2022-2023学年山东省日照市五莲县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省日照市五莲县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a的值为( )
A. 1B. −1C. ±1D. 0
3.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为
( )
A. y=5(x−2)2+1B. y=5(x+2)2+1
C. y=5(x−2)2−1D. y=5(x+2)2−1
4.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从某月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程( )
A. 300(1+x)2=260B. 300(1−x2)=260
C. 300(1−2x)=260D. 300(1−x)2=260
5.如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55°，则∠APB等于( )
A. 55°
B. 70°
C. 110°
D. 125°
6.已知二次函数y=−14x2+bx+c的图象如下，则一次函数y=−14x−2b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
7.若一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2=x1x2，则m的值是( )
A. −1B. 3C. 3或−1D. −3或1
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD.若点A(1,2)，B(2,0)，D(5,0)，则点A的对应点C的坐标是
( )
A. (2,5)B. (52,5)C. (3,5)D. (3,6)
9.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为( )
A. 5
B. 5 32
C. 5 2
D. 5 3
10.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB=( )
A. 2 2： 3B. 2： 3C. 3： 2D. 3：2 2
11.如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为( )
A. 4+2 33πaB. 8+4 33πaC. 4+ 33πaD. 4+2 36πa
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9a)，下列结论：①4a+2b+c>0；②5a−b+c=0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.若函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，则a的值为______．
14.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为______m.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=15，AD=20，P是AD边上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE⋅PF的最大值为______．
16.如图，已知等边△OA1B1，顶点A1，在双曲线y= 3x(x>0)上，点B1的坐标为(2,0)，过B1作B1A2/​/OA1，交双曲线于点A2，过A2作A2B2/​/A1B1交x轴于B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3/​/B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3/​/A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为______Bn的坐标为______．
三、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
(1)(2x−1)2=(3−x)2；
(2)x2−4x−7=0．
18.(本小题10分)
现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．
(1)将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白球的概率；
(2)小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
19.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D(0,4)，B(6,0).若反比例函数y=k1x(x>0)的图象经过线段OC的中点A(3,2)，交DC于点E，交BC于点F.设直线EF的解析式为y=k2x+b．
(1)求反比例函数和直线EF的解析式；
(2)求△OEF的面积；
(3)请结合图象直接写出不等式k2x+b−k1x>0的解集．
20.(本小题12分)
某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
(1)若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
(2)这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
21.(本小题12分)
如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
(1)求证：直线DM是⊙O的切线；
(2)求证：DE2=DF⋅DA．
22.(本小题14分)
如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,3)、B(1,0)，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC//x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是旋转对称图形，但不是中心对称图形；故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是旋转对称图形，但不是中心对称图形；故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180°后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形；对所给选项进行判断即可得解．
此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：把x=0代入方程(a+1)x2+x+a2−1=0
得a2−1=0，解得a1=1，a2=−1，
而a+1≠0，
所以a=1．
故选：A．
把x=0代入方程(a+1)x2+x+a2−1=0得a2−1=0，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律，可得答案．
【解答】
解：y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的新抛物线的表达式为y=5(x−2)2+1，
故选A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：300(1−x)2=260．
故选D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
连接OA，OB，根据圆周角定理求得∠AOB=110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【解答】
