安徽省铜陵市铜官区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

这是一份安徽省铜陵市铜官区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣3y+1B．3x+y＝z
C．x2﹣5x＝1D．x2﹣ 1x +2＝0
2．下列图形中，成中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）
C．（1，﹣3）D．（1，3）
4．下列成语所描述的是随机事件的是（ ）
A．竹篮打水B．瓜熟蒂落C．海枯石烂D．不期而遇
5．对于双曲线y= 1−mx ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为（ ）
A．m>0B．m>1C．m<0D．m<1
6．若 x=−1 是关于x的一元二次方程 ax2+bx+2=0(a≠0) 的一个根，则 2021−2a+2b= （ ）
A．2025B．2023C．2019D．2017
7．二次函数 y=x2+4x+5 的图象可以由二次函数 y=x2 的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°．将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（ ）
A．55°B．50°C．65°D．60°
9．如图，正六边形ABCDEF内接于 ⊙O ，已知 ⊙O 的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2B．1C．3D．32
10．已知点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），若抛物线y＝x2﹣ax+a+1与线段AB有两个不同的交点（包含线段AB端点），则实数a的取值范围是（ ）
A．−32 ≤a＜﹣1B．−32 ≤a≤﹣1
C．−32 ＜a＜﹣1D．−32 ＜a≤﹣1
二、填空题
11．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数 ，则数3被抽中的概率为 ．
12．已知点 A(x−2,3) 与 B(x+4,y−5) 关于原点对称，则 xy 的值是 .
13．如图，AB是 ⊙O 的弦，AC与 ⊙O 相切于点A，连接OA，OB，若 ∠AOB=130° ，则 ∠BAC= ．
14．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝ kx (k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为 ．
15．已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，下列5个结论：①abc>0 ；②4a+2b+c>0 ；③(a+c)2>b2 ；④2c<3b ；⑤a+b>m(am+b) （ m≠1 的实数）．其中正确的结论有 ．（填写序号）
三、解答题
16．解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x﹣4）＝12﹣3x．
17．已知 A(a，−2a) 、 B(−2，a) 两点是反比例函数 y=mx 与一次函数 y=kx+b 图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式 kx+b−mx>0 的解集．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=5，BC=6，求DE的长．
19．抛物线 y=−x2+x+b 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为 (2，0) ．
（1）求实数b的值；
（2）若点D是抛物线在第一象限内图象上的点，求 △CBD 面积的最大值，及此时点D的坐标．
20．为了解疫情期网学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”、“良好”、“一般”、“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
21．某服装厂生产 A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发 A 品牌服装 x 件时，批发单价为 y 元， y 与 x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数 x 为10的正整数倍．
（1）当 100≤x≤300 时， y 与 x 的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发 A 品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发 A 品牌服装 x(100≤x≤400) 件，服装厂的利润为 w 元，问： x 为何值时， w 最大？最大值是多少？
22．边长为4的正方形ABCD绕顶点A，按顺时针方向旋转至正方形 AB1C1D1 ，记旋转角为 α ．
（1）如图1，当 α=60° 时，求弧 CC1 的长度和线段AC扫过的扇形面积；
（2）如图2，当 α=45° 时，记BC与 D1C1 的交点为E，求线段 D1E 的长度；
（3）如图3，在旋转过程中，若F为线段 CB1 的中点，求线段DF长度的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、它不是方程，故此选项不符合题意；
B、该方程是三元一次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”即可判断求解.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，故符合题意；
C、 不是中心对称图形，故不符合题意；
D、 不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+3是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，3）.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k）并结合已知的解析式可求解.
