2023-2024学年四川省广安市第二中学高三上学期第二次月考数学（文）试题含答案

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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】化简集合M，N，后由并集及补集定义可得答案.
详解】，则；
，则.
则或.
故选：A
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，然后再求.
【详解】由，得：，
所以：，即：，故C项正确.
故选：C.
3. 如图所示，在中，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得.
【详解】因为，
即，两边平方可得，
解得.
故选：A
5. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为，那么事件“”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知先列举出事件总数，然后解出不等式，找出满足条件的事件数，结合古典概率计算即可.
【详解】由题意第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为，
记为，则它的所有可能情况为：
共36种，
由，即，由在单调递增，
所以，所以满足条件的有：
共6种，
所以事件“”的概率为：，
故选：C.
6. 为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业､人才､文化､生态､组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的Lgistic模型：.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（参考数据：）（ ）
A. 30%B. 40%C. 60%D. 70%
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得，令，即可求解.
【详解】由题意知，当时，，则，解得，
所以，可得，所以，
当时，.
故选：B.
7. 已知变量满足，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】作出可行域，利用代数式的几何意义，利用数形结合可求得的最大值.
【详解】如图所示，作出的可行域，
联立，解得，即，
表示可行域内一点与点所在直线的斜率，
有图可知，当直线过点时，直线的斜率最大，最大为，
即的最大值为.
故选：C.
8. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数为奇函数，排除B，D，取特值可排除A，得解.
【详解】，定义域为，
又，
所以函数为奇函数，排除B，D，
又，，
，所以函数在上不是单调递增，排除A；
故选：C
9. 将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的可能值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出平移后函数解析式，然后由图象关于轴对称得出的表达式，从而得出结论．
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得函数解析式为，它的图象关于轴对称，
则，又，则，
故选：B．
10. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A. ＋＝1B. ＋＝1
C. ＋＝1D. ＋＝1
【答案】D
【解析】
【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
11. 已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（ ）
A. 该正方体外接球的体积为
B. 若是棱中点，则异面直线AM与夹角的余弦值为
C. 若点在线段上运动，则始终有
D. 若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
【答案】D
【解析】
【分析】画出正方体，根据条件逐个判断对错，动点问题优先考虑线面垂直和等体积法的应用
【详解】对于A：正方体外接球的直径为体对角线，即，所以，
所以，A正确；
对于B：如图所示，异面直线和所成角即为，
所以，所以B正确；

对于C：如图所示，连接，则，又平面，
而平面，所以，
因为，且平面，平面，
所以平面，
而平面，所以，C正确；
对于D：因为，平面，所以平面，所以直线上的点到平面距离相等，
所以，所以D错误，
故选：D
12. 已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出在两点处的切线斜率，即可得出是的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围.
【详解】根据题意可知的定义域为，所以，
易得，
由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为,
同理可得，点处切线斜率为；
又因为两条切线与直线平行，可得，即
所以是关于方程的两根，
所以，即，又
可得；
所以，由可得
即，所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数的几何意义和两直线平行的位置关系得出关于的等量关系，再根据函数定义域和韦达定理即可求得表达式的取值范围.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数（且）的图象恒过定点，则等于__________
【答案】2
【解析】
【分析】令，即可求出函数的图象恒过的定点，即可得出答案.
【详解】由，即，得，所以，
所以，
故答案为：2.
14. 已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】由向量模、数量积公式先求出，再由公式即可得解.
【详解】由题意，，
所以 .
故答案为：2.
15. 已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面为正三角形，且侧面垂直底面，若，则该四棱锥外接球的表面积为________.
【答案】##
【解析】
【分析】确定侧面外接圆半径，以及球心到平面的距离，利用勾股定理计算出四棱锥的外接球的半径，即可求出四棱锥的外接球表面积．
【详解】设球心为，半径为，三角形的中心为，连接，
因为正三角形，故为正三角形外接圆圆心，
所以平面.
又，由正弦定理得，所以，
因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以，
又侧面底面，面底面，所以平面
所以，
则，
所以四棱锥的外接球表面积为．
故答案为：.
16. 已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列命题：
①； ②函数图象关于直线对称；
③函数在上有5个零点；④函数在上为减函数．
则以上结论正确的是___________．
【答案】①②
【解析】
【分析】由题意分析的对称性 、单调性、周期性，对结论逐一判断.
【详解】根据题意，函数是上的奇函数，则；
由得，即
所以是函数的一条对称轴；
又由奇函数，则，
变形可得，则有，
故函数是周期为4的周期函数，
当，且时，都有，
则函数在区间上为增函数，又由是上的奇函数，
则在区间上单调递增；
据此分析选项：
对于①，，则，
，故①正确；
对于②，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确；
对于③，函数在上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6，故③错误；
对于④，在区间上为增函数且其周期为4，函数在上为增函数，故④错误；
故答案为：①②．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式：，.
【答案】（1）
（2）49人
【解析】
【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.
（2）根据回归直线方程计算出预测值.
【小问1详解】
由表中数据知：，
，
所以，
，
所以所求回归直线方程为.
【小问2详解】
当x=9时，（人）
18. 已知等差数列的前项和，且，.
（1）求，；
（2）设，设的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件建立基本量的方程组，求解即可；
（2）根据（1）求出并裂项即可求出，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，
所以，，.
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，
所以，
因为，所以，所以，即，
又恒成立，所以，
故的取值范围为.
19. 在中，内角所对的边分别为且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积S的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解.
（2）由余弦定理结合基本不等式、三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
由已知及正弦定理得，
所以，
所以，
，又，
，
.
【小问2详解】
根据余弦定理得，
由基本不等式得，
的面积，当且仅当时等号成立，
的面积S的最大值为．
20. 如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，点E，F分别为AD，PC的中点．

（1）证明：∥平面PBE；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，则可得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）利用等体积转化为，即可求解.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，
因为点分别为的中点，
所以且，
又因为四边形为长方形，
所以且，
则且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由平面，
则点到平面的距离等于到平面的距离，
因为平面，
所以为三棱锥的高，
由，
所以三棱锥的体积为
.

21. 已知，．
（1）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）令，（e是自然对数的底数）.求当实数a等于多少时，可以使函数取得最小值为3？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用增函数的导数不小于0可得出含参不等式，再用基本不等式即可给出所求范围；
（2）先对求导，再对分类讨论即可.
【详解】（1）函数在上是增函数，∴，在上恒成立，
即，在上恒成立，
令，当且仅当时，取等号，
∴，∴a的取值范围为．
（2），．
∴，
①当时，在上单调递减，，解得（舍去）；
②当且时，即，在上单调递减，在上单调递增，
∴，解得，满足条件；
③当，且时，即，在上单调递减，
，解得（舍去）；
综上，存在实数，使得当时，有最小值3．
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：．
（1）求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点的直线l与C相交于A，B两点，求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）消去参数得直线的普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把直线的参数方程化为标准形式，代入曲线方程，由参数的几何意义求弦长．
【小问1详解】
由于，消t得，即，
由得，∴曲线C的直角坐标方程是：
【小问2详解】
将直线l: 化为标准形式（为参数），
代入，并化简得
，设A，B对应参数为，，，,月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
90
85