01集合与常用逻辑用语-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份01集合与常用逻辑用语-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）已知直线m、n，平面，满足且，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
3．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）设是定义在区间上的函数，关于有下述两个命题：命题：若“对任意满足的，有”，则在上是单调递增函数；命题：若“对任意满足的，有”，则在上是单调递增函数.
则对于命题与命题的真假性判断正确的为（ ）
A．真真B．真假C．假真D．假假
4．（2024上·上海静安·高三统考期末）已知：，：，则是的（ ）
A．必要非充分条件B．充分非必要条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
5．（2019上·上海嘉定·高三统考期末）已知x∈R，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2017上·上海松江·高三统考期末）已知是R上的偶函数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2019上·上海浦东新·高三统考期末）若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分也非必要条件
8．（2019上·上海静安·高三统考期末）“三个实数成等差数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
9．（2023上·上海松江·高三统考期末）已知全集为，集合，则集合 ．
10．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）已知集合，若集合中有2个元素，则实数的取值范围是
11．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知，则 .
12．（2020下·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）若集合，，则 .
13．（2019上·上海嘉定·高三统考期末）已知集合，，则 .
三、解答题
14．（2018上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期末）设有二元关系，已知曲线.
（1）若时，正方形的四个顶点均在曲线上，求正方形的面积；
（2）设曲线与轴的交点是，抛物线与轴的交点是，直线与曲线交于，直线与曲线交于，求证直线过定点，并求该定点的坐标；
（3）设曲线与轴的交点是，，可知动点在某确定的曲线上运动，曲线上与上述曲线在时共有4个交点，其坐标分别是、、、，集合的所有非空子集设为，将中的所有元素相加（若只有一个元素，则和是其自身）得到255个数，求所有正整数的值，使得是一个与变数及变数均无关的常数.
15．（2019上·上海黄浦·高三统考期末）给定整数()，设集合，记集合．
（1）若，求集合；
（2）若构成以为首项，()为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为；
（3）若构成以为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．
16．（2013上·上海金山·高三统考期末）设集合
（1）求集合A、B
（2）若，求实数a的取值范围
参考答案：
1．C
【分析】根据指数函数的单调性解集合A，根据对数函数的单调性解集合B，结合补集的定义和运算即可求解.
【详解】由，
得，
所以.
故选：C
2．B
【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.
【详解】因为，所以，
若，则，
即“”是“”的必要条件；
如图，在长方体中，设面为面、面为面，
则，且与面不垂直，
即“”不是“”的充分条件；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．B
【分析】可以将命题、的条件等价转化为其适当的逆否命题的形式，然后结合函数单调性的定义进行判定，命题也可以直接举反例否定.
【详解】解：对于命题:
其中的条件“对任意满足的，有”等价于“对任意，若满足的，则必有”，
这符合是函数在上单调递增的定义，故命题正确；
对于命题:
[方法一] （逆否命题等价转化法）其中的条件“对任意满足的，有”等价于“对任意，若满足，则必有”，这不符合函数单调性的定义，有可能出现， 的情况，故命题错误.
[方法二]（反例法）函数，使得对任意满足的，有从而,满足“对任意满足的，有”，但在上不是单调递增函数，故命题为假命题.
故选：B.
4．B
【分析】根据充分不必要条件和分式不等式解出结果.
【详解】因为，
解得或，
根据“谁大谁必要，谁小谁充分”得出是充分不必要条件，
故选：B
5．B
【分析】利用充分、必要关系的定义，结合、之间的推出关系，即可确定答案.
【详解】由不能推出，但一定有，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
6．A
【解析】根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，函数是R上的偶函数，
若，则，则成立，即充分性成立；
若，则或，即必要性不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
7．A
【分析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.
【详解】解：当，即时，，故命题甲可推出命题乙；
当，可得或，故命题乙不可以推出命题甲,
故命题甲是命题乙的充分非必要条件，
故选：A.
【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.
