广东省广州市增城区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试卷

这是一份广东省广州市增城区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试卷，共18页。

A．B．
C．D．
2．（3分）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．足球比赛中梅西罚进点球
B．小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒
C．今年成都12月份下雪
D．我校初一年级有7个班，8个我校初一年级同学中至少有两个同学同班
3．（3分）在反比例函数y=1−kx图象的每一个象限内，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k＞1C．k≥1D．﹣1≤k＜1
4．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，将△ABC绕着B点逆时针旋转40°，到△BDE的位置，则∠a的度数是（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
5．（3分）分式方程3x+1=2x−1的解是（ ）
A．x＝5B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝﹣5
6．（3分）两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程为（ ）
A．x（x+2）＝195B．（2x+1）（2x﹣1）＝195
C．x（x+1）＝195D．x（x﹣2）＝195
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，0），四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆上，则FC的长为（ ）
A．52πB．5πC．5π2D．5π
8．（3分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，CD是⊙O的一条弦，且CD∥AB，连接AC．若⊙O的半径为2，CD=23，则阴影部分的面积为（ ）
A．4π3−3B．4πC．42π−3D．23π−33
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）
A．1：1B．2：1C．3：1D．4：1
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+m（m＜0）交y轴于点C，过点C作线段CB∥x轴交于点B，过点B作线段BA⊥x轴于点A，当△ABC为等腰直角三角形时，m的值是（ ）
A．−23B．−43C．﹣2D．﹣4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果⊙A的直径为6cm，且点B在⊙A上，则AB＝ cm．
12．（3分）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，则△ABC与△DEF的相似比是 ；△DEF与△ABC的相似比是 ．
13．（3分）一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是 ．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值 ．
15．（3分）如图，点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，过点A作x轴，y轴的垂足分别为点B，C，若AB＝1.5，AC＝4，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）运用平方差，完全平方公式解方程：
（1）16（x﹣1）2＝225
（2）4x2﹣4x+1＝x2﹣6x+9
（3）9（x+1）2＝4（x﹣1）2
（4）x2﹣4x+4＝（3﹣2x）2
18．（4分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，S△AOD＝S△BOC．
（1）求证：DOOB=COOA；
（2）设△OAB的面积为S，CDAB=k，求证：S四边形ABCD＝（k+1）2S．
19．（6分）如图，是由两个半圆组成的图形，点O是大半圆的圆心，AB是大半圆的直径，OA是小半圆的直径，点C是OB的中点．画出这个图形关于点C成中心对称的图形．
20．（6分）某公司在六一儿童节来临之际，为员工子女准备了价格不同的三种礼物，员工通过抽签的方式随机选择礼物类型：将A（书包）、B（滑板鞋）、C（儿童手表）分别写在无差别的三个乒乓球上，将其放在不透明的盒子中摇匀，员工老李先从中随机摸出一个球，记下结果后放回摇匀，再由老张从中随机摸出一个，记下结果后放回．
（1）老李没有抽中“书包”是 事件，老张抽中“笔记本电脑”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；老李抽中“滑板鞋”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出老李和老张抽中相同礼物的概率．
21．（8分）如图，已知矩形ABCD．根据以下作图过程，解答下列问题：
①连接BD；
②分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；
③作直线EF，分别交AD，BD，BC于点G，O，H；
④连接BG，HD；
⑤以O为圆心，AB为直径作⊙O．
（1）求证：四边形BHDG是菱形；