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB=55°，
∴∠AOB=110°，
∴∠APB=360°−90°−90°−110°=70°．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：二次函数y=−14x2+bx+c，
二次函数图象的对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即b<0，进一步，由对称轴为x=−1，得出b=2a=−12，
二次函数图象经过y轴正半轴可知c>0，进一步，二次函数图象经过(−3,0)，将b=−12代入，求出c=34；
联立一次函数y=−14x−2b与反比例函数y=cx得到：cx=−14x−2b，即x2−4x+3=0．
则Δ=16−12=4>0，
所以，可以确定一次函数和反比例函数的图象有2个交点；
由b<0可知，直线y=−14x−2b经过一、二、四象限，
由c>0可知，反比例函数y=cx的图象经过第一、三象限，
故选：C．
由函数图象求出b=−12，c=34，从而联立一次函数与反比例函数解析式，得出一次函数和反比例函数的图象有2个交点，并且由b、c的符号可判断出一次函数和反比例函数图象所在的象限，从而得解．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴Δ=(2m+3)2−4m2=12m+9>0，
∴m>−34，
∵x1+x2=2m+3，x1⋅x2=m2，
又∵x1+x2=x1⋅x2，
∴2m+3=m2，
解得：m=−1或m=3，
∵m>−34，
∴m=3，
故选：B．
由根与系数的关系，可得x1+x2=2m+3，x1⋅x2=m2，又由x1+x2=x1⋅x2，即可求得m的值．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba，x1x2=ca的应用．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了位似变换，坐标与图形，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．
【解答】
解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2,0)，D(5,0)，
∴OBOD=25，
∵A(1,2)，
∴C(52,5)．
故选B．
9.【答案】D
【解析】解：连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
则Rt△PBD中，PD=cs30°⋅PB= 32×5=5 32，
∴AP=2PD=5 3，
故选：D．
连接OA、OB、OP，根据圆周角定理求得∠APB=∠C=30°，进而求得∠PAB=∠APB=30°，∠ABP=120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD=PD，∠OBP=∠OBA=60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB=OA=5，解直角三角形求得PD，即可求得PA．
本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等，作出辅助性构建等边三角形是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH=BH=12AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH=∠BOH=60°，AH=BH=12AB，得出AD= 2OA，AH= 32OA，则AB=2AH= 3OA，进而得出答案．
【解答】
解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH=BH=12AB，
∵正方形ADEF和等边三角形ABC都内接于⊙O，
∴∠AOB=120°，∠AOD=90°，
∵OA=OD=OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH=∠BOH=12×120°=60°，
∴AD= 2OA，∠OAH=30°，
∴OH=12OA，
∴AH= OA2−OH2= 32OA，
∴AB=2AH=2× 32OA= 3OA，
∴ADAB= 2OA 3OA= 2 3，
故选：B．
11.【答案】A
【解析】解：连接A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4=2a，∠A1A6A5=120°，
∴∠CA1A6=30°，
∴A6C=12a，A1C= 32a，
∴A1A5=A1A3= 3a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，
以a， 3a，2a， 3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长=60⋅π⋅a180+60⋅π⋅ 3a180+60⋅π⋅2a180+60⋅π⋅ 3a180+60⋅π⋅a180，
=4+2 33πa．
故选：A．
连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2a，A1A5=A1A3= 3a，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a， 3a，2a， 3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．
本题考查了弧长公式：l=n⋅π⋅R180；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．
12.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标(−2,−9a)，
∴−b2a=−2，4ac−b24a=−9a，
∴b=4a，c=−5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax−5a，
∴4a+2b+c=4a+8a−5a=7a>0，故①正确，
5a−b+c=5a−4a−5a=−4a<0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax−5a交x轴于(−5,0)，(1,0)，
∴若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x1，x2，则x1+x22=−2，可得x1+x2=−4，
设方程ax2+bx+c=−1的两根分别为x3，x4，则x3+x42=−2，可得x3+x4=−4，
所以这四个根的和为−8，故④错误，
故选：B．
根据二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系一一判断即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
13.【答案】1
【解析】解：∵函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，
∴|a2+1|=2且a+1≠0，
解得：a=1，
故答案为：1．
根据二次函数定义可得|a2+1|=2且a+1≠0，求解即可．
本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
14.【答案】23π
【解析】解：如图，连接OA，OB，OC，
则OB=OA=OC=1m，
因此阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，
则扇形的弧长为：120π×1180m，
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
2πr=120π×1180，
解得，r=13(m)，
∴圆的周长为2πr=23π(cm)，
故答案为：23π.
