绵阳南山中学实验学校2023届高三下学期3月月考数学（文）试卷(含答案)

这是一份绵阳南山中学实验学校2023届高三下学期3月月考数学（文）试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知i为虚数单位,复数z满足,则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
4．下列函数,在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A.B.C.D.
5．已知实数x,y满足,则的最大值为( ).
A.2B.3C.12D.15
6．已知甲,乙两名运动员进行射击比赛,每名运动员射击10次,得分情况如下图所示.则根据本次比赛结果,以下说法正确的是( )
A.甲比乙的射击水平更高
B.甲的射击水平更稳定
C.甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
D.甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
7．要得到函数图象,只需把函数的图象( )
A.向右平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向左平移个单位
8．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积( )
A.26B.36C.48D.35
9．某企业为了响应落实国家污水减排政策,加装了污水过滤排放设备.在过滤过程中,污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为（其中,k是正常数）.已知经过1h,设备可以过滤掉的污染物,则过滤掉的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h,参考数据：）( )
10．已知抛物线的焦点为F,准线为l,过E上的一点A作l的垂线,垂足为B,点,AF与BC相交于点D.若,且的面积为,则E的方程为( )
A.B.C.D.
11．已知函数,.若有2个零点,则实数a的最小值是( )
A.2B.0C.-1D.1
12．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上,,,点E,F,G分别为棱BC,CD,AD的中点,现有如下结论：①过点E,F,G作四面体ABCD的截面,则该截面的面积为2;②四面体ABCD的体积为;③过E作球O的截面,则截面面积的最大值与最小值的比为.则上述说法正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
二、填空题
13．已知向量,满足,,,则_________.
14．已知,则_________.
15．直线始终平分圆的周长,则的最小值为______.
16．如图,,是椭圆与双曲线的公共焦点,A,B分别是、在第二、四象限的交点,若,则与的离心率之积的最小值为________.
三、解答题
17．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为5组：,,,,,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
（I）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
（II）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
附：(注：此公式也可以写成)
25周岁以上组25周岁以下组
18．已知等差数列中,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设数列的前n项和为,数列的前n项和为,若对一切实数,都有,求实数的取值范围.
19．在四棱锥中,,.
（1）若,证明：平面平面ABCD;
（2）若直线PB与平面ABCD所成的角为,求四棱锥的体积.
20．已知椭圆的左顶点、右焦点分别为A,F,点在椭圆C上,且椭圆C离心率为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点F且斜率为的直线l与椭圆C交于D,E两点,直线AD,AE斜率分别为,,证明：为定值.
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）若函数存在两个极值点,,且恒成立,求实数k的最小值.
22．在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数,）.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
（2）若曲线C上有且只有一个点到直线l的距离为,求实数a的值.
23．已知.
（1）求不等式的解集;
（2）若的最小值为m,正实数a,b,c满足,求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：,.
故选：C.
2．答案：D
解析：由可知,,
所以复数z在复平面内对应的点的坐标为,故点位于第四象限,
故选：D.
3．答案：B
解析：关于x的不等式的解集为R,则,解得,所以“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充一个分条件“”.
故选：B.
4．答案：D
解析：对于A：,即,则的定义域为,不关于原点对称,
故为非奇非偶函数,A不符合题意;
对于B：的定义域为R,由,可知为偶函数,B不符合题意;
对于C：的定义域为,由,可知为奇函数,在,上单调递增,但在定义域内不是单调函数,C不符合题意;
对于D：的定义域为R,由,可知为奇函数,在定义域内单调递增,D符合题意.
故选：D.
5．答案：C
解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影四边形ABOC,其中点,,,,
目标函数,即,表示斜率为,纵截距为的平行直线系,
画直线,平移直线到直线,当直线过点A时,直线的纵截距最大,z最大,
所以
故选：C.
6．答案：B
解析：甲的平均数
乙的平均数
,乙的射击水平更高,故A错误;
甲的方差
乙的方差
,甲的射击水平更稳定,故B正确;
甲的射击成绩由小到大排列为：5,7,8,8,8,9,9,9,9,10,位于第5、第6位的数分别是8,9,
所以甲的中位数是;乙的射击成绩由小到大排列为：6,7,7,8,8,9,9,10,10,10,
位于第5、第6位的数分别是8,9,所以乙的中位数是,
故甲射击成绩的中位数与乙射击成绩的中位数相等,故C错误;
甲的众数为9,乙的众数为10,故D错误.
故选：B.
7．答案：A
解析：因,
为了得到函数图象,只需把函数的图象向右平移个单位,
故选：A.
8．答案：C
解析：
由三视图可得,该几何体是由一个长方体中间挖掉一个圆柱得到的,
其中长方体的长为4,宽为4,高为1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,
则.
故选：C.
9．答案：B
解析：由题意可知,所以,
设过滤的污染物需要的时间为t,则,
所以,所以.
故选：B.
10．答案：C
解析：设点,抛物线的焦点,准线,
由得：,解得,
不妨令点A在第一象限,则,,如图,
因为,则,即有点D到x轴距离,
,
解得,所以E的方程为.
