2024年中考数学压轴题之二次函数面积类问题（基础训练）（含解析）

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1．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．
【答案】（1）解：抛物线解析式为y=x(x−2)，即y=x2−2x
（2）解：因为y=x2−2x=(x−1)2−1，
所以抛物线的顶点坐标为(1，−1)，对称轴为直线x=−1；
（3）解：设B(t，t2−2t)，
因为S△OAB=1，
所以12×2×|t2−2t|=1，
所以t2−2t=1或t2−2t=−1，
解方程t2−2t=1得t1=1+2，t2=1−2，则B点坐标为(1+2，1)或(1−2，1)；
解方程t2−2t=−1得t1=t2=1，则B点坐标为(1，−1)，
所以B点坐标为(1+2，1)或(1−2，1)或(1，−1)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将点A、O的坐标代入y=x2+bx+c求出b、c的值即可；
（2）将二次函数的一般式化为顶点式y=x2−2x=(x−1)2−1，再求解即可；
（3）设B(t，t2−2t)，根据题意列出方程12×2×|t2−2t|=1，再求解即可。
2．如图，抛物线y=−x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=−x+3经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）解：在 y=−x+3 中，令 x=0 得 y=3 ，令 y=0 得 x=3 ，
∴B(3，0) ， C(0，3) ，
把 B(3，0) ， C(0，3) 代入 y=−x2+bx+c 得：
−9+3b+c=0c=3 ，
解得 b=2c=3 ，
∴y=−x2+2x+3 ；
（2）解：过 P 作 PH//y 轴交 BC 于 H ，如图：
设 P(m，−m2+2m+3) ，则 H(m，−m+3) ，
∴PH=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m ，
∴S△PBC= 12PH·xB−xC= 12×(−m2+3m)×3= −32m2+92m=−32(m−32)2+278
∵ −32<0
∴ 当 m= 32 时， S△PBC 取最大值 278 ，
∴P 的坐标为 ( 32 ， 154 ) ；
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）令一次函数解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，得到点B、C的坐标，然后代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）过P作PH∥y轴交BC于H，设P（m，-m2+2m+3），则H（m，-m+3），表示出PH，根据三角形的面积公式表示出S△PBC，然后利用二次函数的性质可得面积的最大值以及对应的点P的坐标.
3．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图像经过点A(3，1)、点B(0，4)．
（1）求该二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）已知二次函数的图象与x轴交于C、D两点，求△ACD的面积．
【答案】（1）解：∵二次函数y=−x2+bx+c的图像经过点A(3，1)、点B(0，4)，
1=−32+3b+c4=c，解得b=2c=4，
∴y=−x2+2x+4，
∵y=−x2+2x+4
=−(x−1)2+5，
∴该二次函数的顶点坐标为(1，5)
（2）解：连接AC、AD，如图所示：
由（1）知y=−x2+2x+4，二次函数的图象与x轴交于C、D两点，
∴当y=0时，−x2+2x+4=0，即x2−2x−4=0，
∴x=2±202=1±5，即C(1−5，0)、D(1+5，0)，
∴CD=(1+5)−(1−5)=25，
∵A(3，1)，
∴S△ACD=12CD⋅yA=12×25×1=5．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y=−x2+bx+c求出b、c的值，再将二次函数的一般式化为顶点式并求解即可；
（2）连接AC，AD，先求出点C、D的坐标，求出CD的长，再利用三角形的面积公式求出S△ACD=12CD⋅yA=12×25×1=5即可。
4．如图，二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，6)，且经过点(1，10)．求：
（1）该抛物线的表达式；
（2）△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵二次函数y=−x2+bx+c的图像经过点C(0，6)、(1，10)，
∴c=6−1+b+c=10，解得b=5c=6，
∴该二次函数的表达式是y=−x2+5x+6
（2）解：∵二次函数y=−x2+5x+6的图像与x轴交于A，B两点，
∴−x2+5x+6=0，解得x1=−1，x2=6，
∴二次函数y=−x2+5x+6与x轴的两个交点的坐标为A(−1，0)，B(6，0)．
∴△ABC的面积=12AB×OC=12×|6−(−1)|×6=21
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）由二次函数解析式求出A、B的坐标，即得AB的长，利用三角形的面积公式即可求解.