4．【答案】D
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A、竹篮打水，是不可能事件；
B、瓜熟蒂落，是必然事件；
C、海枯石烂，是不可能事件；
D、不期而遇，是随机事件；
故答案为：D．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵双曲线y= 1−mx ，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴1-m＞0，
解得：m＜1．
故答案为：D．
【分析】根据当x＞0时，y随x的增大而减小，可得1-m>0，求解即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】将x= −1代入一元二次方程 ax2+bx+2=0(a≠0) 得：
a−b+2=0 ，
即 a−b=−2 ，
2021−2a+2b=2021−2(a−b)=2021−2×(−2)=2025 ，
故答案为：A．
【分析】将x= −1代入一元二次方程 ax2+bx+2=0(a≠0) ，再整体代入计算即可。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2+4x+5=(x+2)2+1 ，
∴y=x2+4x+5=(x+2)2+1 的图形是由 y=x2 的图形，向左平移2个单位，然后向上平移1个单位得到的.
故答案为：C.
【分析】二次函数平移都是通过顶点式体现，将 y=x2+4x+5 转化为顶点式，与原式 y=x2 对比，利用口诀“自变量左加右减，函数值上加下减”，即可得到答案
8．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵∠ACB=90 ° ，∠ABC=25°，
∴∠A=90 ° ﹣∠B=65 ° ，
由旋转的性质得：CA=CA′，
∴∠A=∠CA′A=65 ° ，
∴α=∠ACA′=180 ° ﹣2×65°=50 ° ，
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠ABC=25°，得出∠A的度数，又由将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C，易得△ACA′是等边三角形，继而求得答案。
9．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= 360°6 =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH= 12AB=1，
∴OH= 3AH= 3 ，
故答案为：C．
【分析】过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得出∠AOB= 360°6 =60°，根据等腰三角形的性质得出∠AOH=30°，AH= 12AB=1，即可得出结论。
10．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），
∴直线AB为y＝x，
令x＝x2﹣ax+a+1，
则x2﹣（a+1）x+a+1＝0，
若直线y＝x与抛物线x2﹣ax+a+1有两个不同的交点，
则△＝（a+1）2﹣4（a+1）＞0，
解得，a＞3（舍去）或a＜﹣1，
把点A（﹣1，﹣1）代入y＝x2﹣ax+a+1解得a＝﹣ 32 ，
由上可得﹣ 32 ≤a＜﹣1，
故答案为：A．
【分析】根据题意，先将一次直线解析式和二次函数解析式联立方程，求出使得这个方程由两个不同的实数根时a的取值范围，再求得抛物线x2﹣ax+a+1经过A点时的a的值，即可求得a的取值范围。
11．【答案】15
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从1，2，3，4，5中随机取出1个不同的数，共有5种不同方法，其中3被抽中的概率为 15 .故答案为 15 .
【分析】根据概率公式直接求解即可。
12．【答案】-2
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得：x-2=-(x+4), y-5=-3,
解得：x=-1, y=2,
∴xy=(-1)×2=-2.
故答案为：-2.
【分析】先根据关于原点对称点的坐标特点分别列等式求出x, y的值，再将其代入xy中求值即可.