8．C
【分析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可．
【详解】若“a，b，c成等差数列”，则“2b＝a+c”，即“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的充分条件；
若“2b＝a+c”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的必要条件，
综上可得：“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的充要条件，
故选：C．
【点睛】本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键．
9．
【分析】根据补集的知识求得正确答案.
【详解】由于，全集为，
所以.
故答案为：
10．
【分析】根据与的交集仅有2个元素，得到与中两解析式只有两个交点，确定出的范围即可．
【详解】因为集合，
由可得，其图象是以原点为圆心，以5为半径的右半圆，图下图，
若中有2个元素，则与半圆有2个公共点，
当直线经过点时，，
当直线与半圆相切时，可得，
解得或（舍，
故．
故答案为：．
11．/
【分析】分类讨论解含绝对值的分式不等式，求得集合，再按照集合的交集运算即可.
【详解】解：因为，所以当或，解得或，
则集合或，又，所以.
故答案为：.
12．
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】，，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
13．
【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
14．（1）4；（2）直线过定点；（3）是奇数时，是一个与变数及变数均无关的常数.
【分析】（1）令，解得，即表示两条平行直线，这两条平行线间的距离2为正方形的边长，由此可得正方形面积；
（2）曲线中，令，则，设，由韦达定理得，写出的方程求得的坐标，从而得直线的方程（只含有参数），观察方程可得直线所过定点；
（3）令，则，则，即点在曲线上，而曲线表示两条平行线且斜率为1，因此可知点关于直线对称，从而可得，同理．于是有，有，则时，，对其他244个子集配对：，满足，，这样的集合“对”共有127对。
以下证明：对的元素和和的元素和，当为奇数时，恒有，为此可用数学归纳法证明能够整除，从而得结论．
【详解】（1）令，得，即表示两条平行直线，这两条平行线间的距离为，此为正方形的边长，正方形的面积为4。
（2）在曲线中，令，则，设，由韦达定理得，由题意知，直线方程为，方程为，
由，解得，同理可得，∵，∴，∴直线方程为，化简为：，时，，故直线过定点；
（3）令，则，则，即点在曲线上，又曲线：恒表示两条平行直线，如图，
关于直线对称，则，即，同理，则，集合的所有非空子集设为，取，显然，则时，，对的其他子集，我们把它们配成集合“对”，使得，，这样的集合“对”共有127对。
以下证明：对的元素和和的元素和，当为奇数时，恒有，为此先证明：是奇数时，则能够整除，
用数学归纳法证之：
(i)当时显然成立，
(ii)假设（是奇数）成立，即能够整除，则当时，，
由归纳假设知此式能被整除，
由(i)(ii)可知当为奇数时，能够整除．
∴为奇数时，（其中是关于的整式），
∵，，∴对每一个集合“对”，，
则一定有＝0，，于是是常数．
【点睛】本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程根与系数的关系、集合的性质、中点坐标公式、对称性，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题解决问题的能力，属于难题。
15．（1）（2）见解析（3）
【分析】（1）由新定义和集合的列举法，可得所求集合；
（2）运用等差数列为递增数列，以及性质，即可得到所求个数；
（3）由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论．
【详解】（1）因为，
当时，
∴．
(2) 因为构成以为首项，()为公差的等差数列，所以有()，以及()．
此时，集合中的元素有以下大小关系：
．
因此，集合中含有个元素．
(3)由题设，．
设集合，．
①先证中的元素个数为，即从集合中任取两个元素，它们的和互不相同．
不妨设，于是．
显然．
假设，可得，即．
因为，，所以，又，于是，等式不成立．
因此，．
同理可证．
②再证．
不妨设，于是．
显然，．
假设，可得，即，
因为，所以，又，于是，等式不成立．
因此，．
由①②，得，且．
此时，集合中的元素个数为．
集合中所有元素的和为．
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式及求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
16．（1）；（2）
【分析】（1）直接解不等式得到集合.
（2）根据得到不等式计算得到答案.
【详解】（1），
（2），则满足 解得
【点睛】本题考查了求集合，根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.