5．如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−2，0)和点B，与y轴交于点C(0，8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BCP的面积最大值；
【答案】（1）解：将A(−2，0)，C(0，8)代入y=ax2+3x+c，
∴4a−6+c=0c=8，
解得a=−12c=8，
∴y=−12x2+3x+8
（2）解：令y=0，则−12x2+3x+8=0，
解得：x=−2或x=8，
∴B(8，0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴b=88k+b=0，
解得k=−1b=8，
∴y=−x+8，
过点P作PG∥y轴交BC于G，
设P（t，−12t2+3t+8），则G(t，−t+8)，
∴PG=−12t2+3t+8+t−8=−12t2+4t，
∴S△CBP=12×8×(−12t2+4t)=−2t2+16t=−2(t−4)2+32，
∴当t=4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A（-2，0）、C（0，8）代入y=ax2+3x+c中求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，过点P作PG∥y轴交BC于G，设P（t，−12t2+3t+8），则G（t，-t+8），表示出PG，根据三角形的面积公式可得S△CBP，然后根据二次函数的性质进行解答.
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），
∴a+b+3=09a−3b+3=0，
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为y＝−x2−2x+3
（2）解：由（1）知，y＝−x2−2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点B的坐标为（-3，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面积是OB⋅OC2＝3×32=92.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意把A、B两点的坐标代入解析式可得关于a、b的方程组，解之求得a、b的值，则可得抛物线的解析式；
（2）由题意令x=0求得y的值，可得点C的坐标，根据S△BOC=12OB×OC可求解.
7．如图，抛物线y=x2−bx+c交x轴于点A(1，0)，交y轴交于点B，对称轴是直线x=2．
（1）求抛物线的解析式
（2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
【答案】（1）解：由题意，得1−b+c=0−−b2=2
解得b=4c=3，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3
（2）解：令y=0，则x2−4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，点C(3，0)，
∴AC=2．
设D(m，n)，
∵△ACD的面积为8，∴12×2×|n|=8，
∴n=±8，
当n=8时，x2−4x+3=8，解得x=5或−1，
∴D(5，8)或(−1，8)．
当n=−8时，x2−4x+3=−8，方程无实数根，
综上所述，D(5，8)或(−1，8)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组1−b+c=0−−b2=2，求出b、c的值即可；
（2）设D(m，n)，根据△ACD的面积可得12×2×|n|=8，求出n的值，再将n的值分别代入y=x2−4x+3求出x的值即可。
8．如图，抛物线与x轴交于点A(1，0)和点B(−3，0)与y轴交于点C(0，3)，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABD的面积.
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(−3，0)，与y轴交于点C(0，3)，
∴a+b+c=09a−3b+c=0c=3，
解得a=−1b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
（2）解：∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴顶点为点D(−1，4)，
∴SΔABD=12AB⋅yD=12×4×4=8.
答：△ABD的面积为8.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A（1，0）、B（-3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c中求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，可得顶点D的坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算.
