2023-2024学年甘肃省张掖市甘州中学九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年甘肃省张掖市甘州中学九年级（上）期末数学试卷，共16页。

A．B．C．D．
2．（3分）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
3．（3分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（ ）
A．最大值﹣7B．最小值﹣7C．最大值7D．最小值7
4．（3分）正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（2，1）
5．（3分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数，则k的值是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
6．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC等于（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．x（5+x）＝6B．x（5﹣x）＝6
C．x（10﹣x）＝6D．x（10﹣2x）＝6
8．（3分）已知，且a+c＝6，则a﹣b的值是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0；②b2-4ac＞0；③a+b+c＜0；④3a+c＜0；其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x,△BDP的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二.填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）一元二次方程x（x+3）＝0的根是 ．
12．（4分）反比例函数y＝经过二、四象限，则k ．
13．（4分）已知在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝，csB=，那么∠C＝ 度．
14．（4分）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有3个，这些球除颜色外都相同，每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出m的值为 ．
15．（4分）函数y＝﹣6x2的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位所得到的图象的函数关系式是 ．
16．（4分）在阳光下，身高为1.6m的小强在地面上的影长为2m,同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为20m,则这座建筑物的高度为 m．
17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm,AB=10cm,则AE= ．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过 秒时，△PBQ与△ABC相似．
三.解答题（共10小题，共88分）
19．（6分）计算：（）0++（﹣1）2015﹣tan60°．
20．（8分）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
21．（9分）如图：反比例函数与一次函数的图象交于A（1，3）和B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当x取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值．
（3）求出△OAB的面积．
22．（8分）如图，AC=8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（2）求BD的长．
23．（8分）一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．≠
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明）
24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣3＝0．
（1）若m＝1，求此方程的解；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
25．（9分）4月10日起，阜宁南站开通了往苏锡常高铁，中国高铁事业的迅速发展是中国经济、科技快速发展的一个缩影．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程，已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）
26．（10分）如图，用总长为60m的篱笆围成一个一边靠墙（墙长32m）的矩形场地，矩形面积S（m2）随矩形的一边AB的长x（m）的变化而变化．
（1）求出S与x之间的函数关系式；
（2）当x为多少米时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少平方米？
27．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）求证：△ADF∽△DEC；
（3）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=-x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
2023-2024学年甘肃省张掖市甘州中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．【答案】B
【解答】解：由题意可得，
∴两个都是正面向上的概率为，
故选：B．
2．【答案】A
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BDAC＝3BD，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝8
故选：A．
3．【答案】A
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x+1）7﹣7中，k＝﹣3＜6，
∴二次函数y＝﹣3（x+1）7﹣7，当x＝﹣1时有最大值﹣5，
故选：A．
4．【答案】A
【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（7，
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣4，﹣2）．
故选：A．
5．【答案】D
【解答】解：因为图象在第二象限，
所以k＜0，
根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|＝2×5＝4，
所以k＝﹣4．
故选：D．
6．【答案】C
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝＝，
故选：C．
7．【答案】B
【解答】解：一边长为x米，则另外一边长为：（5﹣x）米，
由题意得：x（5﹣x）＝2，
故选：B．
8．【答案】D
【解答】解：设（k≠0），b＝3k，
∵a+c＝8，
∴2k+4k＝8，即6k＝6，
∴k＝5，
∴a﹣b＝2k﹣3k＝4﹣3＝﹣1，
故选：D．
9．【答案】C
【解答】解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0；
对称轴是直线x＝﹣＝﹣1＜0，
∴abc＞6，故选项①不符合题意；
②∵抛物线图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞4，故选项②符合题意；
③∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0；
④∵x＝6，
∴y＝a+b+c＜0，
把b＝2a代入得：8a+c＜0，故选项④符合题意，