13．【答案】65°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠O=130°，
∴∠OAB= 180°−∠O2 =25°，
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-25°=65°．
故答案为：B．
【分析】由AC与⊙O相切于点A，得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA．求出角OAC及角OAB即可解决问题。
14．【答案】154
【知识点】勾股定理；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∵∠DEB＝90°，AD∥BC，
∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF＝BE，DE＝BF，
∵点C的横坐标为5，BE＝3DE，
∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5﹣DE，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴25＝9DE2+(5﹣DE)2，
∴DE＝1，
∴DF＝BE＝3，
设点C(5，m)，点D(1，m+3)，
∵反比例函数y＝ kx 图象过点C，D，
∴5m＝1×(m+3)，
∴m＝ 34 ，
∴点C(5， 34 )，
∴k＝5× 34 ＝ 154 ，
故答案为 154
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由菱形的性质得出BC＝CD，AD∥BC，可证出四边形DEBF是矩形，可得出DF＝BE，DE＝BF，在Rt三角形DFC中，由勾股定理可求出DE＝1，DF＝BE＝3，由反比例函数的性质可求出k的值。
15．【答案】②④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵−b2a ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a＋2b＋c＞0，故②符合题意；
③当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0；当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，
∴（a−b＋c）（a＋b＋c）＜0，即（a＋c）2−b2＜0，
∴（a＋c）2＜b2，故③不符合题意；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a＋3b＋c＜0，且x＝ −b2a ＝1，
即a＝ −b2 ，代入得9×（ −b2 ）＋3b＋c＜0，得2c＜3b，故④符合题意；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a＋b＋c，
而当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，
所以a＋b＋c＞am2＋bm＋c，
故a＋b＞am2＋bm，即a＋b＞m（am＋b），故⑤符合题意；
综上：正确的有②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，再根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得的结论进行判断。
16．【答案】（1）解：∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x＝﹣3或x＝1；
（2）解：∵x（x﹣4）+3（x﹣4）＝0，
∴（x﹣4）（x+3）＝0，
则x﹣4＝0或x+3＝0，
解得x＝4或x＝﹣3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可；
（2）先移项再利用因式分解法，求解一元二次方程即可。
17．【答案】（1）解：∵A(a，−2a) 、 B(−2，a) 两点在反比例函数 y=mx 的图象上，
∴m=−2a×a=−2×a ，
解得 a=1 ， m=−2 ，
∴A(1，−2) ， B(−2，1) ，反比例函数的解析式为 y=−2x .
将点 A(1，−2) 、 B(−2，1) 代入 y=kx+b ，得 k+b=−2−2k+b=1 ，解得 k=−1b=−1 ，
∴一次函数的解析式为 y=−x−1 .
（2）解：观察函数图象，发现：
当 x<−2 或 0∴不等式 kx+b−mx>0 的解集为 x<−2 或 0【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上的死案的坐标特征即可求出m的值，由点b的坐标结合干不了函数图象上点的坐标特征即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求得C的坐标，再根据三角形面积公式求得即可。
18．【答案】（1）解：相切，
理由如下：
连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴CD=BD= 12 BC．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED．
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°．
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．
（2）解：由（1）知∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得，
AD= AC2−(12BC)2=52−(12×6)2 =4．
∵SACD= 12 AD•CD= 12 AC•DE，
∴12 ×4×3= 12 ×5DE．
∴DE= 125 ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE，即可得出DE与⊙O相切；
（2）根据勾股定理计算即可。
19．【答案】（1）解：将点 B(2，0) 代入 y=−x2+x+b ，
得 0=−4+2+b ，
∴b=2 ；
（2）解：由 C(0，2) ， B(2，0) 知，直线BC的解析式为 y=−x+2 ，
设 D(d，−d2+d+2) ， d>0
过点D作 DE⊥x 轴，交直线BC于点E，则 E(d，−d+2) ，
∴DE=(−d2+d+2)−(−d+2)=−d2+2d ，
S△DEC=12×DE×d .