9．如图，已知抛物线y=ax2+bx−8的图像与x轴交于A(2，0)，B(−8，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx−8的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上一点，当ΔBCF的面积最大时，求出点F的坐标；
【答案】（1）解：将A(2，0)，B(−8，0)代入函数y=ax2+bx−8，得：
4a+2b−8=064a−8b−8=0，
解得a=12b=3，
∴抛物线解析式为y=12x2+3x−8．
（2）解：如图，过点F作FN∥y轴交BC于N，
设BC直线方程为y=kx−8，
将B(−8，0)代入BC直线方程得：−8k−8=0，
解得：k=−1，
∴BC直线方程为y=−x−8，
设F(m，12m2+3m−8)，则N(m，−m−8)，
∴SΔBCF=SΔBFN+SΔCFN
=12FN×8
=4[(−m−8)−(12m2+3m−8)]
=−2(m+4)2+32
∴当m=−4时，ΔBCF的面积有最大值，
将m=−4代入F(m，12m2+3m−8)中得F(−4，−12)，
∴点F的坐标是F(−4，−12)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 BC直线方程为y=−x−8， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
10．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1，0)，点B(2，−3)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A(−1，0)，点B(2，−3)，
∴1−b+c=04+2b+c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
（2）解：存在．
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴D(1，−4)，
将x=0代入得，y=−3，
∴C(0，−3)，
∴D到线段BC的距离为1，BC=2，
∴S△BCD=12×2×1=1，
∴S△PBC=4S△BCD=4，
设P(m，m2−2m−3)，
则S△PBC=12×2×(m2−2m−3+3)=4，
整理得，m2−2m=4，
解得m1=1+5，或m2=1−5，
∴P1(1+5，1)，P2(1−5，1)，
∴存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，点P的坐标为P1(1+5，1)，P2(1−5，1)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y=x2+bx+c求出b、c的值即可；
（2）先求出S△BCD=12×2×1=1，再设P(m，m2−2m−3)，利用“△PBC的面积是△BCD面积的4倍”可得S△PBC=12×2×(m2−2m−3+3)=4，再求出m的值，即可得到点P的坐标。
11．如图，抛物线 y=x2+bx+c （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， A(1，0) ， AB=4 ，点P为线段 AB 上的动点，过P作 PQ∥BC 交 AC 于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 △CPQ 面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
0=1+b+c0=9−3b+c ，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为 y=x2+2x−3
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为 y=x2+2x−3 ，
顶点式为： y=(x+1)2−4 ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P (n2，0) ，
由 y=−2x+ny=2x−2 解得： Q(n+24，n−22) ，
∵P在线段AB上，
∴−3∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则 S△CPQ=S△CPA−S△APQ
=12×(1−n2)×4−12×(1−n2)×(n−22)
=−18(n+2)2+2
∴当n=-2时，即P（-1，0）时， S△CPQ 最大，最大值为2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入y=x2+bx+c求出b、c的值即可；
（2）先求出Q(n+24，n−22)，再结合P在线段AB上，求出-6＜n＜2，然后利用割补法可得S△CPQ=S△CPA−S△APQ=−18(n+2)2+2，最后利用二次函数的性质求解即可。
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，-3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，-3），
∴9+3b+c=0c=−3，
解得：b=−2c−3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）解：∵抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点，
∴0=x2-2x-3，
∴x1=-1，x2=3，
∴点A（-1，0），
∴AB=4，
设点P（p，p2-2p-3），
∵△PAB的面积为8，
∴12×4×|p2-2p-3|=8，
∴p2-2p-3=4或p2-2p-3=-4，
∴p1=22+1，p2=-22+1，p3=1，
∴点P坐标为（22+1，4）或（-22+1，4）或（1，-4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将B、C坐标分别代入y=x2+bx+c中，求出b、c值即得结论；
（2）在y=x2-2x-3中，求出y=0时x值，即得A坐标，从而求出AB=4，设点P（p，p2-2p-3），可得△PAB的面积12×4×|p2-2p-3|=8，据此求出p值即可.
