10计数原理与概率统计-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份10计数原理与概率统计-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2023上·上海虹口·高三统考期末）空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下：
下列叙述正确的是（ ）
A．这20天中的中位数略大于150
B．10月4日到10月11日，空气质量越来越好
C．这20天中的空气质量为优的天数占25%
D．10月上旬的极差大于中旬的极差
2．（2023上·上海松江·高三统考期末）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是 （ ）
A．甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；
B．甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；
C．甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差；
D．乙队数据的第75百分位数为27．
3．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若事件与事件相互独立，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2019上·上海静安·高三统考期末）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.
A．B．
C．D．
5．（2020下·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）用表示个实数的和，设，，其中，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2019上·上海静安·高三统考期末）若展开，则展开式中的系数等于（ ）
A．在中所有任取两个不同的数的乘积之和B．在中所有任取三个不同的数的乘积之和C．在中所有任取四个不同的数的乘积之和D．以上结论都不对
7．（2019上·上海浦东新·高三统考期末）将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有种．
A．72B．36C．64D．81
8．（2022上·上海宝山·高三统考期末）某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（ ）
A．35B．45C．54D．63
9．（2022上·上海宝山·高三统考期末）的展开式中，的奇次幂项的系数之和为
A．B．C．D．1
二、填空题
10．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有 种。
11．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量服从的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过克的可能性为，则的值为 ． （用含的代数式表达）
12．（2024上·上海静安·高三统考期末）某果园种植了222棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28 kg，则预估该果园的苹果产量为 kg．
13．（2024上·上海静安·高三统考期末）的二项展开式中的系数为 .
14．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知事件与事件互斥，且，，则 ．
15．（2023上·上海松江·高三统考期末）有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为 ．
16．（2023上·上海虹口·高三统考期末）将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为 ．（结果用分数表示）
17．（2018上·上海虹口·高三统考期末）二项式展开式的常数项为 .
三、解答题
18．（2024上·上海静安·高三统考期末）甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．
(1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；
(2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．
19．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
20．（2011上·上海·高三统考期末）某班级在5人中选4人参加4×100米接力．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排棒次方案共有多少种．
指数值
0~50
51~100
101~150
151~200
201~300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
1
17
38
22
7
5
参考答案：
1．C
【分析】利用折线图中数据信息以及变换趋势，对选项一一分析判断即可.
【详解】对于A，由折线图知100以上有10个，100以下有10个，中位数是100两边最近的两个数的均值，观察这两个数，比100大的数离100远点，因此两者均值大于100但小于150，故A错误；
对于B，由折线图知10月4日到10月11日，越来越大，则空气质量越来越差，故B错误；
对于C，由折线图知小于50的有5天，则20天中的空气质量为优的天数占25%，故C正确；
对于D，由折线图知10月上旬的最小值与中旬的最小值差不多，但10月上旬的最大值比中旬的最大值小的多，则10月上旬的极差小于中旬的极差，故D错误；
故选：C.
2．D
【分析】根据中位数、平均数、方程、百分位数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，甲队的中位数是，乙队的中位数是，
两者相等，所以A选项错误.
B选项，甲队的平均数为，
乙队的平均数为，
两者相等，所以B选项错误.
C选项，甲队的标准差为：
，
乙队的标准差为：
，
所以甲队数据的标准差小于乙队数据的标准差，所以C选项错误.
D选项，乙队的数据为，，
所以乙队数据的第75百分位数为，D选项正确.
故选：D
3．C
【分析】先判断E与 是否为独立事件，再根据独立事件公式求解.
【详解】因为E与F是相互独立事件，所以E与 也是相互独立事件，
；
故选：C.
4．A
【分析】由题意，利用插空法，可得答案.
【详解】先排4个商业广告，则，即存在5个空，再排2个公益广告，则，故总排法：，
故选：A.
5．B
【分析】先根据等比数列前项和公式求，再利用二项式定理求解，之后根据的范围求极限即可.
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴
，
∴ ，
又 ∵ ，∴
∴ .
故选：B.
【点睛】本题考查等比数列前项和公式、二项式系数和、二项式定理和极限，考查数学运算能力.
6．A
【分析】直接利用二项式展开式的应用求出结果．
【详解】展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），
则展开式中a3的系数可以看成三个因式取a，
其余的两个因式是从的5个数中任意取两个不同的数进行乘积，再作和．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：二项式定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
7．B
【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果.
【详解】解：将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，
先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，
再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有．
【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．
8．C
【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，知高三年级学生的数量占总数的，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，高三年级被抽到的人数为21人，能求出n.
【详解】解：∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，
∴高三年级学生的数量占总数的，
∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，
∴n＝2154.
故选：C.
【点睛】本题考查分层抽样的应用，是基础题.
9．A
【解析】先将展开，再利用赋值法求出奇次幂项的系数之和.
【详解】设，
令，则，
令，则，
两式相减，整理得.
故选：A
10．8
【分析】根据题意，采用分步加法计数原理求出符合条件的即可.
【详解】两种颜色类型的，有种；
类型的，有种（两个面相邻、相对）
类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点）
因此共有8种.
故答案为：8.
11．
【分析】根据正态分布的性质直接求解即可.
【详解】由题知，，
则
.
故答案为：
12．6216
【分析】由分层抽样相关知识可得答案.
【详解】设该果园的苹果产量预估值为，则.
故答案为：6216
13．6
【分析】写出二项展开式的通项公式，按要求求出值即得.
【详解】由的二项展开式得通项为：，使，解得：，
故的二项展开式中的系数为.
故答案为：6.
14．/
【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】因为随机事件与互斥，且，，
所以.
故答案：.
15．
【分析】由分布乘法计数原理的知识结合古典概型的概率公式可解.
【详解】每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有种方式，
恰有一人连续参加两天志愿者活动有种方式，
由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为，
故答案为：.
16．
【分析】根据排列组合相关知识直接计算求解.
【详解】将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，共有种方案，
乙两人安排在同一天，共有，
所以甲、乙两人安排在同一天的概率为.
故答案为：
17．60
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数为0，求得值，即可求得常数项.
【详解】的展开式的通项公式为
，
令，可得，
所以展开式的常数项为.
故答案为：60
18．(1)0.5
(2)0.64
【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解决.
（2）分析至少有一次获胜的事件包括两次都获胜，第一次获胜第二次未获胜和第一次未获胜第二次获胜三种情况。又因为三种情况之间互斥和两盘棋之间的胜负互不影响.利用互斥事件的概率加法公式和独立事件同时发生的概率乘法公式和对立事件概率的知识求解.
【详解】（1）设事件表示甲获胜，事件表示和棋，事件表示甲不输．
则．
因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得
．
因为，
所以
（2）设事件表示甲获胜，则表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为，
则，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的.
所以
19．(1)；
(2)Y值见解析，
【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率；利用平均数公式可求前三年六月份每天平均需求量；
（2）分别求当温度大于等于25℃时，温度在[20，25）℃时，以及温度低于20℃时的利润，从而估计Y大于零的概率．
【详解】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为1+17+38＝56，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P；
前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为（瓶）；
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为600，
Y＝550×2＝1100元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为400，
Y＝400×2﹣（550﹣400）×4＝200元，
当温度低于20℃时，需求量为300，
Y＝600﹣（550﹣300）×4＝﹣400元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
，
∴估计Y大于零的概率P．
20．24
【分析】分第1棒为丙，第1棒不为丙两种情况讨论，即可得出结果.
【详解】若第1棒为丙，则有种排法；
若第1棒不为丙，则有种排法．
因此，不同的安排方案共有种.
【点睛】本题主要考查排列组合问题，属于常考题型.