求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径，从而求得底面圆的周长．
本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．
15.【答案】36
【解析】解：在Rt△ABD中，
BD= AB2+AD2= 152+202=25，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEA=∠CDA=∠PFD=90°，
又∵∠PAE=∠CAD，∠PDF=∠BDA，
∴△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，
∴PEAP=DCAC=35，PFDP=ABBD=35，
设AP=x，则PD=20−x，
∴PE=35x，PF=35(20−x)=12−35x，
∴PE⋅PF=35x×(12−35x)
=−925x2+365x
=−925(x−10)2+36，
根据二次函数的图象及性质可知，当x=10时，PE⋅PF有最大值，最大值为36，
故答案为：36．
设AP=x，则PD=20−x，通过证△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，分别用含x的代数式将PE，PF表示出来，并算出其乘积，然后用二次函数的性质求出其最大值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是会用函数思想求极值．
16.【答案】(2 6,0) (2 n,0)
【解析】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C= 3a，
OC=OB1+B1C=2+a，A2(2+a, 3a)．
∵点A2在双曲线y= 3x(x>0)上，
∴(2+a)⋅ 3a= 3，
解得a= 2−1，或a=− 2−1(舍去)，
∴OB2=OB1+2B1C=2+2 2−2=2 2，
∴点B2的坐标为(2 2,0)；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D= 3b，
OD=OB2+B2D=2 2+b，A2(2 2+b, 3b)．
∵点A3在双曲线y= 3x(x>0)上，
∴(2 2+b)⋅ 3b= 3，
解得b=− 2+ 3，或b=− 2− 3(舍去)，
∴OB3=OB2+2B2D=2 2−2 2+2 3=2 3，
∴点B3的坐标为(2 3,0)；
同理可得点B4的坐标为(2 4,0)即(4,0)；
以此类推…，
∴点Bn的坐标为(2 n,0)，
∴点B6的坐标为(2 6,0)．
故答案为(2 6,0)，(2 n,0)．
根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(2x−1)2=(3−x)2，
(2x−1)2−(3−x)2=0，
[(2x−1)+(3−x)][(2x−1)−(3−x)]=0，
∴x+2=0或3x−4=0，
∴x1=−2，x2=43；
(2)x2−4x−7=0，
x2−4x=7，
x2−4x+4=7+4，即(x−2)2=11，
∴x−2=± 11，
∴x1=2+ 11，x2=2− 11．
【解析】(1)移项，利用因式分解法求解即可；
(2)利用配方法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18.【答案】解：(1)共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种，
∴P(摸出白球)=23；
(2)根据题意，列表如下：
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种，
∴P(颜色不相同)=59，P(颜色相同)=49，
∵49<59，
∴这个游戏规则对双方不公平．
【解析】本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况数之比．
(1)根据概率公式计算即可；
(2)由列表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种，P(颜色不相同)=59，P(颜色相同)=49，49<59，所以这个游戏规则对双方不公平．
19.【答案】解：(1)∵四边形DOBC是矩形，且D(0,4)，B(6,0)，
∴C点坐标为(6,4)，
∵A点坐标为(3,2)，且点A在反比例函数y=k1x(x>0)的图象上，
∴k1=3×2=6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
把x=6代入y=6x得y=1，则F点的坐标为(6,1)，
把y=4代入y=6x得x=32，则E点坐标为(32,4)，
把F(6,1)、E(32,4)代入y=k2x+b，
得6k2+b=132k2+b=4，
解得，k2=−23b=5，
∴直线EF的解析式为y=−23x+5；
(2)∵△OEF的面积=S矩形BCDO−S△ODE−S△OBF−S△CEF
=4×6−12×4×32−12×6×1−12×(6−32)×(4−1)
=454，
∴△OEF的面积为454；
(3)由图象得不等式k2x+b−k1x>0的解集为32【解析】(1)根据反比例函数y=k1x的图象经过线段OC的中点A(3,2)，求出反比例函数解析式，根据反比例函数解析式求出E、F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式；
(2)根据△OEF的面积=S矩形BCDO−S△ODE−S△OBF−S△CEF计算即可；
(3)利用数形结合思想解答即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数的应用．
20.【答案】解：(1)设每个背包的单价为x元，根据题意得：
280−20×x−402=(680−10x)≥130，
解得：x≤55，
答：若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于55元．