S△DEB=12×DE×(2−d)
S△CBD=S△DBC+S△DEB=12×DE×2=DE=−d2+2d=−(d−1)2+1 ，
∴d=1 时， △CBE 的面积 S△CBD 最大，
此时 D(1，2) ， △CBE 的面积 S△CBD 最大值是1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）直接将点B的坐标代入抛物解析式即可求解；
（2）根据题意求出直线BC即诶是，设 D(d，−d2+d+2) ， d>0过点D作 DE⊥x 轴，交直线BC于点E，则 E(d，−d+2) ，可得DE的长度，利用S△CBD=S△DBC+S△DEB=12×DE×2，得出寡欲d的关系时，利用配方法求得S△CBD 最大，继而求解。
20．【答案】（1）200
（2）解：“不合格”的人数为：200-40-80-60=20人，
故条形统计图补全如下所示：
学习效果“一般”的学生人数所占的百分比为：60÷200=30%，
故学习效果“一般”所在扇形的圆心角度数为30%×360°=108°，
故答案为：108°．
（3）解：依题意可画树状图：
共有12种可能的情况，其中同时选中“良好”的情况由2种，
∴P (同时选中“良好”) =212=16 ．
故答案为： 16 ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：(1)结合扇形统计图和条形统计图可知：
本次活动共调查了：80÷40%=200(人)，
故答案为：200．
【分析】（1）由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）求出“不合格”的学生人数为20人，从而补全条形统计图；由360度乘以学习效果“一般”的学生人数所占的百分比即可；
（3）画出树状图，利用概率公式求解即可。
21．【答案】（1）y=−110x+110
（2）解：当 x=200 时， y=−20+110=90
200×90=18000 元
答：零售商一次性批发200件，需要支付18000元
（3）解：当 100⩽x⩽300 时
w=(y−71)x=(−110x+39)x=−110x2+39x=−110(x−195)2+3802.5
∵a=−110<0 ，抛物线开口向下
当 x<195 时， w 随 x 的增大而增大
又 x 为10的正整数倍
∴x=190 时， w 最大，最大值是3800
当 x>195 时， w 随 x 的增大而减小
又 x 为10的正整数倍
∴x=200 时， w 最大，最大值是3800
当 300∵k=9>0
∴w 随 x 的增大而增大
∴x=400 时， w 最大，最大值是3600
∵3800>3600
∴当 x=190 或 x=200 时， w 最大，最大值是3800
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设 y 与 x 的函数关系式为y=kx+b，(k≠0)，
将点（100，100），（300，80）代入y=kx+b ，(k≠0)，
100k+b=100300k+b=80 ，
解，得 k=−110b=110
∴ y=−110x+110
故答案填： y=−110x+110
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）当x=200时，确定批发单价，根据总价=单价×200，进而求得答案；
（3）根据服装厂获利w元，当100⩽x⩽300 且x为10的正整数倍，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当30022．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=4 ， ∠D=90° ，
∴AC=AD2+CD2=42 ，
∵∠CAC1=60° ，
∴OC1 的长度 =60×π×42180=423π ，
扇形 CAC1 的面积 S=60×π×(42)2360=163π ；
（2）解：如图2，连接 BC1 ，
∵旋转角 ∠BAB1=45° ，
∴∠BAD1=45° ，
∴点B在对角线 AC1 上，
在 Rt△AB1C1 中， AC1=AB12+B1C12=42 ，
∴BC1=AC1−AB=42−4 ，
∵∠C1BE=180°−∠ABC=90° ， ∠BC1E=90°−45°=45° ，
∴△BC1E 是等腰直角三角形，
∴C1E=2BC1=2×(42−4)=8−42 ，
∴D1E=D1C1−EC1=4−(8−42)=42−4 ；
（3）解：如图3，连接 AC ，取 AC 中点 O ，
则 OC=OA ，
又∵FC=FB1
∴OF//12AB1 ， OF=12AB1=2 ，
∴点F的轨迹是以О为圆心、2为半径的圆，
∵DO=22 ，
∴DF最大=DO+OF=22+2 ，
∴DF最小=DO−OF=22−2 ，
∴DF的取值范围为 22−2≤DF≤22+2 ．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得出AD=CD=4 ， ∠D=90° ，AC=42 ，
由∠CAC1=60° ，推出OC1 的长度 =60×π×42180=423π ，由此得出线段AC扫过的扇形面积；
（2）连接 BC1 ，由旋转角 ∠BAB1=45°，得出 ∠BAD1=45° ，在 Rt△AB1C1 中， 利用勾股定理得出AC1、BC1的值 ，从而得出△BC1E 是等腰直角三角形，由此得出D1E 的长度；
（3）连接 AC ，取 AC 中点 O ，则 OC=OA ，得出点F的轨迹是以О为圆心、2为半径的圆，由DO=22 ，即可得出DF的取值范围。