辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图所示物体的左视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图是从左边得到的图形进行解答即可.
【详解】从左边看，为一个长方形，中间有两条横线，如下图所示：
，
故选B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从左边看到的视图，要注意长方形被横向分成三部分．
2. 如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为（ ）
A. 1：4B. 3：4C. 2：3D. 1：2
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
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故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
3. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】
解：连接BC，
由题意可得：OB=OC=BC，
则△OBC是等边三角形，
故sin∠AOC=sin60°=．
故选D．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△OBC是等边三角形是解题关键．
4. 如图，矩形的对角线相交于点，若，则四边形的周长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质，证得四边形是菱形是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为：，
故选D．
5. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
6. 如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是
A. B. ，随的增大而减小
C. 图象也经过点D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】将点代入到函数解析式，求出k，得到反比例函数解析式，可判断选项A是否正确；根据函数图像判断选项B；将点B坐标代入到函数解析式，查看点B是否在函数图像上，判断选项C；将代入到函数解析式，求出函数值，再结合函数图像判断选项D即可．
【详解】解：将点代入反比例函数的解析式，可得，解得，
∴该反比例函数解析式为，故A正确；
由函数图像可知，当时，随的增大而减小，故B正确；
将代入到函数解析式，解得，
∴图象也经过点B，故C正确；
当时，可解得，由图像可知反比例函数在各个象限内均为y随x的增大而减小，所以当时， ，故D错误．
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质与图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质及图像上点的坐标特征是解题关键．
7. 如图是小明在“综合与实践”课中“制作视力表”的相关内容：当测试距离为3m时，视力表中最大的“E”字高度为45mm，则当测试距离为5m时，视力表中最大的“E”字高度为（ ）
A. 120mmB. 30mmC. 75mmD. 27mm
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用相似三角形的性质列比例式，代入可得结论．
【详解】解：由题意得：CB∥DF，
∴△ADF∽△ABC，
∴，
∵AD=3m，AB=5m，DE=45mm，
∴，
∴BC=75（mm），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．
8. 小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下图，若设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据2020年到2022年观测鸟类种类数量的关系，列出方程即可．
【详解】解：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，由题意，得：；
故选D．
9. 如图，正方形ABCD对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．
【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 图象的对称轴是直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0. A选项错误；
函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误；
观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误；
根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，，
x＝3即为函数对称轴，D选项正确；
故选D
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，已知，与的相似比为，则点C的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据坐标，相似比，点的位置确定坐标即可．
【详解】解：∵与的相似比为，
，
过点A作轴于点E，过点C作轴于点F．

∵，
，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标系中的位似，三角形相似的判定与性质，熟练掌握坐标与位似比的关系是解题的关键．
12. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____
【答案】22.5 °
【解析】
【分析】由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数．
【详解】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，
已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°，
又∵CE=AC，
∴∠E==22.5°．
故答案为：22.5°．
【点睛】此题主要考查等腰三角形两底角相等的应用，以及正方形中边角性质的应用．
13. 如图，矩形纸片，点分别在上，把纸片沿折叠，点的对应点分别为，直线交边于点，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出进而利用角进行转化求出是解题的关键．
【详解】解：过点作于点，设与交于点O，如图所示：
由折叠与对应易知：，
∵，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 某商场购进一批单价为20元日用商品.如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_____元时，才能在半月内获得最大利润.
【答案】35.
【解析】
【详解】试题分析：设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意得：y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）
=-20x2+1400x-20000，当x=时，可获得利润最大.
考点：二次函数的应用.
15. 如图，中，，，，点为的中点，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，交于点，当为直角三角形时，的长为________．

【答案】1或
【解析】
【分析】根据勾股定理可求出AC，然后根据直角三角形的性质可得BD=AD=CD，进而可得∠DBC=∠C，由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况：当∠DME=90°时，如图1，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，然后解Rt△BMF即可求出BF；当∠MDE=90°时，如图2，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，根据三角形的内角和定理可得∠BFM=∠MDE=90°，再解Rt△BMF即可求出BF，从而可得答案．
【详解】解：中，∵，，，
∴，
∵点为的中点，
∴BD=AD=CD=，
∴∠DBC=∠C，
由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况：
当∠DME=90°时，如图1，∵以为对称轴折叠得到，
∴∠E=∠C，DE=DC=5，
∴，
∴BM=BD－DM=2，
∴；

当∠MDE=90°时，如图2，，
∴，
∵∠DBC=∠C=∠E，∠BMF=∠EMD，
∴∠BFM=∠MDE=90°，
∴；
综上，的长为1或．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相关知识、灵活应用转化的思想是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16 计算
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】此题考查了因式分解法求一元二次方程，含特殊角的三角函数的值的实数运算，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法以及实数的运算法则．
（1）根据负整指数幂，零指数次幂，绝对值以及特殊角三角函数值，求解即可；
（2）利用配方法法求解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解得：，．
17. 京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．
【详解】画树状图为：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P(两张都是“红脸”)，
答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．
【点睛】本题考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．
18. 如图，为一盛路灯的灯杆，该路灯的灯泡位于灯杆上，小红和小颖都站在路灯的同侧，小颖在路灯灯泡的照射下的影子末端位于点处．已知，在同一条直线上，且．
（1）请在图中画出路灯灯泡的位置，并画出小红在灯泡的照射下的影子（不必写出画法）；
（2）经测量米，米，小红的身高为1.6米，请你求出路灯灯泡距地面的高度的长．
【答案】（1）图见解析
（2）的长为米
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）连接并延长，交于点，连接并延长交与点，点，点即为所求；
（2）证明，列出比例式进行求解即可．
解题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质．
【小问1详解】
解：连接并延长，交于点，连接并延长交与点，点，点即为所求，如图：
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴米；
答：的长为米．
19. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．求通道的宽是多少米？
【答案】通道的宽为6米．
【解析】
【分析】设通道的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可．
【详解】解：设通道的宽为x米，
根据题意结合平移的性质可得：



