt△ACD中，∠CAD＝18°，
所以CD＝AC•tan18°tan18°0.3249≈292（米）；
所以该塔的高度约为292米．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．
4．D
【分析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可．
【详解】解：由题意可知，时，，
由五点法作图可知：如果当时，函数取得最小值可得：，可得，
此时函数，函数的周期为：，
该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，
如果当时，函数取得最小值可得：，可得，
此时函数，函数的周期为：，
时，，如图：
该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．
5．D
【分析】先根据题意：已知时间时，点的坐标是，得，再依据每12秒运动一周得出点每秒旋转的角度，从而秒旋转，利用三角函数的定义即可得出关于的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间.
【详解】解：根据题意，
得，点每秒旋转，
所以秒旋转，，
则．
令，
解得：，
经检验：当时，，故D符合，
故选：D．
【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
6．D
【分析】由平面向量数量积的定义得出、与的等量关系，再由并代入、与的等量关系式求出的值，从而得出的大小.
【详解】，，
，由正弦定理边角互化思想得，
，，同理得，
，，则，解得，
中至少有两个锐角，且，，所以，，
，因此，，故选D.
【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.
7．D
【分析】根据正弦函数y＝sinx的性质可得A，B不正确，反正弦函数不是周期函数得C不正确．
【详解】y＝sinx在R内不存在反函数，且不具有单调性，故A，B不正确；
y＝arcsinx不是周期函数，故C不正确；
故选D．
【点睛】本题考查了反函数及函数的性质，属于基础题．
8．A
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质求得x1的最大值和x2的最小值，可得的最大值．
【详解】将函数f（x）=2的图象向下平移1个单位，
得到g（x）=2﹣1的图象，
g（x）
若g（x1）g（x2）=9，则g（x1）=g（x2）=﹣3，
则 sin（3x1）=﹣1=sin（3x2），
∵x1，x2∈[0，4π]，3x1∈[，]，3x2∈[，]，
3x2的最小值为，3x1的最大值为，
故x1的最大值为，x2的最小值为，
则的最大值为，
故答案为9．
【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9．
【分析】利用诱导公式将化简，求出，再利用二倍角公式求值.
【详解】因为，所以，所以，
所以．
故答案为：
10．
【分析】根据图象得到函数周期，进而得到的值，再结合特殊点函数值求得答案.
【详解】由题意得，函数周期为，所以，
所以，由，
得，即，
又因为，所以，所以.
故答案为：
11．/0.6
【分析】根据双曲线方程得出两条渐近线方程，由两方程斜率与倾斜角的关系结合两直线夹角范围得出夹角，根据两角差的正切公式得出夹角的正切值，即可由同角三角函数关系结合范围得出答案.
【详解】由双曲线方程可得，，，且焦点在轴上，
则双曲线的两条渐近线为，
作大致图形如下，
,
的方程为，
,则，
，
两直线的夹角范围为，
为两条渐近线的夹角，
，
则由，解得，
，
，
故答案为：.
12．/
【分析】根据已知条件求得，再结合正切二倍角公式即可求解.
【详解】因为，且x为第三象限的角，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
13．
【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出的解析式，即可求解.
【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，
则，且，得，
又，所以，
所以，又函数图象过点，
所以，由解得，
故，
所以.
故答案为：
14．
【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换求得，再次利用正弦定理求得.
【详解】由正弦定理得，即，
，
由于，所以为锐角，,
所以，
由正弦定理得，
则.
故答案为：
15．
【分析】先求得，然后利用两角差的正切公式求得正确答案.
【详解】由于，，
所以，
所以，所以.
故答案为：
16．(1)
(2)，
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案；
（2）求出，再整体换元，找出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）．
∴函数的最小正周期为．
（2），
，则．
令，则．
当或，即或时，．
当，即时，．
17．(1)35.18米；
(2)，最大面积为.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理直接计算作答.
（2）利用余弦定理建立关系，再借助均值不等式求解作答.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：
，，
所以△ABC的周长为(米).
（2）在中，由余弦定理得：，
则，即，当且仅当时取“=”，
，
所以当，即是正三角形时，，面积取得最大值.
18．(1)函数的最小正周期为，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的单调递增区间；
（2）由结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：
，
所以，函数的最小正周期为，
令，解得，
故函数的单调递增区间是.
（2）解：，即，
，则，，可得，
由余弦定理以及基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
故，即面积的最大值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）化切为弦，然后根据两角和的正弦公式化简即可求解；
（2）利用正弦定理化边为角，根据辅助角公式化为，结合角的范围利用正弦函数的性质即可求解范围.
【详解】（1）由，得，
即，所以，
又，所以，又且，所以.
（2）由正弦定理，得，
所以，所以，
因为是钝角三角形，不妨设为钝角，则，
所以，
因为，所以，所以，
所以的取值范围是.