辽宁省沈阳市铁西区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市铁西区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字，5，5等内容，欢迎下载使用。

考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知（，），下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方块体搭成的，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在菱形中，，则的长为（ ）


A．B．1C．D．
5．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．或
8．如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A．3B．5C．6D．10
9．如图，四边形四边形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．点（2，5）在反比例函数的图象上，那么k＝ ．
12．如图，在中，，则的长为 ．
13．二次函数的最小值是 ．
14．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，那么出发后 秒时，线段的长度等于．
15．如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接并延长至点，且，以，为边作平行四边形，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（1）计算：；
（2）把方程，化成一般形式．
17．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长
18．在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如，在测量了5个大麦穗长之后，得到的数据（单位：）是：6.5，5.9，6.0，6.7，4.5，那么这些大麦穗的最佳近似长度可以取使函数为最小值的x值．整理上式，并求出大麦穗长的最佳近似长度．
19．沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．新中国成立后，沈阳成为中国重要的以装备制造业为主的重工业基地，被誉为“共和国装备部”，有“共和国长子”和“东方鲁尔”的美誉．某市阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过人，人均旅游费用为元；如果人数超过人，每增加人，人均旅游费用降低元．但人均旅游费用不得低于元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了元的费用，求这个旅行团的人数．
20．如图，在中，点D是边上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；
②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；
③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；
④过点作射线交于点E．若，，求四边形的面积．

21．随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林植保、应急救援、文物保护、电力巡检……，加速赋能千行百业．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，无人机在点A处，无人机距地面高度为120米，此时测得试验田一侧边界点C处俯角为，无人机垂直下降40米至点B处，又测得试验田另一侧边界点D处俯角为，且点C，O，D在同一条直线上，求点C与点D的距离．（参考数据：，结果保留整数）
22．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．

【基础应用】
（1）求k的值；
（2）求直线的函数表达式；
【拓展应用】
（3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
23．四边形中，，，连接，，点P是折线上的一个动点，点M在边上，且，连接，点A关于直线的对称点是点，连接．
【特例探究一】
（1）如图1，当时，求的值；
【特例探究二】
（2）当时，求的长；
【特例探究三】
（3）当点P到的距离为1时，求的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质．
【详解】解：解：∵（，），
∴，，，，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查三视图，从左面看，有2列，第1列有2个小正方形，第2列有1个小正方形，即可得出结果．
【详解】解：左视图为：
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了解直角三角形，先根据勾股定理求出，然后根据正弦、正切、余弦的定义逐项判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，，．
故选：D．
4．D
【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度．
【详解】解：连接与交于O．

∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，且，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质．
5．A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
6．A
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：

由树状图知，共有20种等可能的情况数，其中两人都摸到红球的有2种，
则两人都摸到红球的概率是．
故选：A．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．A
【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，联立解析式进行求解即可．
【详解】解：联立，得：或；
∴在第一象限的交点坐标为；
故选A．
8．B
【分析】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由即可求解；
【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∵，
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识，结合图像进行求解是解题的关键．
9．D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角相等是解题关键．直接利用相似多边形的性质得出对应角相等进而得出答案．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，，，，
∴．
故选：D．
10．C
【分析】根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算．
11．10
【分析】直接把点（2，5）代入反比例函数求出k的值即可．
【详解】∵点（2，5）在反比例函数的图象上，
∴5＝，
解得k＝10．
故答案为：10．
【点睛】此题考查求反比例函数的解析式，利用待定系数法求函数的解析式.
12．4
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意线段要对应．根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】∵，
∴，即，
∴．
故答案为：4．
13．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据函数解析式求出对称轴为直线，根据二次函数解析式质，得，当时，函数有最小值，即可．
【详解】∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，且，
∴当时，函数有最小值，即，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，设出发后秒时，线段的长度等于，可列出方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设出发后秒时，线段的长度等于，依题意得，
，
整理得，，
解得（不符合题意，舍去），，
∴出发后秒时，线段的长度等于，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，作交的延长线于点， 交的延长线于点，证明四边形是矩形，再证明，得到，求出，作交的延长线于点，于点，证明，得到，求出，由垂线段最短得到，
即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：作交的延长线于点， 交的延长线于点，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作交的延长线于点，于点，
则 ，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
的最小值为，
故答案为：．
16．（1） （2）
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和一元二次方程的概念，属于基本题型，熟练掌握以上基本知识是解题关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入后计算即可；
（2）通过去括号，移项、合并同类项将已知方程转化为一般式方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
∴，
∴．
17．
【分析】设DE=CF=x，则AD=5-x，由正方形的性质可得DE//BC，则△ADE∽△ACB，最后根据比例列方程解答即可．
【详解】解：设DE=CF=x，则AD=5-x
四边形CDEF是正方形，
∴DE//CF.
∴∠ ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB
∴ 即 ，解得x=．
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，根据题意设出未知数并构建方程是解答本题的关键．
18．
【分析】根据题意整理函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】
时，取得最小值
大麦穗长的最佳近似长度为
【点睛】本题考查了二次函数的性质，准确的计算是解题的关键．
19．这个旅行团的人数为人．
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是设这个旅行团的人数为人，根据题意，列出方程，则，解出方程，即可．
【详解】设这个旅行团的人数为人，
∴，
整理得：，
解得：，；
当时，人均旅行费用为：，
∴舍去，
∴，
答：这个旅行团的人数为人．
20．四边形的面积
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、尺规作图——平行线，根据平行线的作法得，进而可得，再根据面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
由作图知：，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
21．点C与点D的距离约为
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，在中，求出的长，在中求出的长，利用求出的长即可．掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，，
在中：，
∴，
在中，，
∴，
∴；
答：点C与点D的距离约为．
22．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点作轴，易得，设，代入一次函数解析式，求出点坐标，待定系数法求值即可；
（2）先求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，证明，得到，进一步求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：过点作轴，

∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得：，
∴直线的解析式为：；
（3）存在，过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∵，
∴点的横坐标为，
∵点在双曲线上，，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．掌握相关性质，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
23．（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）延长交于点，勾股定理求出的长，翻折，平行线的性质，得到，，进而推出，得到，求解即可．
（2）当时，，则；设交与点N，先由求得，由线段差可得；再由求得即可解答；
（3）分P点在上和上两种情况；当P点在上时，过点作于点，在和中，利用的正弦值求得，再在中求即可；当P点在上时，过点P作交的延长线于点Q，延长交的延长线于点H，先由求得和，再由求得，在求得即可；
【详解】解：（1）延长交于点，
∵，，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如下图所示，当时，设交与点N，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
（3）如下图所示，当P点在上时，过点作于点，则，，

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如下图所示，当P在上时，则，过点P作交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；综合性较强，难度大，根据题意画出相应图形，并结合相似三角形的性质来求线段长是解题关键．