故选：C．
10．【答案】B
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，BH＝CH＝AH＝，
当3≤x≤2时，如图1，
∵∠B＝45°，
∴PD＝BD＝x，
∴y＝•x•x＝x2；
当2＜x≤8时，如图2，
∵∠C＝45°，
∴PD＝CD＝4﹣x，
∴y＝•（4﹣x）•x＝﹣x2+3x，
故选：B．
二.填空题（每小题4分，共32分）
11．【答案】x1＝0，x2＝﹣3．
【解答】解：方程x（x+3）＝0，
可得x＝3或x+3＝0，
解得：x2＝0，x2＝﹣7．
故答案为：x1＝0，x4＝﹣3．
12．【答案】＜﹣1．
【解答】解：∵反比例函数y＝经过二，
∴k+1＜2，
∴k＜﹣1，
故答案为：＜﹣1．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵sinA＝，csB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，
∴∠C＝120°，
故答案为：120．
14．【答案】12．
【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.25，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.25，
∴＝0.25，
解得m＝12，
经检验：m＝12是原方程的解，
故答案为：12．
15．【答案】y＝﹣6（x+2）2+3．
【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知2的图象向左平移2个单位再向上平移4个单位所得到的图象的函数关系式是：y＝﹣6（x+2）5+3．
故答案为y＝﹣6（x+2）2+3．
16．【答案】16．
【解答】解：设建筑物的高度为x m，
由题意得，，
解得x＝16，
∴这座建筑物的高度为16m，
故答案为：16．
17．【答案】2cm．
【解答】解：由题意可知，AB垂直平分CD，，
∴，
在Rt△CEO中，OE＝＝，
∴AE＝OA﹣OE＝2cm．
故答案为：2cm．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，BQ＝4t，
当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB＝BQ：BC，
即（10﹣2t）：10＝8t：20，
解得t＝2.5（s）
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB＝BP：BC，
解得t＝4．
所以，经过2.5s或8s时．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，AP＝2t，BP＝10﹣2t
分两种情况：
（1）当BP与AB对应时，有，即，解得t＝2.8s
（2）当BP与BC对应时，有，即，解得t＝6s
所以经过1s或2.4s时，以P、B，
故答案为：1或2.7
三.解答题（共10小题，共88分）
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝1+2﹣6﹣×
＝7﹣3
＝﹣1．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：△ABC与△DCB全等．
证明：∵圆周角∠A，∠D所对的是同一条弦
∵AB＝CD，∴劣弧AB＝劣弧CD
∴优弧ADC＝优弧BAD
∴∠ABC＝∠BCD
又∵AB＝CD，
∴△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）．
21．【答案】（1）反比例函数的解析式是y＝，一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）当x＞1或﹣3＜x＜0；
（3）4．
【解答】解：（1）∵把A（1，3）代入y＝，
∴反比例函数的解析式是y＝，
∵把B（﹣3，n）代入y＝＝﹣1，
∴B的坐标是（﹣3，﹣1），
∵把A、B的坐标代入y＝mx+b得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）观察函数图象知，当x＞1或﹣2＜x＜0时；
（3）设直线AB交y轴于C，
∵把x＝0代入y＝x+8得：y＝2，
∴OC＝2，
∴△AOB的面积S＝S△AOC+S△BOC＝×2×7+．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形；
由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，
所以四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，
在Rt△AOB中，OB＝，
∴BD＝2OB＝6．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）从布袋里任意摸出一个小球，上面的数字恰好是“3”的概率为；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有6个，
∴两次记录的数字之和为3的概率为．
24．【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝1；
（2）m＜．
【解答】解：（1）当m＝1时，方程为x2+x﹣6＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1；
（2）由题意得，Δ＝82﹣4（m﹣5）＝﹣4m+13＞0，
∴m＜．
故m的取值范围为m＜．
25．【答案】224公里．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，
∴CD＝320公里，AD＝320，
∴BD＝CD＝320公里，BC＝320，
∴AC+BC＝640+320 ≈1088（公里），
∴AB＝AD+BD＝320+320≈864（公里），
∴1088﹣864＝224（公里），
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
26．【答案】（1）S＝﹣2x2+60x（14≤x＜30）；
（2）当x为15米时，矩形场地的面积S最大，最大面积是450平方米．
【解答】解：（1）∵AB＝x m，AB+CD+BC＝60 m，
∴BC＝60﹣2x（m），
则S＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x，
∵0＜60﹣8x≤32，
解得x≥14，
∴14≤x＜30；
（2）∵S＝﹣2x2+60x＝﹣4（x﹣15）2+450，
∴当x＝15时，S取得最大值450，
答：当x为15米时，矩形场地的面积S最大．
27．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
由（2）知△ADF∽△DEC，
∴＝，
∴DE＝＝＝12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE＝＝＝3．
28．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，4），3）两点，
∴，解得b＝6．
∴y＝﹣x2+2x+4．
设直线AB的解析式为y＝kx+n，将点A和点B的坐标代入得：，n＝3，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
（2）由题意得：OE＝t，AF＝t，
∴AE＝OA﹣OE＝3﹣t．
∵OA＝OB，∠BOA＝90°，
∴∠BAO＝45°．
∵△AEF为等腰直角三角形，∠FAE＝45°，
∴∠AEF＝90°，或∠AFE＝90°．
当∠AEF＝90°时，＝cs45°，即＝，
当∠AFE＝90°时，＝cs45°，即＝．
综上所述可知当t＝8或t＝时，△AEF为等腰直角三角形．
（3）存在．
如图所示：过点P作PC⊥x轴，垂足为C．
设点P的坐标为（a，﹣a5+2a+3），则D（a，PD＝﹣a7+2a+3﹣（﹣a+7）＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+．
∴当a＝时，PD有最大值，PD的最大值为
∴P（，）．