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，OA＝OC＝2．P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第三象限内，且PE=14OD，求△PBE的面积．
【答案】（1）解：∵OA＝OC＝2，
∴A（2，0），C（0，﹣2），
根据题意得：−b2a=−14a+2b+c=0c=−2，
解得a=14b=12c=−2，
∴抛物线的函数表达式为y=14x2+12x﹣2；
（2）解：设y=14x2+12x﹣2=0，
解得x=2或-4，
∴B（﹣4，0），
设直线BC为y＝kx﹣2，
将B（﹣4，0）代入得：y＝﹣4k﹣2，
∴k=−12，
∴直线BC为y=−12x﹣2，
设P（m，14m2+12m﹣2），m＜0，
则E（m，−12m﹣2），D（m，0），
∴PE＝（−12m﹣2）﹣（14m2+12m﹣2）=−14m2﹣m，OD＝﹣m，
∵PE=14OD，
∴−14m2﹣m=−14m，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣3，
∴PE=34，BD＝OB﹣OD＝4﹣3＝1，
∴△PBE的面积为12PE·BD=12×34×1=38．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出点A、C的坐标，再将点A、C的坐标代入y＝ax2+bx+c，再利用对称轴公式列出方程组−b2a=−14a+2b+c=0c=−2，然后求出a、b、c的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式，设P（m，14m2+12m﹣2），则E（m，−12m﹣2），D（m，0），再利用两点之间的距离公式可得PE＝（−12m﹣2）﹣（14m2+12m﹣2）=−14m2﹣m，OD＝﹣m， 结合PE=14OD，可得−14m2﹣m=−14m，求出m的值可得PE和BD的长，再利用三角形的面积公式求解即可。
14．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点为A(−3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，−3)，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数过A(−3，0)，B(1，0)两点，
∴设二次函数解析式为y=a(x+3)(x−1)，
∵二次函数过C点(0，−3)，
∴−3=a(0+3)(0−1)，
解得a＝1，
∴y=(x+3)(x−1)=x2+2x−3
即二次函数解析式为y=x2+2x−3；
（2）解：设直线AC解析式为：y＝kx＋b，
∵A(−3，0)，C(0，−3)，
∴−3k+b=0b=−3，
解得k=−1b=−3，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x－3，
过点P作x轴的垂线交AC于点G，设点P的坐标为(x，x2+2x−3)，
则G(x，−x−3)，
∵点P在第三象限，
∴PG=−x−3−(x2+2x−3)=−x−3−x2−2x+3=−x2−3x，
∴S=12PG⋅OA=12(−x2−3x)×3=−32x2−92x=−32(x+32)2+278，
∴当x=−32时，S最大=278，
此时x2+2x−3=(−32)2+2×(−32)−3=−154，
∴点P(−32，−154).
即S的最大值是278，此时点P的坐标是(−32，−154).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0)求出a、b、c的值即可；
（2）先求出直线AC的解析式， 过点P作x轴的垂线交AC于点G，设点P的坐标为(x，x2+2x−3)， 利用三角形的面积公式可得S=12PG⋅OA=12(−x2−3x)×3=−32x2−92x=−32(x+32)2+278，再利用二次函数的性质求解即可。
15．如图，已知二次函数y=ax2+2ax−3的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数解析式为y=kx−3．已知sin∠OBC=22
（1）求二次函数的函数解析式和直线DC的函数解析式；
（2）连接BD，求△BCD的面积．
【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+2ax−3的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，
∴点C(0，−3)，则OC=3，
∵sin∠OBC=22，
∴∠OBC=45°，OB=OC=3，
∴点B(−3，0)，
将点B(−3，0)代入y=ax2+2ax−3，得a=1，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3；
∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴点D(−1，−4)，
将点D(−1，−4)代入y=kx−3，得k=1，
∴直线CD的解析式为y=x−3；
（2）解：∵点B(−3，0)，C(0，−3)，D(−1，−4)，
