【专项练习】全套专题数学八年级上册 专题14 垂直平分线、角平分线及轨迹（知识精讲+综合训练）（习题及答案）

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知识精讲
知识点01 线段的垂直平分线
线段的垂直平分线：
（1）线段的垂直平分线的性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有线段的垂直平分线时，往往在线段的垂直平分线上选择适当的点添加线段；
（2）线段的垂直平分线性质定理的逆定理，是证明某个点在某条线上的一个重要方法；
（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等．
【典例分析】
1．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于E，已知，则的度数为（ ）
B．C．D．
【答案】．B
【分析】由线段垂直平分线的性质定理得，则有，再由已知即可求得．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，其中线段垂直平分线的性质定理的运用是本题的关键．
2．如图，在中，边的垂直平分线，分别与边和边交于点和点边的垂直平分线，分别与边和边交于点和点，的周长为，且，则的长为( )
A．13B．14C．15D．16
【答案】．C
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，是线段的中垂线，
∴，
∵的周长为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
3．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则为（ ）
B．C．D．
【答案】．A
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理得到，结合图形计算即可．
【详解】解：∵
∴
∵是线段的垂直平分线，
∴
∴
同理，
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
知识点02 角平分线
1、角平分线：
（1）角的平分线性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有角平分线时，往往在角的平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段；
（2）角平分线性质定理的逆定理，是证明两个角相等的一个重要方法；
（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形三条边的距离相等．
【典例分析】
4．如图，是等腰的角平分线，，，过点B作，且，连接交于点D，交于点G，点Р是线段上的动点，点Q是线段上的动点，连接、，下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】．D
【分析】①根据，，推出，结合，，推出，得到，根据三角形外角性质推出，得到，正确；②根据，平分，公用，推出，推出，根据，推出，得到，得到，正确；③根据和，得到和，根据，推出，推出，正确；④过点C作于点H，连接，，根据等腰中，推出，根据，推出点C与点G关于直线对称，得到，根据点Р是线段上的动点，点Q是线段上的动点，推出．
【详解】①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，正确；
②∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵,
∴，
∴，正确；
④过点C作于点H，连接，，
∵等腰中，，，
∴，
∵，
∴与沿直线折叠重合，
∴点C与点G关于直线对称，
∴，
∵点Р是线段上的动点，点Q是线段上的动点，
∴，正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，全等三角形 ，轴对称等，解决问题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的边角性质，角平分线定义及轴对称性，全等三角形的判断和性质．
5．如图，在中，若分别以、为边作和，且，，，、交于点，连接，则的度数为（ ）
B．C．D．
【答案】．A
【分析】先证明，得，再证明，得，则点在的平分线上，所以，再由得，即可求解．
【详解】解：如图，作于点，于点，则，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中
，
，
，
点在的平分线上，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
6．如图，在四边形中，，连接．若P是边上一动点，则长的最小值为（ ）．
A．4B．3C．2D．1
【答案】．A
【分析】由题意可证．过点作于点E．由垂线段最短可知当时，最短，即此时P点与E点重合，即的长为的最小值．再根据角平分线的性质定理可求出，即的最小值为4．
【详解】由题意可知，，
∴．
如图，过点作于点E．
由垂线段最短可知当时，最短，即此时P点与E点重合，即的长为的最小值．
∵，，
∴，
∴的最小值为4．
故选A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，垂线段最短，角平分线的性质定理．理解当时，最短是解题关键．
知识点03 轨迹
点的轨迹：符合某些条件的所有的点的集合．
三个基本轨迹：
（1）和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
（2）在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆．
【典例分析】
7．如图，将一个半径为1cm的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2020周后圆心所经过的路径长为（ ）
B．C．D．
【答案】．D
【分析】求出圆心O滚动一周路径长，可得结论；
【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为，
∴滚动2020周后圆心所经过的路径长，
故选：D．
【点睛】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个90°的弧长和一个180°的弧长．
8．如图，甲、乙、丙三人同时从点出发向点移动，甲的运动路线为一个半圆形的圆弧，乙的运动路线为两个半圆形的圆弧，丙的运动路线为三个半圆形的圆弧，若甲、乙、丙的运动速度相等，则谁先到达点（ ）
甲B．乙C．丙D．三人同时到达
【答案】．D
【分析】分别计算出三人所走的路程，即可判定．
【详解】解：甲的运动路线为一个半圆形的圆弧
甲的运动路径长
乙的运动路线为两个半圆形的圆弧，
乙的运动路径长
丙的运动路线为三个半圆形的圆弧，
丙的运动路径长
三人总路程相等，而速度也相等
三人同时到达
故选：D
【点睛】本题考查了圆的周长公式，理解题意，准确计算是解决此类题的关键．
9．如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为（ ）
B．C．D．
【答案】．B
【分析】从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，同理在AC和BC上也是相同的情况，由此求解即可．
【详解】解：从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次，第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为×3=2π．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P点的运动轨迹．
综合训练
一、单选题