解得：x=34（舍去）或x=6，
答：通道的宽为6米；
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．
20. 数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角为，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）．
（1）求斜坡BC的长；
（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数）．
（参考数据：sin≈，cs≈，tan≈，≈1.73）
【答案】（1）斜坡BC的长为30米
（2）这棵大树CD的高度约为20米
【解析】
【分析】（1）根据题意可得：，AB=30米，根据三角形的外角性质可求出，从而得出AB=BC=30米，即可得出答案．
（2）在中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，最后进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得，AB＝30米，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴AB＝BC＝30米，
∴斜坡BC的长为30米；
【小问2详解】
解：在中，，BC＝30米，
∴（米），
∴（米），
在中，，
∴DE=BEtan(米)，
∴DC＝DE﹣CE＝（米），
∴这棵大树CD的高度约为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并正确运用．
21. 如图，中，，边在轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与相交于点．
（1）设点的坐标为，求反比例函数的解析式；
（2）若，求直线的解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求出相应的点的坐标是解决问题的关键．
（1）根据题意表示出点A，B的坐标，根据的面积得到，代入反比例函数表达式，即可求得k值；
（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出的解析式．
【小问1详解】
解：∵点的坐标为，点是的中点，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∵的面积为12，
∴，
解得：，
又∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴点N的坐标为，
又∵反比例函数图象过点，
∴，
又∵，
解得：，，
∴点的坐标为，点N的坐标为，
设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴直线的解析式为．
22. 问题情境

数学活动课上，学习小组进行探究活动，老师给出如下问题：在中，，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作交线段于点．
各小组在探究过程中提出了以下问题：
（1）“智慧小组”提出问题：
如图①，求证：．
请你写出证明过程；
（2）“奋进小组”受到探究过程的启发，提出问题：
如图②，若，，，求的面积．
请你写出解答过程；
（3）“善思小组”学以致用提出问题：
若，，交线段于点，连接，且与相似，求的长．
请你利用答题卡中的备用图补全图形，并写出解答过程．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）的面积为；
（3）的长为或4．
【解析】
【分析】（1）由，，得，又，，知，故；
（2）设交于，由；，可得，设，则，可得，即可解得，，求出；；由三角形面积公式可得；
（3）与相似，只需或，①当时，，求出，证明，得，，，故，，设，则，由；有，解得的长为；②当时，可证，，故是的垂直平分线，．
【小问1详解】
证明：，，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：设交于，如图：

由（1）知；
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，，
，
；
；
；
的面积为；
【小问3详解】
解：，
与相似，只需或，
①当时，如图：

此时，
，，，
，
，，
，
，即，
，，
∵，
，即，
，
设，则，
由（1）知：；
，即，
解得（负值已舍去），
的长为；
②当时，如图：

，，
，
，
，，
，
，
是的垂直平分线，
；
综上所述，的长为或4．
【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，勾股定理，公式法解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形判定定理和分论讨论思想的应用．
23. 问题提出：
四边形是正方形，是射线上的动点，点在线段的延长线上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，四边形的面积为（可等于0）．
（1）如图①，当点由点运动到点过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象信息，回答下列问题：
①正方形的边长为___________（直接填空）；
②求关于的函数关系式；
（2）如图③，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数关系式；
（3）若在射线上从下至上依次存在不同位置的两个点，对应的四边形的面积与四边形的面积相等，当时，求四边形的面积．
【答案】（1）①4； ②
（2）；
（3）四边形的面积为3或．
【解析】
【分析】（1）①由抛物线顶点为，可得时，四边形的面积最大为4；此时为的中点，故，即正方形的边长为4；
②过作于，证明，得，而，由三角形面积公式可得；
（2）当点在线段的延长线上运动时，过作于，证明，得，而，故四边形的面积；即；
（3）当，都在边上时，设，则，由，有，可得，即可得，解得，从而四边形的面积为3；当在边上，在边延长线上时，同理可得四边形的面积为．
【小问1详解】
解：①由图②知，抛物线顶点为，
时，四边形的面积最大为4；
此时为的中点，
，
即正方形的边长为4；
故答案为：4；
②过作于，如图：
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形的面积；
关于的函数关系式为；
【小问2详解】
解：当点在线段的延长线上运动时，过作于，如图：
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形的面积；
关于的函数关系式为；
【小问3详解】
解：当，都在边上时，如图：
设，则，
，
，
，
在中，令和得：，，
，
解得，
，
，
即四边形的面积为3；
当在边上，在边延长线上时，如图：
设，则，
，
，
，
在中，令得：，
在中，令得：，
，
解得（大于4，舍去）或，
，
，
即四边形的面积为；
由在下方，知，不可能，都在的延长线上；
综上所述，四边形的面积为3或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及动点问题的函数图象，结合图形分析题意及分类讨论思想的应用是解题关键．