∴S△BCD=12×(1+3)×4−12×3×3−12×1×1=3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点B的坐标代入y=ax2+2ax−3求出a的值，利用二次函数的解析式求出点Ｄ的坐标，再将点Ｄ的坐标代入y=kx−3求出k的值即可；
（2）根据点B、C、D的坐标，直接利用三角形的面积公式求解即可。
16．如图，对称轴为x=−1的抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−3，0)，C为抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−1，
∴−b2=−1，
解得b=2，
∴抛物线变形为y=x2+2x+c(a≠0)，
把（-3，0）代入解析式，得0=9−6+c，
解得c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3．
（2）解：∵抛物线的解析式为y=x2+2x−3，
∴x2+2x−3=0，
解得x1=1，x2=−3，
∴B的坐标（1，0），C的坐标（0，-3），
∴S△BOC=12OB·OC=12×1×3=32，
∴S△POC=4S△BOC=6，
设点P的横坐标为m，
∴S△POC=12OC·|m|，
∴12×3×|m|=6，
解得m=4或m=-4，
当m=4时，y=x2+2x−3=21；
当m=-4时，y=x2+2x−3=5；
故点P的坐标为p（4，21）或 p（-4，5）．
（3）解：设直线AC的解析式为y=kx-3，
把（-3，0）代入解析式，得-3k-3=0，
解得k=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
设Q的坐标为（n，-n-3），则D的坐标为（n，n2+2n−3），
∴QD=Qy−Dy= -n-3-（n2+2n−3）
=−n2−3n，
∴当n=−−32×(−1)=−32时，QD有最大值，且最大值为−(−32)2−3×(−32)=94，
此时y=-x-3=−32，故点Q的坐标为（−32，−32）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先利用抛物线的对称轴公式求出b的值，再将点A的坐标代入y=x2+bx+c(a≠0)求出c的值即可；
（2）先求出点B、C的坐标，再利用三角形的面积公式求出S△BOC，即可得到S△POC=4S△BOC=6，设点P的横坐标为m，则S△POC=12OC·|m|，再求出m的值即可得到点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，设Q的坐标为（n，-n-3），则D的坐标为（n，n2+2n−3），求出QD=−n2−3n，再利用二次函数的性质求解即可。
17．如图，抛物线y=ax2+2x+c.与x轴交于A，B两点，与y轴交于C(0，3)直线y=−x−1经过点A且与抛物线交于另一点D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值.
【答案】（1）解：∵直线y=-x-1经过点A，
∴令y=0，则0=-x-1，
∴x=-1，
∴A（-1，0），
将A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c
得a−2+c=0c=3，
解得a=−1c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）解：如图，过点P作PE⊥x轴，交x轴于点G，交AD于点F，作DE⊥PF于E，
由题意得，y=−x2+2x+3y=−x−1，
解得：x1=-1，x2=4，
当x=4时，y=-5，
∴D（4，-5），
设P（m，-m2+2m+3），F（m，-m-1），
∴PF=-m2+2m+3-（-m-1）=-m2+3m+4，
∴S△PAD=S△PAF+S△PDF= 12PF•AG+ 12PF•DE=12PF（AG+DE），
∵AG+DE=|xD-xA|=5，
∴S△PAD=52PF，
∴当PF取最大值时，S△PAD的值最大，
PF=-m2+3m+4=−(m−32)2+254，
∴PF最大值为254，
则△PAD的面积的最大值为52×254=1258.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）令直线y=-x-1中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标， 将A、C的坐标分别代入y=ax2+2x+c可得关于a、c的方程组，求解可得a、c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2） 过点P作PE⊥x轴，交x轴于点G，交AD于点F，作DE⊥PF于E， 联立两函数解析式求解可得点D的坐标， 设P（m，-m2+2m+3），F（m，-m-1）， 根据两点间的距离公式表示出PF，进而根据 S△PAD=S△PAF+S△PDF = 52PF 得当PF取最大值时，S△PAD的值最大， 从而根据二次函数的性质即可解解决问题.
18．已知，如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0， 6)，且经过点(1， 10)
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴.
（3）求△ABC的面积，写出y>0时x的取值范围.