（2）求证：DH为⊙O的切线．
22．（10分）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部点O离水面的距离；
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，设其中一条彩带与支柱OH的水平距离为dm，当这条彩带的长度小于209m时，求d的取值范围．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在y轴上，AC∥x轴，点C的坐标为（4，6），AB＝3，将△ABC向下方平移，得到△DEF，且点A的对应点D落在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B的对应点E落在x轴上，连接OD，OD∥BC．
（1）求证：四边形ODFE为平行四边形；
（2）求反比例函数y=kx(x＞0)的表达式；
（3）求△ABC平移的距离及线段BC扫过的面积．
24．（12分）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（8，0）与点B（10，﹣5），点F是x轴上方抛物线上的一个动点，过点F分别作x轴，y轴的平行线，与抛物线交于另一点E，与直线OB交于点C．再过点C作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两条平行线交于点D．点F的横坐标为m，且0＜m＜4．
（1）求出抛物线与直线OB的函数关系表达式；
（2）当四边形FCDE是正方形时，求出点F的坐标；
（3）在满足（2）的条件下，在直线OB上取一点P，连接PF．将线段PF以点P为中心，顺时针方向旋转90°，点F的对应点为Q．当点Q正好落在抛物线上时，直接写出这时点P的坐标．
25．（12分）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD．
（1）如图1，求∠ADB的大小；
（2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB．
（i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD；
（ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值．
2023-2024学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A、是中心对称图形，不合题意；
B、不是中心对称图形，符合题意；
C、是中心对称图形，不合题意；
D、是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
2．【解答】解：A、足球比赛中梅西罚进点球，是随机事件，选项不合题意；
B、小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒属于不可能事件，选项不合题意；
C、今年成都12月份下雪是随机事件，选项不合题意；
D、我校初一年级有7个班，8个我校初一年级同学中至少有两个同学同班是必然事件，符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：∵在反比例函数y=1−k2图象的每一个象限内，y都随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，即k＞1，
故选：B．
4．【解答】解：如图，设AC，BD相交于O，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转40°，到△BDE的位置，
∴∠DBA＝40°，∠D＝∠A＝30°，
∵∠AOB+∠A+∠ABD＝∠COD+∠D+∠α＝180°，
而∠AOB＝∠COD，
∴∠α＝∠ABD＝40°．
故选：A．
5．【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
3（x﹣1）＝2（x+1），
解得x＝5．
检验：当x＝5时（x+1）（x﹣1）≠0．
∴x＝5是原方程的解．故选：A．
6．【解答】解：设较大的奇数为x，根据题意得x（x﹣2）＝195，
故选：D．
7．【解答】解：设点A（a，0），则AB＝2﹣a，
根据题意可得，
BC＝AB＝2﹣a，
在Rt△OBC中，
OC2＝OB2+BC2＝22+（2﹣a）2＝8﹣4a+a2，
∵OE＝OC，
在Rt△OAE中，AE＝AG＝2a，
∴OE2＝OA2+AE2，
∴8﹣4a+a2＝a2+（2a）2，
解得：a＝1，a＝﹣2（舍去），
∴点A（1，0），AB＝1，
∴OC=22+12=5，
在△OBC和△EGO中，
OB=FG=2∠EGO=∠OBC=90°GO=BC=1，
△OBC≌△EGO（SAS），
∴∠EOG＝∠OCB，
∵∠COB+∠OCB＝90°，
∴∠COB+∠FOG＝90°，
∴∠FOC＝90°，
∴弧FC的长=nπr180=90π×5180=52π．
故选：A．
8．【解答】解：如图所示，过点O作EF∥AB，作OH⊥CD于H，则点H是CD的中点，
∵直线AB与⊙O相切于点A，CD∥AB，
∴A，O，H在同一条直线上，且AB∥EF∥CD，
∴CH=DH=12CD=12×23=3，
在Rt△COH中，CO＝2，
∴OH=CO2−CH2=22−(3)2=1，
∴∠OCH＝30°，
∵AB∥EF∥CD，
∴∠HCO＝∠COF＝30°，∠FOA＝∠OAB＝90°，
∴∠AOC＝120°，
∴S扇形OAC=120360×π×22=43π，S△COH=12OH⋅CH=12×1×3=32，S△ACH=12CH⋅AH=12×3×(1+2)=332，
∴S△OAC=S△ACH−S△OCH=332−32=3，