故选：C.
11．答案：D
解析：令可得,当时,,
当时,的图象与关于x轴对称,所以作出函数与函数的图象如图所示：
由图可知,当时,函数与函数的图象有2个交点,
此时,函数有2个零点.因此,实数a的取值范围是.即实数a的最小值为1.
故选：D.
12．答案：C
解析：选项①中,如图所示,
找AB的中点H,过点E,F,G做四面体ABCD的截面即为面EFHG,
则,,所以四边形EFHG为平行四边形,
找AC的中点O,连接OD,OB,因为,
所以,,,DO,BO平面BOD,
所以AC平面BOD,平面BOD,所以,所以,
所以四边形EFHG为矩形,,,
所以截面的面积,故①正确;
选项②中,中,由勾股定理得：,
同理,过点O作则,所以由勾股定理得：,所以 ,
由选项①可得：CO平面BOD,
所以,,故②错误;
选项③中,可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中,
由题可求得,,,所以外接球的半径,
截面面积的最大值为;平面PCQB截得的面积为最小面积,
截面圆的半径,截面积最小为,
所以截面面积的最大值与最小值的比为,故③正确.
13．答案：
解析：由可得,,即,解得：,
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,则
.
故答案为：.
15．答案：
解析：圆化为标准方程：,圆心为,
因为直线始终平分圆的周长,
所以直线过圆心,则,所以,
则,
当时,取得最小值.
故答案为：.
16．答案：
解析：设椭圆方程为,,
双曲线方程为,,
如下图,连接,,所以为平行四边形,
由得,设,,
在椭圆中,由定义可知：,
由余弦定理可知：,
,
在双曲线中,由定义可知中,由余弦定理可知：
,
,
所以,
,当且仅当时取等号,
所以,所以与的离心率之积的最小值为.
故答案为：.
17．答案：（I）
（II）没有把握
解析：（Ⅰ）由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名
所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有（人）,
记为,,;25周岁以下组工人有（人）,记为,
从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种,
他们是：,,,,,,,,,
其中,至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,
它们是：,,,,,,.故所求的概率：
（Ⅱ）由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手（人）,“25周岁以下组”中的生产能手（人）,
据此可得列联表如下：
所以得：
因为,所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”
对于独立性检验的考查要求学生会用公式,并且懂得算法过程并懂得结论的给出,应该算容易题,可往往学生会被这么长的题目所吓倒,再加上统计与概率的结合就会变为难点.此题比较容易出现计算和结论上的失误,而造成不必要的失分.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,
所以,,解得,则,所以.
（2）由（1）知,,
则,
,
所以,解得或,所以的取值范围为.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）
取AD中点为O,连接PO,OC.
,,四边形ABCD是菱形,,,
在中,根据余弦定理得,
,
又,,,
又,AD,OC平面ABCD,OP平面ABCD,
又OP平面PAD,平面PAD平面ABCD;
（2）
取AD中点为O,连接OP,OB,BD,
,,,,是等边三角形,则,
又,OB,OP平面POB,
AD平面POB,则为二面角的平面角,
则为PB和平面ABCD的夹角,
故,且的OB边上的高h即为P到平面ABCD的距离.
又,则在中,,
,又,.
20．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）由题意可得,解得,.
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：由（1）可知,则直线l的方程为.
联立,得.
设,,则,,
所以
,
所以（定值）.
21．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）又可得定义域为,
则,;
令,则.
①当,即时,恒成立,则,
∴在上单调递增;
②当,即或时,
（ⅰ）当时,是开口向上且过的抛物线,对称轴方程为,则函数有两个零点和（显然）,列表如下：
（ⅱ）当时,是开口向上且过的抛物线,对称轴方程为,则在上恒成立,从而,在上单调递增.
综上所述,当时,函数在区间上单调递增;
当时,函数在,上单调递增,
在上单调递减,
（2）由（1）可知,当时,有两个极值点,,
则,是方程的两根,,,
.
恒成立转化为恒成立.
令,不等式转化为,
,,即.
令,则不等式化为.
,当时,,在上单词递增,
,即.令,则,
当时,,即在单调递增,
当时,,即在单调递减;所以,
,即时,实数k取得最小值为.
即实数k的最小值为.
22．答案：（1）,
（2）或.
解析：（1）由（t为参数,）消去t,得,
所以直线l的普通方程为.由,得.
将,代入,得,即,
所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）由（1）知曲线C是圆,其圆心为点,半径为1,
所以圆心C到直线l的距离为,
所以,则,
所以或,解得或.
故实数a的值为或.
23．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）,即
①当时,,解得;
②当时,,解得;
③当时,,无解,
综上：不等式的解集为.
（2）方法1：,
当且仅当时等号成立.所以,所以,即.
方法2：由（1）知,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递增,
所以,所以,即.
.
乙射击环数
6
7
8
9
10
频数
1
2
2
2
3
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
生产能手
非生产能手
合计
周岁以上组
周岁以下组
合计
x
＋
0
－
0
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