【答案】（1）解：∵二次函数 y=−x2+bx+c 的图像经过点 C(0， 6) 、 (1， 10) ，
∴c=6−1+b+c=10 ，
解这个方程组，得 b=5c=6 ，
∴该二次函数的解析式是 y=−x2+5x+6 ；
（2）解： y=−x2+5x+6=−(x−52)2+494 ，
∴顶点坐标是 (52， 494) ；
对称轴是 x=52 ；
（3）解：∵二次函数 y=−x2+5x+6 的图像与x轴交于A，B两点，
∴−x2+5x+6=0 ，
解这个方程得： x1=−1 ， x2=6 ，
即二次函数 y=−x2+5x+6 与x轴的两个交点的坐标为 A(−1， 0) ， B(6， 0) .
∴ΔABC 的面积 S△ABC=12AB×OC=12×|6−(−1)|×6=21 .
由图像可得，当 −10 ，
故 y>0 时，x的取值范围是 −1【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将点C（0，6）及点（1，10）分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式配成顶点式可得对称轴直线及顶点坐标；
（3）令抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值，从而可得点A、B的坐标，进而根据三角形的面积计算公式可算出△ABC的面积；求y＞0时，x的取值范围，就是求x轴上方部分图象自变量的取值范围，结合图象即可直接得出答案.
19．如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．
【答案】（1）解：∵y＝（x+1）2+k与y轴交于点C（0，﹣3）
﹣3＝1+k，得，k＝﹣4
∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，
即y＝x2+2x﹣3．
（2）解：如图1所示：
连接AC，过点M作MD⊥AC，交AD于点D．
令y＝0得：x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b．
∵将A（﹣3，0）、C（0，﹣3）代入得：−3k+b=0b=−3，
解得k＝﹣1，b＝﹣3．
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3．
设M（x，x2+2x﹣3），则D（x，﹣x﹣3），则MD＝﹣x2﹣3x．
∵四边形AMCB的面积＝△ABC面积+△AMC面积，
∴四边形AMCB的面积=12MD⋅AO+12AB⋅OC
=12×(−x2−3x)×3+12×4×3
=−32x2−92x+6
=−32(x+32)2+758
∴当x=−32时，S最大值为758，点M的坐标为（﹣32，﹣154）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入y＝（x+1）2+k求出k的值即可；
（2）连接AC，过点M作MD⊥AC，交AD于点D，先求出直线AC的解析式，设M（x，x2+2x﹣3），则D（x，﹣x﹣3），则MD＝﹣x2﹣3x，再利用割补法可得四边形AMCB的面积=12MD⋅AO+12AB⋅OC=12×(−x2−3x)×3+12×4×3=−32(x+32)2+758，再利用二次函数的性质求解即可。
20．如图，已知二次函数的图象经过点B(2，0)，C(0，2)，D(1，2)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线上一点且S△ABP=2S△ABC这样的P有几个？请直接写出它们的坐标．
【答案】（1）解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
由题意得4a+2b+c=0c=2a+b+c=2，
解得：a=−1b=1c=2，
所以，二次函数解析式为：y=−x2+x+2
（2）解：∵y=−x2+x+2=−(x−12)2+94，
∴对称轴为直线x=−12×(−1)=12，
∴点B(2，0)关于对称轴的的对称点A(−1，0)，
∴AB=3，
∴SΔABC=12×3×2=3
（3）解：P有2个点，P的坐标为(−2，−4)或(3，−4)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】(3)解：设点P到x轴的距离为ℎ，
∵SΔABP=2SΔABC，
∴12×3×ℎ=6，
∴ℎ=4，
∵ℎ>94，
∴−x2+x+2=−4，
解得x1=3，x2=−2，
∴P有2个点，P的坐标为(−2，−4)或(3，−4)．
【分析】（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，将点B、C、D的坐标代入y=ax2+bx+c求出a、b、c的值即可；
（2）先求出点A的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）设点P到x轴的距离为ℎ，根据S△ABP=2S△ABC可得12×3×ℎ=6，再求出h的值即可。