1．如图，在中，平分，点E在的垂直平分线上，，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知，是的角平分线，，，则BC的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
3．如图所示，在中，，分别垂直平分和，交于点，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．下列命题：①全等三角形的对应角相等；②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等：③等腰三角形的两个底角相等其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．如图，在中，的垂直平分线与边交于点，已知与的周长分别是22和14，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．如图，在中，，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．
7．如图，在中，若分别以为边作和，且交于点P，连接，则的度数为（ ）
A．B． C．D．
8．如图，点为线段上一动点，等边、等边，下列结论中正确的有（ ）个
（1）；（2）为等边三角形；（3）平分；（4）
A．1B．2C．3D．4
9．观察图中的尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线是线段的垂直平分线
C．
D．四边形的面积为
10．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，在等腰中，，，是边上的中线，是边上的动点，是边上的动点，当取得最小值时，则______．
12．如图，，的面积为6，是的中线，，P是上的一个动点，则的最小值是___________．
13．如图，中，，，平分，下列结论：点在的垂直平分线上；；；图中的三个三角形都是等腰三角形．其中正确结论的序号是______．
14．如图，在中，，，分别是，边的垂直平分线，点、在上，则的度数为______．
15．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是_____________．
16．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为___________．
17．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在、上，点A沿折叠后与点O重合，则______．
18．如图，已知是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，与相交于点D，若，则________．
三、解答题
19．如图，在内，点、分别是点关于、的对称点，分别交、于、．
(1)若的周长是10cm，求的长．
(2)若，试求的度数．
20．在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．
(1)如图1，当点D是边的中点时，_____；
(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；
(3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值．
21．已知：在中，点在上，连接，点在上，且点为与边垂直平分线的交点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作于点，，若，，求的面积？
22．如图1，在中，平分平分与交于点O．
(1)如图1，若，
①求的度数；
②作于点F，求证：；
(2)如图2，若，则的值为____________．
参考答案：
1．C
【分析】根据平分，可得出的度数，由三角形的内角和求出；根据垂直平分线的性质得到，等边对等角，得到的度数后即可求出．
【详解】解：∵平分，，
∴，，
∵在中，，
∴，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的性质，熟练地掌握垂直平分线上的点到两边的距离相等，三角形的内角和是以及角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）是解题的关键．
2．B
【分析】过D分别作于M，于N，由角平分线可得，再由面积推导即可．
【详解】过D分别作于M，于N，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，利用角平分线上点到角两边距离相等作辅助线是解本题的关键．
3．C
【分析】由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，于是得到结论．
【详解】解：∵分别垂直平分和，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键．
4．C
【分析】根据逆命题的概念进行改写，然后再判断逆命题是否正确．
【详解】①全等三角形的对应角相等，逆命题为：对应角相等，两个三角形全等，逆命题是假命题．
②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，逆命题为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，逆命题是真命题．
③等腰三角形的两个底角相等，逆命题为：两个底脚相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题．
故选：C．
【点睛】此题考查了逆命题的概念，解题的关键熟悉逆命题并会判断是否是真假命题．
5．B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得，从而根据的周长是14，可得，然后根据的周长是22，可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
的周长是14cm，
（cm），
（cm），
（cm），
的周长是22cm，
22（cm），
（cm），
（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6．A
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交 于点P，则此时的取最小值，最小值为的长度，在中，利用 面积法可求出的长．
【详解】解：过点B作于点Q，交 于点P，如图所示：
，是的平分线，
，
垂直平分，
，
要使取最小值，则当时，为最小值，
，
又，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质以及等面积法，利用点到直线，垂线段最短找出的最小值为是解题的关键．
7．D
【分析】作于点F，于点G，先证明，得，再证明得，则点A在的平分线上，所以，再由得，即可推导出．
【详解】解：如图，作于点F，于点G，则，
，
，
在和中，
，
，
在和中
，
，
，
∴点A在的平分线上，
，
，
，
∴的度数为
故选：D．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．D
【分析】证明得出，进而判断（1）；证明得出，可得是等边三角形，即可判断（2）；根据，和边上的高相等，即点到和的距离相等，即可判断（3）；在上截取，连接，证明，得出是等边三角形，证明，进而即可判断（4）．
【详解】∵、为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故（1）正确，
在与中，
，
∴，
∴，
又
∴是等边三角形，故（2）正确；
∵，
∴和边上的高相等，
即点到和的距离相等，
∴平分，所以（3）正确；