∴阴影部分的面积为S扇形OAC−S△OAC=43π−3，
故选：A．
9．【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，A（﹣6，4），C（3，﹣2），
∴△OAB与△OCD的位似比为：6：3＝2：1，
则△OAB与△OCD的面积之比为：22：1＝4：1．
故选：D．
10．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m（m＜0）交y轴于点C，
∴C（0，m），
∴OC＝﹣m，
∵CB∥x轴，BA⊥x轴，
∴AB＝OC＝﹣m，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC＝AB，
∴B（﹣m，m），
∵B在抛物线y＝x2﹣2x+m（m＜0）上，
∴m＝（﹣m）2+2m+m，
解得m1＝﹣2，m2＝0（舍去），
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：如图：
∵点B在⊙A上，
∴AB为半径，
∴AB=12直径＝3cm，
故答案为：3．
12．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，
∴△ABC与△DEF的相似比＝AB：DE＝1：2，△DEF与△ABC的相似比＝DE：AB＝2：1，
故答案为：1：2；2：1．
13．【解答】解：根据题意得：
8n=0.4，
解得：n＝20，
则n大约是20个；
故答案为：20．
14．【解答】解：
∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（﹣2k）2﹣4＝0，解得k＝±1，
故答案为：±1．
15．【解答】解：∵S矩形ABOC＝AB•AC＝1.5×4＝6，
∴|k|＝6，
∵图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为﹣6．
16．【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB=OA2+OB2=5，
∵AB＝AB′＝5，
∴OB′＝8，
∴B′（8，0），
故答案为（8，0）．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．【解答】解：（1）16（x﹣1）2﹣152＝0，
所以[4（x﹣1）+15][4（x﹣1）﹣15]＝0，
即4x+11＝0，4x﹣19＝0，
得x1=−114，x2=194．
（2）方程变为（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，
所以[（2x﹣1）+（x﹣3）][（2x﹣1）﹣（x﹣3）]＝0，
即3x﹣4＝0，x+2＝0，
得x1=43，x2＝﹣2．
（3）原方程变为[3（x+1）]2﹣[2（x﹣1）]2＝0，
所以[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]＝0，
即（5x+1）（x+5）＝0，
得x1=−15，x2＝﹣5．
（4）（x﹣2）2＝（3﹣2x）2．
（x﹣2）2﹣（3﹣2x）2＝0，
（x﹣2+3﹣2x）（x﹣2﹣3+2x）＝0，
（1﹣x）（3x﹣5）＝0，
所以x1＝1，x2=53．
18．【解答】证明：（1）∵S△AOD＝S△BOC，
∴S△AOD+S△AOB＝S△BOC+S△AOB，即S△ADB＝S△ACB，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△BOA，
∴DOOB=COOA；
（2）∵△DOC∽△BOA
∴CDAB=DOBO=COAO=k，S△CODS△AOB=(CDAB)2=k2，
∴DO＝kOB，CO＝kAO，S△COD＝k2S，
∴S△AOD＝kS△OAB＝kS，S△COB＝kS△OAB＝kS，
∴S四边形ABCD＝S+kS+kS+k2S＝（k+1）2S．
19．【解答】解：如图，两个虚线的半圆即为这个图形关于点C成中心对称的图形．
20．【解答】解：（1）∵有A（书包）、B（滑板鞋）、C（儿童手表）三种礼物，
∴老李没有抽中“书包”是随机事件，老张抽中“笔记本电脑”是不可能事件，老李抽中“滑板鞋”的概率为13．
故答案为：随机；不可能；13．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，分别为（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），
其中老李和老张抽中相同礼物的结果有3种，
∴老李和老张抽中相同礼物概率为39=13．
21．【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
由作图过程可知：EF是BD的垂直平分线，
∴GB＝GD，GH⊥BD，
∴△GDO≌△HBO（ASA），
∴DG＝BH，
∵DG∥BH，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∵GB＝GD，
∴四边形BHDG是菱形；
（2）如图，过点O作OM⊥AD，ON⊥DH于点M，N，
∵四边形BHDG是菱形，
∴∠MDO＝∠NDO，
∵OM⊥AD，ON⊥DH，
∴OM＝ON，
∵OM是圆O的半径，
∴ON是圆O的半径，
∴DH为⊙O的切线．
22．【解答】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2，
将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，
解得a1=−124，
∴y1=−124x2，
当x＝12时，y1=−124×122＝﹣6，