(2)这种背包的销售利润不可能达到3700元，理由如下：
设销售单价为y元，则每个的销售利润为(y−30)元，月均销量为(680−10y)个，
根据题意得：(y−30)(680−10y)=3700，
整理得：y2−98y+2410=0．
∵Δ=(−98)2−4×1×2410=−36<0，
∴该方程没有实数根，
即这种背包的销售利润不可能达到3700元．
【解析】(1)设销售单价为x元，则月均销量为(680−10x)个，根据题意列出不等式解得即可；
(2)这种背包的销售利润不可能达到3700元，设销售单价为y元，则每个的销售利润为(y−30)元，月均销量为(680−10y)个，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=−36<0，可得出该方程没有实数根，即这种背包的销售利润不可能达到3700元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．
21.【答案】证明：(1)如图，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG．

∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC．
∵∠G=∠BAD，∠BDM=∠DAC，
∴∠MDB=∠G，
∵DG为⊙O的直径，
∴∠GBD=90°，
∴∠G+∠BDG=90°．
∴∠MDB+∠BDG=90°，即∠ODM=90°，
∵OD是半径，
∴直线DM是⊙O的切线；
(2)如图，连接BE．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD，∠BED=∠ABE+∠BAD，∠CBD=∠CAD，
∴∠EBD=∠BED，
∴DB=DE．
∵∠CBD=∠BAD，∠ADB=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BD2=DF⋅DA．
∴DE2=DF⋅DA．
【解析】(1)连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG，结合点E是内心可证∠BAD=∠DAC；根据∠G=∠BAD，∠BDM=∠DAC可得∠MDB=∠G，进而得到∠GDM=90°，即可得到结论；
(2)利用相似证明△DBF∽△DAB，可得到BD2=DF⋅DA，再根据已知证明∠EBD=∠BED，利用等角对等边证明DB=DE，等量代换即可得到结论．
本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
22.【答案】解：(1)如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D(3,0)，
设抛物线的解析式为：y=a(x−1)(x−3)，
把A(0,3)代入得：3=3a，
解得a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2−4x+3；
(2)如图2，∵△AOE的面积是定值，所以当△OEP面积最大时，四边形AOPE面积最大，

设P(m,m2−4m+3)，
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E(3,3)，
则OE的解析式为：y=x，
过P作PG//y轴，交OE于点G，
∴G(m,m)，
∴PG=m−(m2−4m+3)=−m2+5m−3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=12×3×3+12PG⋅AE，
=92+12×3×(−m2+5m−3)，
=−32m2+15m2，
=−32(m−52)2+758，
∵−32<0，
∴当m=52时，S有最大值是758；
(3)分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
则△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P(m,m2−4m+3)，
则−m2+4m−3=2−m，
解得：m=5+ 52(舍)或5− 52，
∴P的坐标为(5− 52,1− 52)；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2−m=m2−4m+3，
解得：m1=3+ 52(舍)或m2=3− 52，
P的坐标为(3− 52,1+ 52)
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则−m2+4m−3=m−2，
解得：m=3+ 52或3− 52(舍)；
P的坐标为(3+ 52,1− 52)；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，

同理得m2−4m+3=m−2，
解得：m=5+ 52或5− 52(舍)
P的坐标为：(5+ 52, 5+12)；
综上所述，点P的坐标是：(5+ 52, 5+12)或(5− 52,1− 52)
或(3+ 52,1− 52)或(3− 52,1+ 52).
【解析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程，解第(2)问时需要运用配方法，解第(3)问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
(1)利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
(2)设P(m,m2−4m+3)，根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
(3)分四种情况，画出图形，构造全等三角形，建立方程，即可求出点P的坐标． 红1
红2
白
白1
(白1，红1)
(白1，红2)
(白1，白)
白2
(白2，红1)
(白2，红2)
(白2，白)
红
(红，红1)
(红，红2)
(红，白)