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴,，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，
即，故（4）正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
9．D
【分析】根据线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得出结论．
【详解】解：由作图痕迹知，垂直平分，
，，
又，
，
，
，
四边形ADBC的面积为，
故选项A，B，C中的结论正确；D中的结论错误．
故选D．
【点睛】本题考查垂直平分线的作图方法和性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图痕迹得出垂直平分．
10．C
【分析】过作于，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：过作于，
是边上的高线，平分，
，
，
的面积为．
故选C．
【点睛】考查了三角形的面积和角平分线性质，能根据角平分线性质求出是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
11．##度
【分析】根据是等腰三角形，是边上的中线，得到，连接，
得到当、、在同一直线上，且时，取最小值，即可求出的度数．
【详解】解：连接，如图．
，
是边上的中线，
垂直平分线段，
，
当、、在同一直线上，且时，取最小值．
，
，

故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，垂线段最短等知识，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解题关键．
12．3
【分析】连接，证明，得到，进而推出的最小值为长度，再根据三角形面积求出长，即可得到的最小值．
【详解】解：连接，
，
是等腰三角形，
是的中线，
，
，
，
三点共线时，有最小值，最小值为长度，
，，
，
，
，
的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了对称轴—最短问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
13．
【分析】根据三角形内角和定理证明，可得在的垂直平分线上，进而可以判断正确；在上截取，连接，证≌，推出，，求出，即可判断；然后判断、、都是等腰三角形，进而可得正确．
【详解】解：在中，，，
，
平分，
，
，
，
在的垂直平分线上，故正确；
如图，在上截取，连接，
在和中
，
≌，
，，
，
，
，
，故正确；
，，，
，故错误；
，，，
、、都是等腰三角形，故正确；
正确结论的序号是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．
14．##20度
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质、结合图形计算，得到答案．
【详解】解：，
，
，分别是，边的垂直平分线，
，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．##85度
【分析】由作图痕迹可知，是线段的中垂线，是的角平分线，根据中垂线的性质以及角平分线平分角，结合三角形的内角和是，进行求解即可．
【详解】解：由题意知：是线段的中垂线，是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查中垂线的性质，含角平分线的三角形的内角和问题，以及外角的性质．熟练掌握中垂线和角平分线的作图，根据痕迹判断出是中垂线和是角平分线，是解决本题的关键．
16．
【分析】根据题中尺规作图可知是线段的中垂线，从而，则的周长为即可得到答案．
【详解】解：在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，连接，
是线段的中垂线，
，
，
，，
的周长为．
【点睛】本题考查尺规作图-中垂线及三角形的周长，熟练掌握中垂线的尺规作图方法和中垂线性质是解决问题的关键．
17．##20度
【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出， ，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得．
【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，即，
∴，
∵，平分，
由三线合一的性质可得：垂直平分，
∴，即，
由折叠的性质可知：，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．
18．160°##160度
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，，再由，，求解即可．
【详解】连接，
∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，
∴
∴，
∴，
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的等边对等角性质，利用垂直平分线得到等腰三角形是解题的关键．
19．(1)10cm
(2)
【分析】（1）根据轴对称的性质可得，然后求的周长；
（2）结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质推出，，同理，则．
【详解】（1）解：∵M、N分别是点P关于的对称点，
∴，
又∵的周长为10cm，
即cm，
∴cm，
即．
（2）解：如图：
连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)16
【分析】（1）过A作于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作于E，于F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案．
【详解】（1））过A作于E，
∵点D是边上的中点，
∴，
∴
故答案为：；
（2）过D作于E，于F，
∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴；
（3）∵，
∴由（1）知：，
∵，
∴，
∵，平分，
∴由（2）知：，
∴，
∴，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
21．(1)见详解
(2)的面积为5
【分析】（1）连接、，由题意易得，则有，，，然后根据三角形内角和及角的和差关系可求证；
（2）作，使，点M在直线上，过点D作于点N，则，先根据得到和，再结合（1）的结论证明，进一步证明以及，最后根据“”证明，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：连接、，如图所示：
∵点为与边垂直平分线的交点，
∴，
∴，，，
在中，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作，使，点M在直线上，过点D作于点N，则，如图所示：
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22．(1)①②见解析
(2)
【分析】（1）①利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可；
②过点O作于点M，于点N，连接．证明．得到．再证明．得到．即可得到结论；
（2）
【详解】（1）解：在中，．
∵平分，平分，
∴．
∴．
在中，．
（2）过点O作于点M，于点N，连接．
∵平分，，，
∴，．
∵平分，，
∴，．
∴，．
由（1）得：．
∴．
在四边形中，．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
（3）．