∴桥拱顶部离水面高度为6m；
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，
将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2=112，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2=112（x﹣6）2+1，
同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3=112（x+6）2+1，
②设彩带的长度为L m，
则L＝y2﹣y1=112（x﹣6）2+1﹣（−124x2）=18x2﹣x+4=18（x﹣4）2+2，
∵这条彩带的长度小于209m，
∴18（x﹣4）2+2＜209，
解得83＜x＜163．
∴d的取值范围83＜d＜163．
23．【解答】（1）证明：由平移的性质，可知：BC∥EF，AC∥DF，AB∥DE，
∵AC∥x轴，且OE在x轴上，
∴AC∥OE，
∴DF∥OE．
∵OD∥BC，BC∥EF，
∴OD∥EF，
∴四边形ODFE为平行四边形；
（2）解：连接CD，如图1所示．
∵四边形ODFE为平行四边形，
∴OD＝EF＝BC，
又∵OD∥BC，
∴四边形BCDO是平行四边形，
∴CD＝OB，CD∥AB，
∵DE∥AB，
∴C，D，E三点共线．
∵AC∥x轴，OE在x轴上，CE∥AO，
∴四边形ACEO是平行四边形，
∴OE＝AC．
∵点C的坐标为（4，6），AB＝3，
∴OE＝AC＝4，DE＝AB＝3，
∴点D的坐标为（4，3）．
∵点D在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数的表达式为y=12x（x＞0）；
（3）解：连接BE，CF，如图2所示．
在Rt△BOE中，OB＝OA﹣AB＝6﹣3＝3，OE＝4，
∴BE=OB2+OE2=32+42=5，
∴△ABC平移的距离为5．
∵BC∥EF，BC＝EF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴S▱BCFE＝2S△BCE＝2×12CE•OE＝2×12×6×4＝24，
∴线段BC扫过的面积为24．
24．【解答】解：（1）把A（8，0），B（10，﹣5）代入y＝ax2+bx，得：
64a+8b=0100a+10b=−5，
解得a=−14b=2，
∴抛物线的解析式为y=−14x2+2x，
设直线BC的解析式为y＝kx，把点B（10，﹣5）代入，得：
10k＝﹣5，解得k=−12．
∴直线OB的解析式为y=−12x；
（2）∵y=−14x2+2x=−14（x﹣4）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝4，
设点F（m，−14m2+2m），则点C的坐标为（m，−12m），
∴FC＝（−14m2+2m）﹣（−12m）=−14m2+52m，
根据抛物线的轴对性知EF＝2（4﹣m），
∵四边形FCDE是正方形时，
∴EF＝FC，即−14m2+52m=2（4﹣m），
解得m1＝2，m2＝16（不合题意，舍去），
当m＝2时，−14m2+2m＝3，
∴点F的坐标为（2，3）；
（3）过P作HG∥x轴交FC延长线于H，过Q作QG⊥HG于G，如图：
设P（t，−12t），由（2）知F（2，3），
∵将线段PF以点P为中心，顺时针方向旋转90°，点F的对应点为Q，
∴FP＝GP，∠FPG＝90°，
∴∠FPH＝90°﹣∠QPG＝∠PQG，
∵∠H＝∠G＝90°，
∴△FHP≌△PGQ（AAS），
∴PH＝t﹣2＝QG，FH＝3﹣（−12t）＝3+12t＝PG，
∴Q（t+3+12t，−12t+t﹣2），即（32t+3，12t﹣2），
∵点Q正好落在抛物线y=−14x2+2x上，
∴12t﹣2=−14（32t+3）2+2（32t+3），
解得t=2+8139或t=2−8139，
∴P（2+8139，−1−4139）或（2−8139，−1+4139）．
25．【解答】（1）解：∵M是AB的中点，
∴MA＝MB，
由旋转的性质得：MA＝MD＝MB，
∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，
∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD＝180°，
∴∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°，
即∠ADB的大小为90°；
（2）（i）证明：∵∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵ME⊥AD，
∴ME∥BD，
∵ED∥BM，
∴四边形EMBD是平行四边形，
∴DE＝BM＝AM，
∴DE∥AM，
∴四边形EAMD是平行四边形，
∵EM⊥AD，
∴平行四边形EAMD是菱形，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴A、C、D、B四点共圆，
∵∠BCD＝∠CAD，
∴BD=CD，
∴BD＝CD；
（ii）解：如图3，过点E作EH⊥AB于点H，
则∠EHA＝∠EHB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵四边形EAMD是菱形，
∴AE＝AM=12AB＝5，
∴sin∠CAB=BCAB=610=35，
∴EH＝AE•sin∠CAB＝5×35=3，
∴AH=AE2−EH2=52−32=4，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣4＝6，
∴tan∠ABE=EHBH=36=12，
即tan∠ABE的值为12．